Il est intéressant de faire ici une remarque

dy,

ôA

dXi-^

dy.

àfn

dxy

dx,^

led

éterminant

fonctionnel

.^fn)

Différenlions les équations (2), nous aurons :

fi— dx,n = o ;

dX.n

^{yi,yi, •••,yn)

n'est autre que le déterminant des équations linéaires précédentes par rapport à

dyi, dyi, ..., dy„.

La théorie des fonctions implicites ordinaire nous apprend que si les équations (2) sont satisfaites pour

yi = yi = - • ■ = y,i== ^1 = ^i = . . . = x„i = o,

une condition suffisante pour l'existence, dans le domaine de ar, = 0, ^Ta^o, .... x,n^=o, de n fonctions y,, jo, •••? :)'« de x,, Xo, ..., Xm s'annulant avec X) , Xo, ..., x^. et vérifiant le système (2) est que

" li)(yi,y,,...,yn)\y.=y.=...=y. = c

soit difiérent de zéro.

On a un résultat tout à fait analogue pour l'équation (3) : elle est satisfaite poury*(a:) = -i (.r) =: o. J)ifrérentions-la et posons-v ensuite/(x) = 0, '}j(x) = o, il vient

(8) 8fa)-^f ^ilU)^Al)dkr = 5'H^)-

D'après les résultats du numéro précédent il est suffisant, pour que l'équation (3) ait une solution unique dans le domaine •]/(x)=o et tendant vers zéro avec 'h{x), que le déterminant de l'équation (8) ne soit pas nul.

9. Nous sommes maintenant en mesure de traiter le cas général : résolution de l'égalité (i). Nous pourrons toujours supposer qu'elle soit satisfaite poiirf(x) = o, 'Z)[a>) ^ o et que a^=.a! ^ b =^ b'.

Calculons-en la dilTérentlelle et admettons qu'elle ait la forme

(9) cF = S/(0+ f 'f'I [/(t), o{x), $, ^,] 1 ô/(ï,)./^,

•+ f *l [/('^), f ('^), $, ^i] I 3 ?($i) «?çi-i- A 8 9(0; raisons-j/(a7) = 'f{x) = o, il vient

(9') SF = o/(0+ f Ç{l^i)5/aOd'ir

c'est une équation intégrale en ô/(^,) dont le déterminant correspond au déterminant des équations (^), c'est-à-dire au déterminant fonctionnel du système (2) calculé pour

ri = 72 = . . . = JK« = ^1 = ^2 = • • • = ^>n = O.

Si ce déterminant est diflerent de zéro, on pourra déterminer, dans le domaine fonctionnel de o{sc) = o, /(x) comme fonction de toutes les valeurs de 'j>{x)- A cet effet, écrivons l'équation (i)

(10) /(^)-^/ ô'(^,?i)/(^)«fçi Nommons le second membre de cette équation

% sera une quantité telle que, si l'on calcule oB pour o{x) constant et égal à zéro et si l'on j fait ensuite

/(^)=o, on ait

ôe = o.

Résolvons alors l'équation (10)

par rapport à f{\) en y considérant le second membre 0 comme connu; cette résolution est possible d'après l'iiypothèse du début.

Nous trouvons

(ï«') /(0 = ûl[/(':r),ç('^),$l|, .