KM

Avec de très légères modifications, la démonstration s'appliquera au cas où f(t) doit avoir des dérivées jusqu'à un certain ordre, ces dérivées étant bornées en valeur absolue par un nombre N (^). Si, par exemple, /(i) doit avoir une dérivée première/'(^) avec

pour être sûr que la courbe C périodique obtenue en modifiant G

dans l'intervalle ( — 00, .r — H) peut satisfaire à la condition (2'),

2 M il faut prendre T supérieur à H H — ^. et non pas H comme pré-

(') Cf. VOLTERRA, toc. Cit., p. 102.

{-) C'est le cas pour la loi d'hérédité envisagée au n° 8.

LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ. IO7

cédemment. Ceci ne modifie en rien la (suite des raisonnements.

La proposition réciproque se démontre immédiatement en remarquant que si la fonction F|[(]]| est invariante pour une translation, quelle que soit la courbe C, elle sera encore invariante lorsque G sera périodique avec une période égale à l'amplitude de la translation.

Le principe du cycle fermé est ainsi établi. Observons qu'il est encore valable quand /et F sont disconlinues, le c^cle étant alors discontinu.