THEORIK DES FONCTIONS DE LIGNES ET CAIXIL DES VARIATIONS

et si des équations (9) on tirejK, , • • 'ly',,-, on obtient

F satisfait donc à une équation aux dérivées partielles qu'on saura intégrer si l'on a intégré les écjuations différentielles (7). Inversement enfin, si l'on connaît une intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles, on pourra par des différentialions obtenir l'intégrale générale du système (7).

8. Nous allons étudier l'extension de cette théorie aux intégrales doubles. La difficulté que j'annonçais tout à l'heure est la suivante : nous avons du, dans le paragraphe précédent, considérer F comme une fonction de la limite supérieui-e d'intégration. Dans le cas des intégrales doubles, les limites d'intégration sont des lignes; il faudra donc envisager des fonctions de lignes.

On a déjà travaillé sur ce sujet, je signale mon travail de 1 890 ( ' ) et les travaux intéressants de M. Fréchet (2). Je me bornerai ici à étudier de nouveaux cas très simples.

Soit l'intégrale

(/étant une fonction de x et/) étendue à une aire <t du plan des -r, y limitée par un contour ^. Nous nommerons s l'arc du contour. En calculant sa variation première il vient

^^''=fy (^''^'"^"^^^'''"-^) ^fds-^J J \'^fr.fdxdy.

Prenons pour /une intégrale de l'équation

(7') Aî/=o,

cette intégrale est déterminée par ses valeurs au contour /o (5). On doit donc considérer F comme une fonction de ces valeurs au

(') Sopra una estensione délia teoria Jacobi-Hamilton del calcolo délie variazioni {Lincei Bend., 1890, i" semeslre, p. 127).

(') Extension de la théorie de Jacobi-Hamilton {Annali di Matematica, 3* série, t. XI, p. 187).

contour et du contour J^lui-même :

F|[/u(0, <]!, et, en laissant -P constant, on lire de (6')

^^•= f[^<'os{nx)+^cos{ny)j^/ds, d'où

formule dont on peut déduire un théorème de réciprocité analogue à (lo) : en efiet, /„ est une fonction

/«lF/o,-C,^]l,

et en la dérivant par rapport à/o, on obtient

do') /'„i[/o, -c,5, ^i]i=/;,i[/o,j:, *„^]|,

formule où la seconde variable est toujours la variable de dérivation.

En d'autres termes, modifions infiniment peu les valeurs au contour de y* dans un domaine infiniment petit autour du point A,.

Fig. 5.

la dérivée normale de la fonction harmonique/ subira une variation en tous les points du contour, en particulier en B. Si nous effectuons ensuite en B la modification des valeurs au contour que nous produisions en A, la variation de la dérivée normale en A sera ce qu'elle était primitivement en B.

En considérant maintenant F comme une fonction de la ligne qui forme le contour et en modifiant cette ligne sans changer les valeurs au contour, on obtient

THEORIE DES FONCTIONS DE LIGNES ET CAIXUL DES VARIATIONS. Sg

c'est-à-dire

^.n/..c«ii-(l)'=U(l)'-^(|)>-,:[(|)'-(f)'].

doù enfin

(■•') Fy [/o, -C. ^]I = l (f )'- \ F-|[/o, C ,]I;

c'est l'équation analogue à celle de Jacobi. On pourrait étudier encore un autre principe de réciprocité correspondant à deux dérivations par rapport à J^ etyo.

On peut développer à propos de l'intégrale

(5',) ¥=^ J J §{/,/„ f,\x^y)dxdy

avec

f -'V f df

J'-Tx' J'-'d^

[dont (5') n'est qu'an cas particulier] une théorie analogue. 11 vient

N = — T-cosna? ■4---rCosnr.

àfx àfi -^

Dans tout domaine où l'équation

d§ d di 0 ô^ ^'^ àf dx ôf~ dy 0J\- ""

jouit la propriété fondamentale de (7') : une de ses intégrales est individualisée dans une aii'e par ses valeurs au contour de cette aire, on pourra considérer F comme une fonction

Fi[/o,£]|

et prouver, comme précédemment, que

On en déduira le théorème de réciprocité ('o;) N>J [/„, £,*,..! I = N>J I/o, £, s,,s\ \.

OO CHAPITRE m.

