Dans le premier cas où l'on a, quel que soit

F|[/(0]l = F|[/(^^/Ol|,

où par conséquent z est invariant pour toutes les translations de G dans la direction t ('), il est évident que F dépend seulement des valeurs de /{t)., ne dépend pas du point x extrémité de la courbe. En d'autres termes, F est une pure fonction de la ligne. Au point de vue héréditaire, ce cas sera caractérisé par le fait que l'état en un certain instant ne dépendra pas de cet instant, mais sera entièrement déterminé par la façon dont s'est développée l'histoire antérieurement à cet instant : la loi héréditaire sera invariable dans le temps. C'est ce que nous exprimerons en disant que dans ce cas il j a invariabilité de V hérédité.

Examinons maintenant le quatrième cas et supposons qu'on ait

F|[/(OJI = F|[/(^-'t)J|,

(') On pourra emplo3'er un langage géoméliique analogue pour les autres cas.

LA CONDITION DU CYCLE FF.RMÉ. I05

lorsque T a une certaine valeur délerminée et que f{t) est périodique avec la même période (c'était précisément le cas dans l'exemple 4° du n" 3), F est alors invariante pour toutes les translations d'amplitude T parallèles à Vaxe des t qui ramènent la courbe C en elle-même.

Nous aurons dans ce cas

F I t/Toj I = K I [fit)] 1 = F 1 [m] 1,

ce qui montre que

est périodique avec la période T lorsque

est périodique avec la même période.

Considérons y et s comme les coordonnées d'un point du plan. Lorsque:*; varie, ce point parcourra une courbe : dans le cas actuel ce sera un cycle fermé décrit d'un mouvement périodique de période T. Nous pourrons donc caractériser ce cas en disant que la condition du cycle fermé avec la période T est alors vérifiée.

L'importance de cette condition du cycle fermé n'échappera pas au lecteur quand nous aurons remarqué que les phénomènes d'hystérésis magnétique et élastique, qui sont le type des phénomènes héréditaires, vérifient la condition du cycle fermé pour une période ï arbitraire ('). Il est dès lors naturel de chercher, comme nous l'avons déjà dit au début de ce Chapitre, ce que ce dernier fait peut nous faire connaître sur la loi d'hérédité. La réponse est fournie par le résultat que je vais maintenant démontrer, et que j'ai nommé principe du cycle fermé.

5. Principe du cycle feiimk. — Si la condition du cycle fermé est vérifiée pour toutes les périodes T, il y a invariabilité de V hérédité, et réciproquement s'il y a invariabilité de V hérédité, la condition du cycle fermé est vérifiée pour toutes les périodes.

(') Dans la suite nous dirons alors simplement que les conditions du cycle fermé sont vérifiées.

Io6 CHAPITRE VII.

Démontrons d'abord la proposition directe ('). Supposons que

^-F|[/rO]| = F|[G]|

vérifie pour* toute période la condition du cycle fermé et soit un nombre H tel que pour toute déformation de C entre x — H et — 00, F ait une variation plus petite en valeur absolue que a. Si nous déformons C à partir de jK — H jusqu'à — oo de manière à la rendre périodique avec une période T >> H et si nous nommons G' la courbe ainsi obtenue, F | [C] | ne change pas par une translation de C égale à T. On en déduit que F | [C] | aura, pour une translation de C égale à T et en général pour toute translation de C plus grande que H, une variation inférieure à 2 t.

Mais, par une translation positive et une translation négative, toutes deux plus grandes que H, on peut obtenir une translation arbitraire de C. Il s'ensuit que, pour toute translation de C, F|[C]| subit une variation plus petite que 4^- Or <^ pei't être choisi, d'après le postulat de la dissipation de faction héréditaire^ aussi petit qu'on veut; par conséquent F | [C] | est invariant pour toute translation de C. Il y a- invariabilité de l'hérédité.

La démonsiralion précédente suppose que, soit pour la définition

de F| [/(<)] |, soit pour le postulat de dissipation^ f{t) ne soit

pas soumise à d'autres restrictions que celle indiquée au début de cette étude,