ÉTUDE D'UNE ÉQUATION INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLE DU TYPE ELLIPTIQUE

1-3. fnlroduction. L'équalion inlégro-dilTérenlielle elliptique type. — 4. Théorèmes sur l'unicité des intégrales. — 5. Formule de réciprocité. — 6. Calcul de la solution fondamentale. — 7-9. Application à l'équation de la méthode de Grecn.

1. Nous avons vu comment les fonctions de ligne nous amènent à trois catégories d'études :

1° Des problèmes de type algébrique que nous avons étudiés dans la dernière leçon; la résolution des équations intégrales linéaires n'en est qu'un cas particulier, d'ailleurs très important;

2" L'étude des équations intégro-difFérentielles;

3" L'étude d'équations de nature plus compliquées : les équations aux dérivées fonctionnelles.

Nous allons maintenant aborder l'étude des équations intégrodifférenlielles.

2. En faire, dès aujourd'hui, une classification serait prématuré. On peut, évidemment, distinguer tout de suite celles où il n'entre que des dérivées ordinaires et celles où il entre des dérivées partielles; mais il serait difficile et un peu vain de faire une étude systématique de tous les types qui peuvent se présenter. Mieux vaut examiner d'abord quelques cas particuliers qui fourniront la marche à suivre pour étudier ensuite des classes générales d'équations.

11 est particulièrement intéressant et utile de considérer d'abord les équations qui se présentent naturellement à cause de quelque question physique ou naturelle qui leur est rattachée. L'histoire nous a toujoui's montré que c'était ainsi qu'on s'orientait le plus facilement dans les questions nouvelles.

ÉTiDE d'une Équation intégro-différkntieule du type elliptique. 77 ',\. iNous éludieions surtout des équations inlégro-difrérenlielles

aux dérivées partielles. Mais nous aurons aussi à en considérer

d'autres aux dérivées ordinaires.

La plus simple et Tune des plus importantes au point de vue de

la Physique est Féqualion (')

Ox'^ oy^ oz-

^ r'\àUi{r.y,z.z)

ox-

■At,z)

d'^ ti(x.y, z,x) . ■ d^u(x,y.z,-)

<fy-

o(t,z)~ ;:/ ' -lit.

u(x,y, z, t) étant la fonction inconnue, que l'on peut prendre comme type des équations intégro-difFérentielles elliptiques,

De même que Fétude de l'équation de Laplace a fourni la marche à suivre dans l'étude des autres équations aux dérivées partielles du type elliptique, de même l'étude de l'équation précédente précède naturellement et prépare celle des équations intégro-différentielles elliptiques.

Nous l'écrirons sous une forme plus condensée, en omettant

l. On pourra envisager .r, }', z comme les coordonnées d'un point dans un espace à trois dimensions. Soit alors S un domaine de cet espace limité par une surface a-, nous dirons qu'une fonction

est régulière dans ce domaine pour les valeurs de t comprises entre o et T si, pour ces valeurs de t, elle est finie et continue à l'intérieur du domaine ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres par rapport à x, y^ z.

Nous démontrerons d'abord que : toute solution régulière u

(') Voi-TEiuiA, Suite equazioni inlegro-diJferenzialL {Rend, dei Lincei, t. XVIII, 1909, i" semestre, p. 167), et Sur les équations integro-différentielles et leurs applications (Acta mathematica, t. WXV, n» 4, p. 399 et suiv.).

de Inéquation (i) est déterminée à r intérieur de S pour les valeurs de t comprises entre o et T si^ pour les mêmes valeurs de /, on se donne ses valeurs sur le contour a- de S.

Il n'est pas inutile d'indiquer la démonstration, car c'est un tjpe de raisonnement qu'on utilisera dans toutes les questions analogues.

La proposition à démontrer revient à la suivante : toute solution de V équation (i) régulière et nulle sur o- pour o < < <C T, est identiquement nulle dans S pour les mêmes valeurs de t.

Pour prouver ce dernier fait, multiplions l'équation (i) par u{t) et intégrons dans S, il vient, après une intégration par parties.

(2) r\u(t)ds

^'-'^Vc.x,

âx

dy dy ^^ ' Oz ôz ^ ^ \

r . ^ \du(t) rV dii(x) .. ^ -- / u(t)\ ^^-^ -t- / ^ /(«,x).cosn,

Ç(^, X) C0S7tJ'

^ ^(^ti'z) cosnz \d- [ d<s

en posant

D'où, puisque sur o- on a ui^x) = o.