F satisfait d'autre part à l'équation

qui, si on y remplace -^ par sa valeur

/i cos/ia; -(-/iî cos/ijK) €t /, et /a par les valeurs tirées des équations

[ di di

\ --r cos/iar-H -TT cos/ty = r >-,

If f df

f ftcosny — f.2Cosnx= -^ >

que nous supposerons résolubles, prend la forme

11 serait facile de vérifier que le théorème de réciprocité (10') est équivalent au théorème de Green. Ce théorème est ainsi rattaché à un nouvel ordre de recherches. Et le lien ainsi établi se révèle fécond puisqu'il nous fournit l'extension (10',) de ce théorème de réciprocité à des équations de type très général (71).

Voici un autre exemple simple (') des mêmes considérations que j'avais indiquées dès le début de mes recherches, en 1 890. Les équations aux dérivées partielles

d{u, V) ~ dpi^s' ^h d{u, v) ~ ôxi (i, A, 5 = I 2, 3), {pij,=zp,,^i), [H = H(/?j,3, /)3,,, />,,j, xi, a-î.arj)],

analogues aux équations canoniques de la mécanique, s'obtiennent en annulant la variation de l'intégrale

//[2-^4fl^^-"]--

Soient d'autre part tjj,, tïJo, ^3 trois fonctions telles que dxs^ d-ns-î dwz

âxi ' dx-2 àxs

(') Cf. VoLTERRA, Lectures delivered at the Clark University, p. 12.

THÉORIE DES FONCTIONS DE LIGNES ET CALCUL DES VARIATIONS. 6l

L'intégrale

W = / rn, dx^ dx^ -t- rs^ dx^ dx^ -+- rss'dxi dx^,

étendue à une surface <t, ne dépend que de la ligne s qui forme le contour de 7. Posons enfin

rfW rfW d\N

diXi^Xi) d{xz,x\) d{x\, x^)

Entre les équations (7") et l'équation

„ r d\\ dW d\\ 1 ,

(il) H -7- -> -7- -. -J-. » Xi, Xi, X3 -+- /i = 0,

ld{X2,X3) d{X3,Xi) d{Xi,Xi) J

il y a les mêmes relations qu'entre les équations canoniques et l'équation aux dérivées partielles de Jacobi (11).

Nous avons envisagé des cas très particuliers mais suffisants, je crois, pour indiquer nettement la marche à suivre même dans des cas bien plus généraux, par exemple celui des équations de l'équilibre ou des vibrations des solides élastiques.

Les équations telles que (i 1') ou (i 1") ne sont ni des équations intégrales, ni même des équations intégro-diflférentielles. J'ai commencé à en rencontrer dans mes premières études sur les fonctions de lignes en 1890. M. Hadamard en a rencontré ensuite et a approfondi leur étude d'une manière fort intéressante. M. Paul Lévy, dans une remarquable Thèse ('), les a étudiées d'une façon systématique. Je propose, d'accord avec M. Hadamard, de les appeler équations aux dérivées fonctionnelles.

(') Sur les équations intégro-différentielles définissant des fonctions de lignes. Gaulliier-Villars, 191 1.

1-2. Cas particulier des fonctions définies par une équation intégrale transcendante. — 3. Par une équation intégrale linéaire à limites constantes (équation de Fredholm), à limites variables (équation de Volterra). — 4-6. Résolution de l'équation de Volterra considérée comme cas limite d'un système d'équations linéaires ordinaires. — 7. Résolution des équations intégrales du type transcendant. — 8. Extension de la notion de déterminant fonctionnel. — 9-10. Cas général des fonctions de lignes implicites. — 11. Extension de la théorie des parenthèses de Poisson et du théorème de Jacobi sur les fonctions en involution.

1. Nous avons expliqué précédemmenl (Chap. III, n" 2) comment le problème général des fonctions de lignes implicites : résolution de Téqualion

par rapport à/ (;r), pouvait être considéré comme un cas limite de problème ordinaire des fonctions implicites : résolution du système

par rapport aux y.

C'est ce problème général (i) qui va maintenant nous occuper.

2. Nous traiterons d'abord les cas les plus simples. On peut tout d'abord supposer que la fonction F est la somme de deux termes dépendant l'un seulement dey, l'autre seulement de co, et respectivement développables en série du type de Tajlor, séparé-

LKS FONCTIONS DK LIGNES IMPLICITES. 63

ment par rapport à /et cp ; l'équation (i) s'écrit alors

OÙ, puisque o (x) est connue,

(3) Ar)+ / f{\)i{x,%)d\

'!/(.2:) étant une fonction connue.

La résolution de l'équation (3) peut être considérée comme correspondant à celle d'un système d'équations tianscendantcs ordinaires.

