LES ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES DE L'ÉLASTICITÉ. 9I

3. Puisqu'il faut supposer que le potentiel P est une forme définie, les équations seront du Ijpe elliptique.

Si le corps est homogène les coefficients ars\ih'> brs\ih sont des constantes et les équations sont des équations à coefficients constants. Si, en plus, on suppose que le corps est isotrope, les 21 coefficients se réduisent à 2 et les équations de l'équilibre prennent la forme classique suivante :

dx '

(6) < KA't^ -f-(L-+-K)|^ = pY,

KAî(v-H(L-hK)^ = pZ, \ ^ ôz ^

avec

du ôv dw

Ox ()y dz L et R étant deux conslantes positives.

A. Le système précédent est un système du lype elliptique plus compliqué que l'équation de Laplace puisqu'on est passé d'une é(|ualion à un système de plusieuis é(|uations. Comme pour l'équation de Laplace, les (onctions inconnues sont déterminées par leurs valeurs à la frontière. On peut aussi se proposer de déterminer u, r, «r connaissant les tensions au contour : dans ce cas, ainsi qu'il est évident physi(|uement, u, ç, w ne sont déterminés qu'à une rotation et translation arbitraire du corps près.

L'analyse de Green s'étend sans aucune difficulté à ce système : on obtient facilement un théorème de réciprocité (le théorème de Betli) et des solutions fondamentales (celles de Somigliana) (').

5. Mais revenons à la loi de Hooke, c'est-à-dire aux formules (5). Elles expriment l'absence de toute action héréditaire. Elles impliquent en effet qu'à chaque instant la déformation dépend uniquement des tensions actuelles.

( ' ) On peut ensuite appliquer la mélliode de Frediiolm à la détermination de la solution par ses valeurs au contour. Frkdholm, Arkiv for Matematik, Bd. H, n" 28. — Lauricella, Nuovo Ciniento, t. XIII, 1907.

Les équations (5) négligent donc l'hérédité dans les actions élastiques. Voulons-nous en tenir compte? 11 faudra corriger ces équations et écrire

'{rs = 2 ars\,/i ti/i-^Vrs\[tiu (l2' •• . \t]\-,

en ajoutant des termes qui dépendent de toutes les valeurs des tensions qui se sont exercées sur le corps. On tient bien compte ainsi de l'hérédité puisqu'alors la déformation actuelle ne dépend pas des seules actions actuelles, mais de toute V histoire des tensions qui se sont exercées sur Vêlement qu'on envisage.

Avant d'aller plus loin il faut préciser la forme de la fonction F : on peut supposer que F soit développable en la série analogue à la série de Tajlor, et que tous les termes soient négligeables, sauf les termes linéaires; c'est faire, sur les actions héréditaires, une hypothèse analogue à la loi de Hooke.

On aura alors

^[rM) = Clrs\ihtih{t) -^r 1 I. ^ rs\i /t{t, t) ti/i{z) dz,

et l'on pourra dire qu'on est dans le cas de Vhérédité linéaire.

Les fonctions <^rs\ih{ti t) se nommeront des coefficients d'hérédité.

Si l'hérédité antérieure à un certain instant opeut être négligée,

et en résolvant, par le procédé classique, ces équations intégrales linéaires, on trouvera

(7) tih{t)=^bin\rs^{rs{t)-^ 2(I/,-ai,.,(«,t)Y^,(t)c?t,

formules qui expriment les tensions actuelles par {"histoire des déformations subies par la molécule du corps.

Remplaçons enfin dans les équations (3) les tih par leurs valeurs données par (7) et les y^^ par leurs valeurs (i), nous obtenons des équations intégro-di fférentielles aux inconnues «, t^, w.

Ainsi, dans le cas de r hérédité., les équations de l'équilibre élastique ne sont plus des équations aux dérivées partielles,

LES ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉllENTIELLES DE L'ÉLASTICITÉ. gS

mais des équations intégro-différentielles. Si le corps est isotrope elles prennent la forme suivante (') : •

KA•^„(0 + (L-f-K)^-^Jf'j4.(^x)A*«(T)-l-[cp(/,T)-f-<j.(^T)]^|rfx=.pX,

ce sont des équations du type elliptique et l'on comprend maintenant pourquoi nous avons étudié l'équation intégro-dilTérentielle (i) du Chapitre précédent : de même que l'élude de l'équation de Laplace précède logiquement celle des équations ordinaires de l'élasticité (6), de même l'étude de l'équation (i) prépare celle du système (8).

6. Nous n'entrerons pas dans le détail de l'intégration du système (8) et nous nous contenterons d'exposer les idées générales qui s'y rapportent. La méthode à employer ne diffère pas de celle que nous avons utilisée dans le Chapitre précédent, avec même, nous le montrerons, d'importantes simplifications.