's Soit alors M une quantité telle que

f ^u(t)dS <m, ^s puisque

 U "^ \ i «/ IJ

d u{t) àuji) ôx dx

dS <M,

ETUDE D UNE EQUATION INTEGnO-DIFFÉRENTIELLE DU TYPE ELLIPTIQUE. 79

el (Je même

et enfin

r\du(t) du(z]

Dans ces conditions, si

on tire de la relation (2)

f \u{t)dS <MN/, donc

Mais alors de

/•r|/.;iïIii||/7iJi^|l'</s.o,

^ 's L 1 dx \ \^ Ox \ ] - '

on déduit

J„ \ ox Ox \

d'où, par nouvelle application de la relation (2),

f\u(/)dS< ^M^UK • 's ^

En continuant de la même manière, on trouve en général

Le premier membre de cetle inégalité doit par conséquent être inférieur à une quantité aussi petite qu'on veut. Il faut donc qu'il soit nul et l'on en conclut évidemment que

m(vF, K, s, /) = o.

Le tliéorème est ainsi démontré (').

(') De la formule (2) on peut aussi conclure le théorème suivant :3i l'exprès-

8o CHAPITRE V.

5. Nous avons maintenant à résoudre le problème de déterminer u par les valeurs qui le définissent.

La méthode à suivre résulte de la fusion de deux procédés fondamentaux :

1° La méthode de Green., qui sert à traiter les équations aux dérivées partielles ordinaires du type elliptique;

2" La méthode fondamentale de passage du fini à V infini, indispensable pour toute équation du type intégral.

La méthode de Green comprend deux moments successifs : i" la démonstration d'un théorème de réciprocité; 2" la détermination d'une solution fondamentale.

Dans lé cas typique de l'équation de Laplace, par exemple, on montre d'abord qu'entre deux solutions u et v régulières dans le domaine S on a la relation

dv , r du

r dv C du ,

I u —r- d<7 =^ I i> —r- di J du J dn

(cr étant la frontière de S et /i la normale à t). C'est le théorème

de réciprocité. On envisage ensuite la solution particulière ->

r étant la distance entre un pôle fixe A et un point variable a:, y, z, qui constitue la solution fondamentale car elle devient infinie d'ordre — i au pôle. Le procédé classique de Green donne alors la formule fondamentale qui, détermine la valeur de u au pôle par

les valeurs de a et de -j- au contour. dn

du(t) r' , (x^<hi{-) ., ^ , \

est connue au contour 5, pour

la fonction u est déterminée, à l'intérieur de S, à une constante par rapport à a;, y, z, près {cf. Voltkrha, Acta matheniatica, loc. cit., p. 3oi). Dans ce Mémoire le théorème est énoncé en disant : à une constante près. M. Pérès a remarqué que c'est une constante seulement par rapport à x, y, z.

Les deux théorèmes que nous avons ainsi obtenus sont analogues, dans celte théorie, aux théorèmes de détermination d'une fonction harmonique par ses valeurs ou celles de sa dérivée normale à la frontière d'un domaine.

KTUDE DUNE EQUATION INTEGRO-DIFFÉRENTIELLE DU TVI'E ELLIPTIQUE. 8l

Pour ohlenir, ce qui sera noire but désormais, la formule analogue dans le cas de l'équation (i), il fau.dra commencer par trouver le théorème de réciprocité. Il ne s'obtient pas en combinant deux intégrales ii et v de l'équation (i), mais en combinant l'intégrale u de l'équation (i) avec une intégrale v d'une autre équation (i'). Ce n'est pas une difficulté sérieuse et c'est un fait auquel nous sommes habitués : il se rencontre dans la théorie des équations aux dérivées partielles (par exemple dans la méthode de Riemann) toutes les fois que l'équation sur laquelle on opère n'est pas sa propre adjointe. Nous savons qu'il faut alors associer à une solution de l'équation une solution de l'équation adjointe.

