Soit la fonction de ligne

nous avons en général

A désignant des termes qui dépendent des points exceptionnels.

Cherchons à déterminer f{x) de façon que SF soit nul quel que soit 0/: il faudra que

équation en f{x) qui est de la forme (2).

Il pourra arriver que F' dépende d'une manière spéciale de/(x) en certains points de l'intervalle «6, et ne dépende pas de toutes les valeurs de f{x) dans l'intervalle ab. C'est le cas du calcul des variations ordinaires : on y considère l'intégrale (')

dx.

alors

et pour que 8F soit nul, il faut que

^__1^H ^ =0 df dx dJ'^--')..=X '

(') Cf. Chapitre II,

équation qui est bien du type annoncé. C'est une équation différentielle en f[x).

4. Mais d'autres problèmes de variations nous conduiront à des équations intégrales. Posons

(3) F= f cp($,)/(ç,)t^$,+ f f o(i„u)fa,)fa,)d^^du,

on a

=f^ mu)d^,Uat)+j\^{u,^,)-^^a,,^i)]fa,)d^,l

et, pour que oF soit nul quel que soit 8/, il faut que

(4) ^iU)+J ^{UÀ2)fat)du=o,

avec

pour calculer /(;r) il faut donc résoudre une équation intégrale de première espèce à noyau «j^Ci»? ^a) symétrique.

J'ai montré dans un Mémoire de 1884 comment on pouvait la traiter en partant du problème de calcul des variations dont elle avait été déduite.

5. Si nous ajoutons à la fonction F précédente (3) l'intégrale

nous trouverons, au lieu de l'équation (4), l'équation

é((uation linéaire intégrale de deuxième espèce à noyau symétrique.