I II

Ù étant une quantité jouissant de la même propriété que 0.

L'équation (lo') se résout dans un domaine fonctionnel autour de -fîx) =o par les approximations successives suivantes

/,($) = i2|[ o, ç('^),$Jl,

dont on étudiera sans difficulté la convergence en posant certaines conditions.

La méthode que nous venons d'indiquer n'est autre que la méthode des approximations successives de M. Picard, telle que M. Goursat l'a utilisée pour la démonstration du théorème des fonctions implicites (').

En résolvant l'équation intégrale

oF = o ou

/(t) = Aog9(0+f -Ul^059(l)d-u

on trouvera

Le lecteur a déjà aperçu le parallélisme profond entre ce dernier calcul et celui des dérivées des fonctions implicites ordinaires dont il n'est que l'extension.

10. Ce qui précède n'est qu'un aperçu de la méthode générale à employer pour traiter la question des fonctions de lignes implicites. En effet, nous avons supposé pour simplifier que SF était de la forme (9), ce qui n'est qu'un cas très particulier : si, par

(') Goursat, Sur la théorie des fonctions Implicites {Bull. Soc. math., 1908, p. iSO.

exemple, dans oF le coefficient de ci/(ç) n'était pas l'unité, mais une fonction )v(^), il faudrait, dans les considérations précédentes, remplacer les équations intégrales de deuxième espèce par des équations de M. Picard, de troisième espèce. Si le terme en 6/(^) manquait, il s'introduirait au contraire des équations de première espèce. Toutes ces équations pourraient être à limites variables si dans 8F la limite supérieure d'intégration b était égale à ç : ce dernier cas a été étudié récemment par M. Evans (').

Il pourrait aussi arriver que oF dépende d'une manière spéciale au point ^ de / et de ses dérivées : on aurait alors des équations intégro-différentielles. Il faudrait aussi étudier les cas où, pour la continuité de F, il faut considérer les variations des dérivées de/. Tous ces cas nécessiteraient de longs développements.

Nous n'en parlerons pas, car notre but n'est pas de donner un développement systématique de la théorie, mais seulement un aperçu des méthodes qui pourraient servir à l'étudier dans toute sa généralité.

11. Gomme application des considérations précédentes, nous allons indiquer un nouvel exemple de théorie qui s'étend aux fonctions de ligne : c'est la théorie des parenthèses de Poisson (^).

Soit une relation

le paramètre \ étant variable entre les limites a et h. Admettons d'abord, pour simplifier, que

nous pouvons considérer une parenthèse analogue à celle de Poisson

(II) (H|[/(a;),ç(a;),?]|, H| [/(^;, cp(^), ^'] | )

(') V' Congrès des Mathématiciens (Cambridge, 1912).

( ^ ) Voir par exemple Goursat, Équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris, 1891.

Pour ne pas compliquer récriture, nous nous dispenserons d'écrire dans l'expression de H les fonctions /(^) et ç>(^). La parenthèse s'écrira donc

el il est facile de vérifier que le théorème de Poisson

((H(?), H(S')), H(f")) + ((H'Cr), H(r)), 11(0) + ((HCD, H($)), H(0) = o

subsiste.

Le théorème de Jacobi se généralise aussi aisément : supposons qu'on ait maintenant

oH=- 8fa)+ f H'j\[f(x),oix),l^,]\ofaOd^i

Ja a a

nous avons démontré qu'alors

définit en général une fonction implicite

et que l'on a

Quelle est la condition pour que

soit la différentielle totale d'une fonction de ligne? On trouve sans peine l'équation

où la parenthèse représente toujours l'expression (i i)-