Ici il se produit un fait analogue et l'équation qui joue le rôle d'équation adjointe est la suivante :

rfcr

Si alors nous formons l'expression

r duit) , , dv{x)\ , , , J j

"^ Y^^^^T ~ "^'^ dr\ '^^^' '^ '="*("-^) î ^'•

T étant la frontière d'un domaine où m et t^ sont réguliers et n la

normale extérieure à a-, H est une quantité qui dépend de d, m, v^ 9

et qu'on peut écrire

Si u et V sont respectivement des solutions régulières de (i) et (i'), on constate que (')

L'équation précédente constitue le principe de réciprocité cherché.

( ' ) Cf. VoLTERRA, Acta mathematica, toc. cil., p. 3o2.

6. Il faut maintenant trouver une fonction fondamentale, c'està-dire une fonction qui joue le même rôle que - dans l'équation de Laplace.

C'est pout la recherche de cette solution fondamentale qu'il faudra, comme nous l'avons fait déjà dans bien des cas analogues, remplacer l'équation (i) par des systèmes approchés et passera la limite.

Pour obtenir un de ces systèmes approchés il suffit de diviser l'intervalle o, 9 en intervalles partiels A|, Ao, ..-, hn et de remplacer les inlégrales par des sommes. On obtient alors le système

A2i/i = o, d^Ux , d'^Ux d-u,

correspondant au système (i) : c'est un système de n équations aux dérivées partielles des n inconnues m,, 112, ..., m» fonctions

Le système adjoint à (4) qui correspond à l'équation (i') sera de même

^'('2 f^îp (J2ç, (J2,,

An'3-4-..

et l'on aurait pu obtenir l'équation de réciprocité (3) directement comme limite d'une équation de réciprocité entre une solution U\^ U21 ..., Un du système (4) et une solution c,, ('2, ..., r« du système (4') (' ).

Mais nous cherchons une solution fondameniale du système (4) ou du système (4')- Prenons, par exemple, le système (4), il n'y

(') Cf. Acta mnthematica, loc.cit., p. 3o4.

liTUDE DUNE ÉQUATIOX INTÉGRO- DIFFÉRENTIELLE DU TYPE ELLIPTIQUE. 83

aurait pas plus de difficulté à traiter (4'). On peut prendre

et puisque

en prenant

la deuxième équation est satisfaite.

Mais

3.4 '"■'='■• donc on satisfait la troisième équation en posant

■^ ^'' ôyi r-'^ -^ -^ ^^' ^ ^ "^' dF j

cl ainsi de suite : on trouve ainsi une solution fondamentale demandée.

Pour le système (4') on trouve, sans j)lus de peine, qu'on peut |)rendre

-^bn

-hb„

Toutes ces fonctions deviennent infinies au pôle du même ordre que y

Pour passer des systèmes (4), (4') à (i), (i'), il suffit de passer du fini à l'infini par le procédé indiqué dès le début de ce cours.

Nous allons voir comment il faut passer à la limite pour obtenir la solution fondamentale demandée de l'équation (i').

Désignons par

la solution (a) du système des n équations (4')- Par suite v'/''' est défini lorsque h^i.

Posons

v.'i) = o lorsque h < i, alors

ç(n-h)^ V^n-h)^ ^ ^,^n~li) (h = l , 2, . . ,, n —l)

sont des solutions du système (4') ainsi que

Si nous passons à la limite dans ces dernières solutions on obtient la solution fondamentale de l'équation adjointe (i') que l'on cherche. On peut employer un procédé tout à fait analogue pour l'équation (i).

On trouvera ainsi les expressions des solutions fondamenlales de l'équation (i) et de son adjointe (i'), expressions qu'on pourra vérifier directement.

Pour l'équation adjointe (i'), en posant

/(^T)=F,,0,0(«,X), (f(?,T)=F„,,,o(f,T), 4.(^t)= Fo,o,l(«,T),

et

+ P + Y)]' (aA)!( -l-P + Y)! (2a)!(

on trouve comme valeur de la solution fondamentale ayant son pôle à l'origine

(5) V(:r,^,^|^e)=i[i-f-y *(^,^,^.|T,^)rft] (1).

(') Acta mathernatica, p. 3o6 et suiv.

ÉTUDE D UNE EQUATION INTÉGUO-DIFFÉRENTIKLLE DU TYPE ELLIPTIQUE. 85

7. Ayant le théorème de réciprocité (3) et la solution fondamentale (5) il n'y a aucune difficulté à poursuivre l'application de la méthode de Green.

