ICO CHAP. VI. — LES ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES DE L ÉLASTICITÉ

déduit aisément F(^) par la formule (') avec

et enfin '^(^), par

Le coefficient cV hérédité peut être ainsi calculé.

( ' ) Cf. Chapitre IV, n- 4, formule ( D').

LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ

, Introduction. — 2. Postulat de la dissipation de l'action héréditaire. — 3-4. Invariabilité de rhérédité. Condition du cycle fermé. — 5. Principe du cycle fermé. — 6-9. Conséquences et applications de ce principe à des cas tant linéaires que non linéaires. — 10. Il est utile d'introduire l'hérédité non linéaire pour rendre compte des particularités de certains phénomènes. — 11. Les équations fondamentales de l'électromagnétisme en tenant compte de l'hérédité. — 12. Cas statique : importance de l'équation intégro-différentiellé du Chapitre V.

1. Nous avons, dans le Cliapitre précédent, expliqué comment, dans la théorie ordinaire de l'élasticité, on admet que la déformation actuelle de la molécule est une fonction de l'état actuel des tensions. Au contraire, si l'on veut tenir compte des phénomènes d'hérédité, il faut la faire dépendre de toute l'histoire des tensions qui se sont exercées sur cette molécule (').

Ceci s'exprime analjtiquement, nous l'avons vu, par des relations

/ t que nous avons écrites, en supposant l'hérédité linéaire

'irs^t)=Zars\iat,,kit)-^J y:^rs\/.k{t,z)t„k(~)lh (2).

Les conditions du cycle fermée dont nous allons maintenant nous occuper, nous permettront, quand elles seront vérifiées, de dire quelque chose à priori sur la forme des fonctions

(') Cf. le Chapitre XIV.

(- ) Nous avons admis implicitement dans le Cha[>itre précédent que les fonctions ?rtUi "^ dépendaient que de t et de -. Si le milieu élastique n'était pas homogène, il faudrait évidemment admettre que <p„i;,i contient aussi les variables x,y, z.

OU plus généralement

2. La conception fondamentale de phénomène hérédilaire consiste à regarder l'état actuel d'un système comme dépendant de toute son histoire antérieure ('). En nous limitant au cas le plus simple où l'état au temps 1=^ x d'un paramètre z dépend de toute l'histoire d'un autre paramètre y, c'est-à-dire de toutes les valeurs assumées par^ pour — ao <it^x, nous aurons

en posant

En appelant C la courbe qui a pour équation y^^fi^L) dans l'intervalle ( — oo, x)^ nous pourrons écrire aussi

(2) -=-F|fC]!.

Nous supposerons f{t) toujours inférieure eu module à un nombre fixe M, nous admettrons de plus que Vaction héréditaire diminue indéfiniment avec le temps. C'est ce que nous nommerons \e postulat de la dissipation de Vaction héréditaire, lui donnant l'énoncé suivant : si l'on change d' une façon arbitraire la fonction f{t) dans l'intervalle ( — oo, j;,) [en la maintenant toujours inférieure en module à M), tandis qu'on la conserve inaltérée dans V intervalle (x,, x)^ la valeur absolue de la variation de z peut toujours être rendue inférieure à un nombre arbitrairement petit, pourvu qu'on prenne x — .r, supérieur à une certaine valeur.

3. Il est évident que si nous changeons x, extrême abscisse de la courbe C, ou/(;), c'est-à-dire la courbe G elle-même, ou simultanément ces deux éléments, z changera en général.

Donnons k x eV k f{t) une modification simultanée consistant en une translation de la courbe C d'une longueur h parallèlement

(') Cf. VoLTERRA, Sui fenomeni ereditarii {Lincei Bend., i" semestre igiS).

LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ. lo3

à l'axe des t. En d'autres termes, substituons à la courbe C la courbe C dessinée en irait plein sur la figure 6. Posons

Fi g. 6.

Différentes circonstances peuvent se présenter :

I** Quel que soit h et quelle que soit la fonction y, on a 5'= z] 2° Pour certaines valeurs de h et quelle que soit/, z'= z\ 3° Quel que soit h et pour certaines fonctions/, z'= 2; 4" Pour certaines valeurs de h et certaines fonctions/, z' =^ z'., 5° Quel que soit h et quelle que soit la fonction/, on n'a jamais

Donnons des exemples de ces différents cas

1° Soit

fit)dt

-Lr

(x—ty

~x+li

f(t — ll)dt

fit)dt

2" Soit

En prenant A= iizn (n étant un nombre entier) nous aurons, quelle que soit/, z'= z. Cette égalité n'aura pas lieu, en général, pour d'autres valeurs de h.

( *) Les limites — co et x -^ h se rapportent à la variable t.

I04 CHAPITRE Vil.

3° Soit

Si/esl périodique et de période 2 tï, nous aurons z' = z quel que soit h; sinon ;;' sera en général différent de :;. 4° Soit

'■ T[f(t - 9.T.) ~ /(()] -^ (Sinx ^ .T - t) fit) ^^

Prenons h = 2 -n (n étant entier) et/périodique de période 2 t, nous aurons 5::= z' . Rien de semblable dans le cas-général. 5° Si enfin

on a ^ = z' dans le seul cas où li = o.