THEORIE DES FONCTIONS DE LIGNES ET CALCUL DES VARIATIONS

Si plus généralemenl nous considérons des expressions de forme

F= r ¥[/(^),/'(^), ...,/""(ar), ..'.,x]dx

■^ f f ?[/(^i)./(^2),/'(^i),/'(-^t), ...]dx,dx,,

nous obtiendrons des équations ex\f(^x) qui auront à la fois le type intégral et le type différentiel et que nous nommerons pour cela équations intégro-différentielles (').

11 est enfin aisé de voir que toutes ces considérations s'appliquent aux fonctions de plusieurs variables : soit, par exemple, une fonction o{x, y, t) de trois variables (dans la suite nous n'écrirons pas les variables x^y pour abréger). Posons

d étant une aire du plan des xy. La variation première de F sera

-+- ^^1^ PC"'») ^'p^'*)] ^'« ^'2 «^^ -+- ^'

'(tut)

(') J'ai introduit la dénomination d'équations intégro-différentielles dans ma première Note consacrée à ce sujet. Cf. Volterra, Leincei Rend., 1909, i" semestre, p 167.

5i CHAPITRE III.

A désignant l'expression

dx du

qui ne dépend que des valeurs de oo au contour 5 de l'aire d. Pour que cette variation première soit nulle, quel que soitB^(<), il faut que cp(<) vérifie l'équation inlégro-difTérenlielle :

A2cp(

6. Nous allons montrer maintenant qu'au calcul des variations se rattachent aussi d'autres problèmes d'un type différent, qu'il est nécessaire d'étudier pour bien des questions de Mécanique et de Physique.

11 existe en Mécanique un principe fort important, le principe de Hamilton, qui permet de réduire les problèmes delà Mécanique à des problèmes de Calcul des Variations. Cela se rattache au fond à la conception générale de Lagrange. Ce principe peut s'appeler principe de f action stationnaire.

Mais à ce principe s'est ajouté celui de Vaction variée qui a conduit aux résultats de Hamilton et Jacobi.

Ce second principe s'applique à un système mécanique qui a un nomhre fini de degrés de liberté, c'est-à-dire tel que son mouvement dépende d'un nombre fini de paramètres q^, qi, .- ., qw Si

'^{qu qi, ..-.qn.q'x-, q'i, ..-.qn) et P(g'., ^r,, .. ., ^„)

représentent alors respectivement la force vive et le potentiel, l'action hamiltonienne est l'intégrale simple

où t représente le temps.

En général, le second principe et les résultats de Hamilton- Jacobi s'appliqueront non seulement aux problèmes de Mécanique,