Remplaçons dans l'équation (3) v par V. Si le pôle de V est extérieur au domaine S, le premier membre de l'équation (3) reste égal à o. Mais si le pôle de V est intérieur à S, ce résultat n'est plus exact, car la formule (3) a été démontrée dans l'hypothèse que i' est régulière, tandis que V devient infinie au pôle.

Dans ce cas, si nous retranchons le pôle par une petite sphère u), nous [)Ouvons écrire

Ha|[«,V,0]|-+-H«|f«,V,e]| = o.

En faisant diminuer indéfiniment le rayon de la sphère, on constate enfin que (')

limHeo|[w, V, e]|=-4Tr / Uo(t)dt, en |)Osant

Mo(0 = "(a"0,r0.-S0, 0.

OÙ vC„, y^, Zf) sont les coordonnées du pôle. Donc

471 r u,{t)dt=^Wa\[u,\,^\

et, par suite,

Si \v est une solution régulière de l'équation adjointe, on a aussi

8. Les formules (6) et (6') donnent les valeurs de la solution en fonction de ses valeurs et des valeurs de ses dérivées sur la frontière (T. Elles correspondent, relativement à l'équation (i), au théorème de Green dans l'équation de Laplace et l'on en tire des conclusions analogues : si l'on sait choisir la fonction w de manière à annuler V -h w sur t, le second membre de la formule (6') ne contient plus que les valeurs de u au contour; la formule (6') résout alors le problème de déterminer la solution régulière u

(') l'our le détail du calcul, voir Acta mathematica, p. 3i3 et suiv.

à Vintérieur de S pour f = B par ses valeurs au contour pour o<f <6 (•).

La fonction V + w ainsi déterminée est l'analogue de \à fonction de Green (iu problème de Dirichlet. On peut la calculer par la méthode des images quand o- est un plan parallèle à un des plans de coordonnées.

Si nous avions considéré, au lieu de l'écpialion (i). l'équation

en posant

f dt f,>{t)yJx,y,z,t)d?> = K\lji,v,m

(') On peut aussi considérer le problème qui pour l'équation (i) est analogue au problème de Neumann : déterminer la solution u régulière dans S par les

valeurs au contour de -z — h / > f{t,~) — j^^ — -cosnxdt {cf. n" 4, note i).

de -j- -h I > fit,-) — ^^ — -cosnxdt

dn J Àmà-' ^ ' ôx

Il y a entre ce problème et le précédent les mêmes différences qu'entre le problème de Neumann et le problème de Dirichlet.

En effet, il est impossible de trouver une fonction w régulière dans S et telle qu'on ait

-^Jr-\i (l/(^^)-^ ^^ lcosnxJd. = o,

sur <T {cf. VoLTERRA, loc. Cit., p. 3i8). Il faut remplacer V par Vab=Va-Vb,

Va et Vb étant les solutions fondamentales relatives à deux pôles A et B du domaine S. Si l'on connaît alors une fonction w telle que

^(VAB + ..)-i-y^ \2^fit,^) ^

sur a, la formule

^^ 1^HJ[«, Vab-»v], 8 1 = M^(6)-M„(e) donne en fonction des valeurs au contour, pour o< ^ < 6, de

dujt) dn

les différences des valeurs de u aux différents points de S pour t =

ÉTUDE d'une Équation intégro-différentielle du type elliptique. 87 nous aurions obtenu

formule dont on tire aisément un théorème analogue au théorème de Poisson.

9. Nous avons étudié, dans ceChapiire, l'équation (i), type des équations intégro-différentielles du type elliptique. Pour étudier l'équation du type hyperbolique

ou d'autres équations avec 4 ou en général n variables de dérivation, il n'y aurait pas à faire de modifications bien considérables à l'analyse précédente.

En somme, il n'y a pas grande difficulté à passer du cas elliptique au cas hyperbolique. Au contraire, les équations telles que la variable d'intégration coïncide avec V une des variables de dérivation se traitent de façon tout à fait différente : par exemple l'équation

C'est pourtant un cas très intéressant dans les applications, car c'est celui qui se présente dansja théorie des vibrations. Aussi l'étudierons-nous plus tard, mais seulement dans un cas particulier (') : une étude générale, qu'on pourrait faire, nous entraînerait trop loin,

( • ) Cf. Chapitre VI, n° 9.