Supposons maintenant que

(') Suite equazioni délia elettrodinamica {Lincei Rend., - mars 1909). Voir aussi Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications {Acta matkematica, t. XXXV) et Leçons sur les équations intégrales et intégro-dijférentielles, Chap. IV, § 6.

M et £ étant des quantités positives, et qu'on ait

(6) SF[[/(^0]i=/"F'|[/o,^]|8/(0^;.

Nous pourrons démontrer le

t Théorème II. — Si la dérivée première ofe F | [/ (i)] | satisfait

aux conditions du cycle fermé et si\¥\ [/(^ )] j [ est cons-

tante par rapport à x^ alors F|[/(7)]| satisfait^ elle aussi, aux conditions du cycle fermé.

En effet, posons

F| [/(f- A)] I - F| \flt)\ I = *| [/,)] |.

II vient

*'| UCt)M\ = F'I \.f{t^'~h), ^ + /O 1 - F'I UCt)M\ = o-

^1 [/(')] I est donc indépendante de /(^) ('). Mais pour/(^) = o

Nl[/(0]l! est nulle.

On a donc constamment

*|[/(01l = o, ou

F\lfit^h)]^F\[fCt)]\.

Théorèmk III. — Si F|[/(^)]| satisfait aux conditions du

cycle fermé et aux conditions (5) et (6), et sif{t) ainsi que sa dérivée première est finie et continue, nous aurons

^== rn\nt)A]\fa)di

( ' ) \ oir Leçons sur les équations intégrales et intégro-différentielles, Chap. I, § 9, p. 17.

LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ

En effel,

F| f/fo] ! - F| [/('/ ,j I F\[f(t^ h)\ I - F| [/(O] I

et, eti passant à la limite pour h = o, dF

^,=f niAjl.iu.ni)''i.

8. Voici une application des considérations précédentes : soit la loi d'hérédité

f\i[f(t),f'{t),...,fM(t),:,,t]dt,

la fonction J étant telle que l'intégrale soit convergente et qu'on puisse faire toutes les opérations de dérivation et d'intégration par partie, dont nous aurons besoin par la suite, sous la seule condition que /(<),/'(;), . ..,/(«^u), ... soient finies.

Pour que les conditions du cycle fermé soient satisfaites, il est évidemment suffisant qu'on ait

(8) §[f{t),f'(t),...,/<-^{t),x,t\=^[f(t),f'it),...,f-{t),x-f].

Mais cette condition n'est pas nécessaire : ajoutons en elFet à l'expression précédente de <^ le terme

±\ ^-' /(0l; dt [i + Crr + O*"^ J

il n'a pas d'influence sur la valeur de 5, car il s'intègre immédiatement et donne zéro aux deux extrémités de l'intervalle, mais il empêche que ^ ait la forme (8).

Appliquons à l'intégrale (7) le corollaire I. La dérivée première de z par rapport à/(<) prise au point ^ est ( ')

[ûf dt df ^ dt^ df --'/t^i ''1/^^^'/ •-''•••'•^'-1'

(') Nous avons calculé cette dérivée au Chapitre II, n" (').

on doit avoir

Donc

'd.f d d.i d^ dK'f

Soit alors, on peut toujours la trouver, une fonciion telle que on aura

S'a étant une fonction telle que

di^ d ùij^

àf ~ d\ ^+----^-

Mais alors

ne dépendra que des valeurs de/, /', ... au point x. En effet

sjr/.(/./',..-.-,')*=r(^'s/+^r+...)

Donc z doit pouvoir s'écrire sous la forme

z = fu[f{x)J'{x),...] + f É,[f{t),f'{t),....x~t]dt-

rfo ne dépendant pas explicitement de x. Réciproquement d'' ailleurs^ si z est de cette forme, la périodicité de f entraîne la périodicité de z.

En posant

LA CONDITION OU CYCLE FERMÉ. Il3

il vient enfin

^oU{x\f{x),...\=j''§^[f{t),f'{t):...,x-t]dt.

Donc

-=f ]^^[/(n,f'it),...,x-t] + ^,[/{t),/'(t),...,T-t]\dt.

Quand les conditions du cycle fermé sont vérifiées^ z peut toujours se mettre sous la forme

J ^^{f{t).nt),...,x-t]

dt,

et réciproquement.

Il n'est pas difficile d'étendre ce résultat à l'intégrale plus générale

f{tn),f'(t„), ...,X,ti.ti, ...,tn]dtidti...dt„.

9. Dans les considérations précédentes (n" 7) nous avons toujours supposé que

8z= rF'i[f(t),^]\-ofa)dl

c'est-à-dire qu'il n'j avait pas de points exceptionnels.

Admettons maintenant qu'il y ait des points exceptionnels d'abscisses xi. Il faudra alors ajouter à l'expression précédente (le o; des termes de la forme

A,M 0/(37,) -H kiyjf{Xi) -+-...+ A,>8/('"(a7,-).

