Tirons-en maintenant quelques conséquences

Théorème L — aS"/ F | [/(O] I satisfait à la condition du cycle fermé pour une période T arbitraire^ si elle est continue et dérivable par rapport à/, on aura

(3) F'i [f(t-ji), ^ + Aj I - F'i [yxo, U I-

Prenons en effet une fonction 'j>{t) finie et continue, telle que o(t) = o pour t compris entre — oo et — k;

/n>cp(f)>o » t

)) k et + Qo;

et soit

Puisque F satisfait aux conditions du cycle fermé, il vient

P\[fit- h) -^(t ^ - A] I = F| [.A^) -r^\(t- t)] I,

d'où

F\[fit-h)

I [f(jj\ 1

et, en passant à la limite lorsque k et m tendent vers zéro, on en déduira la formule (3).

Il n'est pas plus difficile de démontrer que la dérivée /i"'"'* de F satisfait à la relation

^"''\[fCt^\), ^,-1- A, ^,4- A, . . ., ^„-^ A] I = F(«'| [/(O, ;i, ^2, . . ., ^«] |.

On dira qu'une fonction 4> de la ligne /(^) et de n paramètres i,, ^2? • • •) i« vérifie les conditions du cycle fermé lorsque

'iM uCt^J^), \i-^h.U-^ii,-..An+h]\ = ^\ \/lt), u, b, • . ., un, •

on peut donc énoncer le

Corollaire 1. — Si une fonction satisfait aux conditions du cycle fermée il en est de même de toutes ses dérivées.

Envisageons maintenant une série ( ' )

(4) FK/^OM

dans lar|uelle F«(\r | ;i, ^2, • • -, \n) soit symétrique par rapport à il , Ç25 • •■ , in 6t en valeur absolue inférieur à

M, £i, £2? • • • 7 ^ni R étant des nombres positifs. F sera déterminée et finie pourvu que \f{t) | < R et nous aurons

F'"M [/JO. ^1, ?2, . . ., U] I - F„(^ 1 ï„ U, . . ., ^„). D'après le corollaire précédent, si F satisfait aux conditions du

(') C'est l'extension de la série de Taylor envisagée au Chapitre II, n» 5.

LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ. IP9

cvcle fermé on aura

F„(.r-^/t|Si-i-/t,S2-t-/j, ...,«„^//)= F„(^lS,,ï., ....««), c'est-à-dire

F„(^|?i,eî, •••,?«) = F„(ar-£,,a7-£,, ...,^-3,/). La proposition réciproque est évidente, donc :

Corollaire II. — La condition nécessaire et. sufjisante pour que la fonction (4) vérifie les conditions du cycle fermé est que

F„(;r|$„32, ...,U) = F„(x-f,,.r-ïj, ...,.r-t„) (« = i,-2, ...).

C'est un cas particulier de ce corollaire, celui où la série (4) se réduit à son premier terme (hérédité linéaire), que j'avais énoncé dans un précédent Mémoire sous le nom de principe du cycle fermé ('). I-.a méthode ici adoptée a permis de donner de ce principe un énoncé tout à fait général. De plus, elle a l'intérêt de constituer un premier pas dans l'étude générale des propriétés invariantes des fonctions de lignes. Sans qu'il soit hesoin d'insister,^^ il est clair que les critères mis en œuvre dans ce Chapitre sont susceptibles de notables extensions.

Jusqu'ici nous nous sommes toujours placés dans le cas simple d'une seule quantité z dépendant par une loi héréditaire d'une autre quantité r. Les résultats précédents subsistent en général : dans le cas de l'élasticité avec loi d'hérédité linéaire, par exemple, les conditions du cycle fermé imposent aux coefficients d'hérédité 'fr^lAA («,'), la forme