LES ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES DE L'ÉLASTICITÉ
. Rappel de la théorie ordinaire de l'élasticité : étude de la déformalion et des tensions. — 2. Relations entre les déformations et les tensions. Loi de llooke. — 3-4. Application de la méthode de Green. — 5. L'élasticité en tenant compte de l'hérédité : les nouvelles relations entre les déformations et les tensions, nouvelle forme de la loi de Hooke. — 6. Nouvelle forme du principe de réciprocité. — 7. Les solutions fondamentales dans le cas isotrope. — 8. La résolution, dans le cas héréditaire, des problèmes de l'élasticité. — 9. Étude de problèmes simples de vibration.
1. Ayantapprofondi, dans un cas fondamental, l'étude des équations inlégro-difïerentielles du type elliptique, nous allons passer à d'autres équations du même Ijpe qui se présentent en Physique mathématique.
Les plus intéressantes interviennent en théorie de l'élasticité (*). Nous aurons, dans le dernier Chapitre, à revenir sur les considérations physiques qui s'y rapportent.
Dans ce Chapitre nous allons tout d'abord exposer le problème général de l'élasticité, tel qu'on le pose ordinairement.
La déformation infinitésimale en chaque point d'un milieu continu est déterminée |)ar six éléments. Pour ces éléments on peut prendre les dilatations ou les contractions des arêtes et les variations des angles d'un petit parallélipipède rectangle ayant son centre au point considéré. Si l'on appelle
Tu, T22, T33, Y23, Y31, Yl2,
les six éléments qui individualisent la déformation en supposant que
(') Cf. VoLTERRA, Sulle equaziovx integro-dijferenziale délia teoria délia elasticità: Equazioni integro-dijferenziali délia elasticità net caso délia isotropia {Rend. Lincei, t. XVIII, 1900, 2' semestre, p. agS et 877) et Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications {Acta matheniatica, t. XXXV, 1912, p. 321 et suiv.).
LES EQUATIONS INTKGRO-DIKFERENTIELLES DE I, ELASTICITE. 89
le parallélipipècJe rectangle ait ses arêtes parallèles aux axes de coordonnées ; si de plus, le déplacement de chaque point du milieu a pour composantes u, p, (V, on a
du
dv
dw
dv dtv
div du
du dv
De même, si nous considérons les tensions qui s'exercent sur tous les éléments plans passant par un point de l'espace, elles sont déterminées par six éléments fondamentaux. Cauchy a en effet démontré qu'il suffît, pour les connaître, de connaître les tensions qui sollicitent les faces du parallélipipède envisagé tout à l'heure et que, si l'on nomme
les composantes sur les trois axes de la tension unitaire qui sollicite une face normale à l'axe des a:,
celles de la tension qui sollicite une face normale à l'axe O7',
'311 ^32) '33 celles de la tension qui sollicite une face normale à l'axe O;, on a
(•i) tiî= tii, /,,= «ji, ^23=/32-
Les conditions d'équilibre d'un pelit élément intérieur de la substance sont alors
/ dtn àti2 dti3 -.
^ -d7-^-dy^-d7 = ?^^
(3) ^^H^ + ^ = pY,
^ dx ày dz
àtsx dtm dts^
p étant la densité et X, Y, Z les forces de masse appliquées aux éléments de volume du milieu S. Et, à la fronlièie d du
milieu S, on a
i tii cos{nx) -+- ti2 cos(njK) -+- ^n cos(nz) = X,7,
(4) j ti\ cos(nx) -¥■ hi c.os{ny) -4- ^23 cos(nz) = Y^, ( ^3, cos(nx) -H ^32 cos(nr) -+- 1^3 cos( nz) = Z^,
n étant la normale à t et Xg., Y^, Z<y les composantes des tensions extérieures qui s'exercent sur la frontière t.
2. Les formules (i) sont des formules de cinématique. Les formules (2), (3), (4) sont de simples conséquences des lois générales de la Statique. Pour établir les équations générales de Télasticilé elles ne suffisent pas : il faut en plus une loi (d'origine expérimentale) qui relie les déformations
Yii) Y22, Y33, Y237 Y31, Y12 aux tensions
^llj '221 ^33, tî3, ^31: ^12-
Celte loi a été énoncée par Hooke dès 1660 sous la forme un peu vague suivante : nt tensio, sic vis. Avec précision, nous dirons : les déformations sont des fonctions linéaires et homogènes des tensions^ et nous écrirons
(5) yrs= ^C-rsUhti/t (r, S, ici h = 1,10113).
Ces équations renferment 36 coefficients, dont 21 distincts seulement, à cause du principe de la conservation de l'énergie, c'est-à-dire du fait que
S tih ÔY'/j
est la différentielle totale exacte d'une fonction <ï>, potentiel élastique
En résolvant les équations (5) on en tirera
(5') tin=I.bi,,irsyrs,
et en remplaçant dans ces équations les y„ par les valeurs tirées de (i), puis en portant les expressions (5') dans les équations (3), on obtiendra les équations aux dérivées partielles de l'équilibre élastique : ce sont trois équations linéaires du second ordre à trois variables x, y, 2 et à trois inconnues m, p, w.