3. Une équation (3) particulièrement simple sera Véqualion linéaire

(4) f{oc)-\- f fa):^{x,^)d^ = ^{x).

Nous la simplifierons encore en supposant que la limite supérieure d'intégration est égale à x. Ceci revient à admettre que

'S{x^\) = o pour 5 > a:.

L'équation ainsi obtenue s'écrit

C'est une équation intégrale linéaire de deuxième espèce à une limite variable. Nous allons maintenant la résoudre.

4. Pour cela, nous reviendrons à la conception générale qui est le point de départ de toutes ces recherches, c'est-à-dire que nous

64 CHAPITKE IV.

regarderons l'équation (5) comme cas limite d'un système d'équations ordinaires, linéaires dans le cas qui nous occupe (').

En divisant l'intervalle a,b en n parties /t,, Ao, ..., A« et désignant par Xi^ X2-, ..., Xn des valeurs de x comprises dans ces intervalles, le système d'équations ordinaires sera

'H ^3) =/(^l)'^(^3, ^l)hl+f(x.2)::Ç(X3,X^)h2-i-f(X3),

^{X„)=f{x,)ê{Xn,X,)h

OU en posant

-fiXn-i) §{Xn, Xn-i)hn-l -hf(x„ ),

soit

^{Xn) = ««, i/( .2^1 )-+-«,/, 2/(^2) -4-... -t-/(a?„),

^{Xi)=f{xi)-^'S ai,f{x,).

La simplification que l'on a introduite en remplaçant la limite d'intégration constante b par :r, consiste dans ce fait que le déterminant du système [a) est égal à i . Le système {a) se résout donc très simplement par rapport aux/(^^) et l'on a

,,, «.,2, . ... '^{Xs)

ou, en permutant les indices i et 5,

f(Xi) = ^(Xi)+^^Ci,^{

Xs)

( ' ) Comparer Leçons sur les équations intégrales et intégro-dijférentielles ^ p. 40.

-1,.«) "J-Iv-'+tî

Nous allons décomposer le poljnome c/„ qui est de degré i — 5, en une somme de polynômes homogènes de degrés i, 2,3...(< — s). jNous les appellerons

a> ', arJ, ..., a,

En développant le déterminant qui donne la valeur de Cis par rapport à la dernière ligne, nous trouvons

is = — «ù — ^ «/,. Cr.i :

mais

c/»- = ûf/ô -1- «,

La formule précédente pourra alors s'écrire

et en séparant dans Cis les termes des diflerents degrés on aura finalement

/-Hl

En général, on pourra écrire

fi<j CHAPITRE IV,

et, par une itération très simple, on trouve que l'on a aussi

autre formule récurrente pour calculer les «)'".

En résumé, les formules aljj^ébriques que nous avons trouvées pour la résolution du système (a) sont

(a) ^(Xi) =f(xi) +^ai,f{xs),

( e ) c,; -+- ais = — 2 airCrs,

if) f{Xi)=<h(xi)^^cu^{xs).

Mais, si nous résolvons le système (/) par rapport aux 'l{xi), nous devons retrouver le système (a). On peut donc écrire toutes les formules déduites des précédentes par permutation des lettres

a et c, soit

( e' ) a,-.ç -I- Cjs ~ — 2, ^ir (^rsi

(/) ^{xi)=f{o^t)+^aisf{x,).

Ceci posé, il faut passer du fini à l'infini, en faisant tendre vers zéro les intervalles partiels A,, hi, ..., h,,., leur nombre auj-mentant indéfiniment. A la limite, les sommes qui entrent dans les formules précédentes deviennent soit des intégrales, soit des séries infinies, il faut remplacer les deux indices /* et s par les valeurs de deux variables x^ \, et l'on constate que les deux systèmes de formules précédents se transforment dans les suivants :

(G) éF'/''(:r, $)= f ^'*)(a7,7i)^;/'-A'(ri.?)t/r,,

(E) ^(ar,^) + W(x,'q)=- f ^(r, T,)W(r,,l) dr^,

(F) f{x) = '}^(x)+ f Wix,^)'ia)dl

et

(A') f{x) = ^{x)+f W{x,\)fa)d\,

(B') ^Y^^Kx,^)=-W{x,i),

(C) W^''^(x,'z)= f W^''^x,ri)W^''-''^(r,,'z)dr„

(E') rf(a;,i) + ^^(x,i)=-J W(a7,r)),f(Ti,0f/^

(F') ^(x) =f(x) + f\i(x, $) ^(0 rfï;

formules qui, si elles sont reconnues exactes, donneront la solution complète du problème que nous nous étions posé : résolution de l'équation intégrale (A).