11 faut d'abord trouver le système adjoint; on l'obtient en remplaçant les équations [']) par les suivantes :

ttu{t) = Zbin\rs-irs{t) -\-J S ^ih\rs{^, t)^,.s(^) dx.

Ecrivons alors les équations intégro-différentielles données sous

la forme

Q\{u, f, w) = pX,

Qi{u, V, w) = pY, 83(a, V, w) = pZ,

et les équations au contour

Wi(a, t», «') = Xç,

»ir,(M, »,,«.) = Z(j.

(') VOLTERRA, loc. cit. {Rend. Lincei, 1909, a* semestre, p. 077,00 Acta niathematica, p. 333).

Posons de même pour le système adjoint

Q\ (u', v', w') = pX',

L'équation de réciprocité prendra la forme

f dtï r ipXif' -hpYv'-hpZw')dS+ f (X^u' ^\^v'-h Z^iv') di\

= / dt\ I (pX'u -h p\'v -^- pZ'w) dS -h I {X'(jU-lr-^'(TV -JrZ'fjw) d<j\.

Reste à trouver la solution fondamentale.

7. Bornons-nous, comme on le fait d'ailleurs dans le cas ordinaire, au cas d'un milieu isotrope. Les équations de l'hérédité linéaire élastique sont alors les équations (8) et le système adjoint a la forme

I K\^u'(t)^(L-\-K)^-^^ -+- r hix, t) ^^ u' (x)-^\<d(t, t)-h<^(x, t)]^^-^l dz = z\'

f KA2(v'(0 + (f^ + K)^+y" j^(^,^)A2,^'(^) + [cp(x,0 + 4^(T,01^{rf^=?Z'

Pour a voir la solution fondamentale, il faut égalera zéro les seconds membres de ces équations et en chercher un système d'intégrales u, v\ iv' devenant infinies du premier ordre au pôle.

C'est cette recherche qui est beaucoup plus simple que pour l'équation étudiée dans le dernier Chapitre. En effet des équations (9), où l'on prend les seconds membres nuls, on tire facilement

Chacune des fonctions u', v', w' satisfait donc à une même équation aux dérivées partielles (10). En d'autres termes, si les relations simultanées entre u', v\ w' ont une forme intégro-différentielle^ par contre chaque fonction inconnue prise séparément vérifie une équation aux dérivées partielles ordinaire.

LES ÉQUATIONS INTÉGRO-DIKFÉRENTIELLES DE L'ÉLASTICITÉ. qS

Au contraire, dans le Chapitre précédent, nous avions une seule fonction satisfaisant à une équation intégro-difi'érentielle tout à fait irréductible en général à une équation différentielle.

En consé(juence la recherche de la solution fondamentale était plus comph'quée qu'à l'heure actuelle.

Dans le cas présent, il suffira de partir de l'équation

A*<ï> = o et d'en prendre trois solutions

telles que

^ \ âx Oy dz j

soit indépendant de t. En posant ensuite

^ ^ ^^ ^ ' dx\dx Oy dz I

^ ' ^ ^^ ' ' dy\dx dy dz J

'^^ ' dz \ dx dy dz J

u', v', iv' seront des solutions des équations adjointes (avec seconds membres nuls) si a et jîl vérifient l'équation intégrale

Nous obtiendrons une solution fondamentale, c'est-à-dire telle que m', v\ w' soient infinis comme -au pôle, en prenant deux des trois fonctions <!>,, <I>2, <ï>3 égales à o et la troisième égale à r.

8. Nous avons donc obtenu le théorème de réciprocité et les solutions fondamentales. 11 n'j a dès lors plus aucune difficulté pour appliquer au problème la méthode de Green ; on trouvera facilement les formules qui expriment les déplacements m, v, w en

fonction des forces de masses X, Y, Z, des déplacements au contour et des tensions au contour (').

Le problème général de l'élasticité consiste à obtenir les déplacements intérieurs dès que l'on connaît au contour les déplacements ou les tensions. Il faut pour cela, des formules obtenues, éliminer les déplacements ou les tensions. M. Lauricella (2) a réussi dans le cas le plus général à éliminer ces dernières. On peut donc dire que le problème de l'équilibre élastique, les déplacements au contour étant donnés, est résolu dans le cas le plus général de V hérédité linéaire. Assurément la solution a un caractère tout théorique, niais c'est aussi le caractère de la solution générale du problème ordinaire de l'élasticité. On doit même ajouter que les formules où l'on envisage l'hérédité ne sont pas plus compliquées que celles où on la néglige.

Ainsi l'analyse est aujourd'hui assez avancée pour permettre, non seulementd'aborder, maisencore de résoudre complètement les problèmes généraux de V élasticité en tenant compte de V hérédité.

