En posant

Ci)

et

dx -^^ ■■■' Jx

nous avons

(6) ,F={^i„^...-.^Jy..)^^l^ ^(____).^,-,...J^.

Pour que oF soit identiquement nul, il faut tout d'abord vérifier les équations diflerentielles

Oyi dx ayi

Supposons intégré ce système du second ordre et soit sa solution générale

(8) JK,- = r/(a-,70, ...,^»,jk'i», ...,y„") (■/ = 1, 2, ..., n), •

oùj'", • • -5 y",.x',"' '--lyn sont les valeurs initiales de jK,, ...,y«, y\^ "'^y'n ena7 = :ro.

F devient alors une fonctioil

ou, si l'on peut éliminer les y'/' à l'aide des équations (8), ce que nous supposerons, une fonction

Sa variation pourra s'écrire, en tenant compté de la formule (6),

d'où les relations

d¥ d\ dV /dV\

En posant

on a évidemment

formule de réciprocité qui fut utilisée par Helmholtz, Lord Rajleigh et d'autres auteurs.

D'autre part, en dérivant F par rapport à J", et en remarquant que^i, j'2î • • • ? jT/i sont des fonctions de x^ on trouve

d¥ y^ d¥ dy c'est-à-dire

^ + y fil ^' = V

dx ^à dyi dx '

^ = v— 2^^j,= H(a7,7„^,, ...,jK,„j,, ....r„),