On les démontre très aisément. U'abord la série (D) est convergente, car si

|,f(^,$)|<M, on a

On peut ensuite vérifier directement que la formule (F) résout l'équation (A) (* ).

On peut, au surplus, grouper ces propiiétés en trois principes :

1° Principe de convergence : la série (D) converge;

2" Principe de réciprocité : exprimé parles formules (B), (B'), (C),(G'),(D),(D');

3" Principe dHnversion : l'ensemble des formules précédentes Ces principes contiennent toute la théorie de l'équation intégrale.

o. Le cas de l'équation intégrale à limites constantes est moins simple. Dans le système d'équations du premier degré correspondant le déterminant dénominateur n'est pas l'unité et il faut alors calculer les deux déterminants numérateur et dénominateur qui, à la limite, deviennent des déterminants infinis. C'est le cas qui a été étudié par M. Frediiolm : si le déterminant dénominateur ('-) n'est pas nul, la solution est donnée parle rapport des deux déterminants; on peut établir, dans ce cas, trois principes analogues aux précédents et résoudre la question par leur application.

Je ne développerai pas ce cas (^) et je ne m'occuperai pas non plus de l'équation intégrale de première espèce

que l'on peut, soit ramener à une équation de deuxième espèce par une dérivation, ou une intégration par parties, soit traiter directement par les déterminants. Je pense avoir donné une idée

(') Pour le détail de la démonstration, voir Leçons sur les équations intégrales et intégro-différentielles, p. l^'^-bi.

(-) Que l'on nomme simplement déterminant de l'équation intégrale.

(') Pour toutes ces questions je renvoie le lecteur à mon premier volume déjà cité : Leçons sur les équations intégrales etc.

assez claire du principe du calcul par le cas que j'ai développé ( * ).

6. Je ferai une seule remarque : nous avons vu apparaître, dans les calculs que nous avons fait, le type d'opération suivant

C'est une opération que nous étudierons en détail dans la suite de ce cours et que nous appellerons l'opération de composition.

7. Nous allons maintenant nous occuper de cas plus compliqués et tout d'abord de la résolution de l'équation (3) du n" 2. Dans la théorie ordinaire des fonctions implicites, pour passer de la résolution d'un système d'équations linéaires à des cas plus généraux, on peut faire usage, si l'on étudie la question au point de vue de la théorie des fonctions analytiques, de la méthode des développements en série de puissances : nous utiliserons ici une méthode analogue (^). Pour cela, nous remplacerons l'équation (3) par

(3') Q'!^ix)^sf(x) + tJ f{\x)H^A^)dU

qui se réduit à (3) pour £ = 0=1 et nous essayerons de développer tf{x) en puissance de 8.

On peut prendre

tf{x) = o pour 0 = 0,

ce qu'on peut écrire

{tf{x)\=.o.

(') Pour l'application des méthodes des approximations successives aux équations intégrales, voir : J. Le Roux, Sur les intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes (Thèse de doctorat, I^aris, 1894 ; Annales de l'École Normale supérieure, '895 ) ; E. Picard, Sur une équation fonctionnelle {Comptes rendus, ■?.' semestre igo/j). Cf. aussi l'Ouvrage déjà cité de M. T. Lalesco, Introduction à la théorie des équations intégrales. Paris, 1912, et Bôcheu, An Introduction to the Study of intégral équations, Cambridge University Press, 1909.

(-) VoLTERRA, Sur Ics fonctions qui dépendent d'autres fonctions {Comptes rendus, 19 mars 1906); pour le détail de la démonstration, voir Leçons sur les équations intégrales, etc., p. i35.

En posant ensuite

\ d[Bf(x)] l [- dizf) -1

i d^ WrV di^ W

\d^zf{x)]] ^ \dHt.m i dH (0=0 L d%^ Jo'

et ainsi de suite, on tire de l'équation (3'), en la dérivant par rapport à 9 et en y faisant 8 = 0

D'où, si le déterminant de cette équation intégrale linéaire n'est pas nul.

Une nouvelle dérivation de l'équation (3') donne ensuite

d'où, en tenant compte de la formule {&),

On trouve finalement pour zf{x) le développement suivant

Cette série convergera si | ']^ | est suffisamment petit et fournira donc, dans un certain domaine fonctionnel, la solution de l'équation intégrale transcendante (3) par un développement analogue au développement en série de puissances. Il est aisé de voir qu'il n'y a qu'une seule solution f [x) qui s'annule avec '\{x).