Nous verrons même que dans des cas particuliers, les plus intéressants d'ailleurs, les solutions revêtent une forme simple et parfaitement abordable pour les applications. Ce sera le sujet de Chapitres prochains (^) après quelques considérations générales sur l'hérédité qui occuperont le Chapitre Vil.

9. Nous ne nous sommes occupés jusqu'à présent que des problèmes d'équilibre élastique, l-ics problèmes de vibration des corps élastiques conduiraient à des équations du même lype que l'équation (7) du Chapitre V (n° 9), c'est-à-dire du type hyperbolique ( '' ).

Nous allons maintenant, comme nous l'avions annoncé, traiter

(') Pour toute cette théorie, cf. Volterra, toc. cit. (Acta mathematica, Chap. II).

(^) Lauricella, Sulla risoluzione dette equazioni integro-differenziali delV equilibrio dei corpi elastici isotropi per dati spostamenti in superficie {Lincei Rend.., 1912, i'" semestre, p. i65).

(') Chapitre VIII et Chapitre IX. n» 17.

(^) M. Evans a étudié aussi des équations du type parabolique. SulV equazione integro-differenziate di tipo parabolic.o {Lincei Rend., 1912, 2» semestre).

LES ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉHENTIELLES DE l'ÉLASTICITÉ. 97

quelques cas simples d'équations de ce type (') : nous nous occuperons d'abord de l'équation

qui régit le mouvement d'une corde élastique dans le cas de l'hérédité linéaire. On peut, pour l'intégrer, appliquer la méthode de séparation des variables comme dans le cas ordinaire des cordes vibrantes, c'est-à-dire rechercher les solutions de forme

»(^, 0 = sinm(^ + a)/(0,

où a et m sont des constantes.

Il faut et il suffit que la fonction /(/) satisfasse à l'équation intégro-dillérentielle

nÀf(t)+J^'/(-z)'i^(t,'z)dz\=o,

qui, après deux intégrations et en posant

(<--)+ f d'c f\{r,,x)dr, = F(^t), s'écrit (11) f{t)-^ m^ f f(z)F(t,'z)dz = at-^b.

Celte équation (i i) a déjà été résolue [Chapitre YW, n" 4, fornUiles (A) à (F)]; on sait qu'en posant

¥^M(^t, z)= f F<à-k^(f, $) Ft-^'CÇ, t) dl et

S(r, tI a-) = .r F(»'(^ t) -+- x^ F(2)(^ t) 4-. . .-t- a-/' F^'^Ut, t) -+-. . .,

(') VoLTERKA, Vibrazioni elastiche nel caso délia crédita {Linceiliend., 191: 2' semeslre).

on peut en tirer

a\t^f zS(t,z\mi)dz \^b\\-^C S(t, z\m'-) dz\

En écrivant enfin

/+ / zS(t,z\x)dz = Si(t\x),

il vient

-t- f S(t,z\x)dz = 82(^137),

S( et S2 sont deux transcendantes entières en .a; (').

Nous obtiendrons les solutions de l'équation (10) en combinant linéairement une infinité de solutions de la forme

sinm(z -t- oi)f{t).

Dans le cas particulier où la corde, de longueur Z, est fixée à ses extrémités, la fonction représentant son mouvement sera

les Un et les bn étant déterminés par les conditions initiales

V du{z. t)'\ ■v^ . n-K

La théorie est, on le voit, toute semblable à celle des cordes vibrantes sans hérédité^ les deux fonctions S, ef Sg remplaçant seulement les transcendantes trigonométriques sin et cos. Les équations

(verge élastique) et

(i3) '" '^^^f'"'^' =\^u(x,y,z,t)^ f ^^u{x,y,z,z)^{t,z)dz.

(') Cf. Chapitre IX, n° 10.

LES ÉQUATIONS IMÉURO-DIFFÉRENTIBLLES DE L'ÉLASTICITÉ. 99

se Irailent comme la précédente et introduisent comme elle les transcendantes S, et S2 (').

Un grand intérêt des considérations précédentes est qu'elles permettent, par Vétude d^un des mouvements régis par les équations (10), (12) ou (i3), de mesurer le coefficient d'hérédité ^{t, t) dans le cas important et facile à caractériser (=*) oii ce coefficient est de forme

avec

On a alors

• 0 donc

S(^T|3") = a7F(i'(«)-+-a:'- V'-' C:,) ^ . . .-^ x'' ?'^M{i) -^ . . .rrz S($|a:) et enfin

On en conclut

</S.,<|x)^ ,, at

L'étude (lu mouvement nous ("ait donc connaître S(i|x); on en

(') Cf. VoLTEHiiA, Vibrazioni elastiche net caso délia crédita {Lincei Rend., 1913, 1* semestre).

(^) C/. CliapiUe VII. C'estle cas où les conditions du cycle fermé sont véri(ié es. Cf. Chapitre XIV. a" G.