On aura

lf(,x'i-h) = lf{Xi\

en désignant par x\ la nouvelle valeur de Xi lorsqu'on change x en x-\-h. Comme cette relation doit être vérifiée quels que

soient h et o/, il faut que

Xi= X -^ G,

G étant une constante. Donc :

Un point exceptionnel ne peut différer du point x que par une constante.

Il4 CHAPITRE VII.

Les coefficients ki^k ne doivent pas changer quand on applique à la courbe G une translation arbitraire parallèle à l'axe des t.

Supposons par exemple que A/^/t soit une fonclion de f{xi), f'(xi), . . ., .f^"\xi) et Xi. Il ne doit pas dépendre explicitement de Xi.

10. L'étude du principe du cycle fermé dans le cas de l'hérédité non linéaire a un grand intérêt au point de vue des applications; nous allons le montrer rapidement.

Les phénomènes héréditaires auxquels on donne d'ordinaire, par exemple en électrotechnique, le nom de phénomènes d'Aj'^ferésis^ sont en effet soumis, nous l'avons déjà vu (n" i), aux conditions du cycle fermé. Mais ils semblent aussi soumis à la condition que, aux maxima et minima de la courbe Q [c'' est-à-dire de f) correspondent des maxima et minima de z (voir la figure ci-dessous, y?^. y).

Fig- 7-

D'autres phénomènes héréditaires, ceux que l'on nomme par exemple phénomènes de traînage, ne vérifient pas la condition précédente.

Or, cette condition ne peut pas êlre toujours remplie si, la loi d'hérédité étant linéaire et restant inaltérée, on y change de toutes les manières possibles l'histoire des actions auxquelles est soumis le système. On peut le montrer par des exemples (').

(') M. Levi-Cività a fait cette remarque et a donné des exemples.

LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ. il S

• Si l'on veut que la condition précédente relative aux inaxima et niinima soit satisfaite pour toute histoire possible, il faut utiliser des lois d'hérédité non linéaires. Il est facile de s'assurer qu'avec de telles lois on peut remplir la condition précédente. Il suffit par exemple de prendre

z{t)= f /'(x)e>/'Wc?x f §{z — u)p{u)du.

Nous y supposerons rf (x — u) positif et infiniment petit d'ordre i + s (s > i) par rapport à u quand u croît indéfiniment. On a

z'(t)=/'(t)e'>^r^t> .i{t-u)f^u)du,

ilonc

z'(t)=zo, si f'{t) = o.

En outre

z"(f)=f"{t)e^'f'^''J §{t-u)p{u)du

donc quand/' {t) = o, z" et/" ont le même signe. Les maxima et minima de f et z se correspondent bien. On peut aussi, en choisissante, dépendamment de/, faire en sorte que, f{t) étant périodique de période T, z{l) soit périodique avec la même période. En eilet z' {t) est périodique et a la même période que f{t). Calculons alors

f z'{t)dt= f f'{t) e>^f'^^^ f ^{t-u)p{u)dudt\

f'{t) change de signe dans l'intervalle (o,T), puisque

f f'{t)dt=o.

Si nous prenions A =: -4- oo la partie où f'{t) est négative serait négligeable dans l'intégrale (6), on aurait

f z'{t)dt>o.

Il6 CHAPITRK VII.

Si nous prenions au contraire X= — oo nous aurions

z'{t)dt <o.

Enlre — oo et + oo il y aura au moins une valeur de X, soilX,, telle que

f z'{t)dt = o.

Si l'on prend X= A|, z{t) sera bien périodique et de période T.

Il est évident que toutes les théories faites ou à faire sur les équations intégro-différenlielles s'étendront au cas de l'hérédité non linéaire, si l'on se borne, naturellement, à certains champs fonctionnels.

11. L'application du calcul aux phénomènes d'hérédité est intéressante non seulement pour l'Elasticité, mais encore pour la théorie du Magnétisme et de l'Electricité. Nous allons, précisant cette idée, indiquer brièvement ce que deviennent, dans l'hypothèse de l'hérédité, les équations fondamentales de l'Electrodynamique (').

Ces équations fondamentales sont, d'après Herlz (2), les suivantes :

, dx-^ dm d^ , ,

dt dz dr

( I ) / A 37 = — — 4 Ti A p,

^ ^ ' dt dx dz

, dh dh dm , ,

dt dr dx '

( ') YoLTEnRA, Sulle eguazioni délia elettrodinamica (Lincei liend., i"' semestre 1909, p. 2o3) et Acta matheinatica, loc. cit., p. 348. 0 Wied. Aniialen, t. XL, p. 577.

dt dy

dz '

^ dd\L d\ dt ~ dz

. ddL dY

dX^

LA CONDITION DU CYCLE FERMK. I I7

avec

!A- = e,iX-4-e,5Y-(-6i3Z, ^ =e„X-H6„Y-+-eî3Z, i = e^iX + EsîY + eaaZ,

1JÙ = [ji,,L-i- jjLuM -+- fjiiaN, D\L = !Xi,L-i- [Xî,IVI-+- fXjsN, <Db = jjij, L -h [Ji3, M -1- [ZjsN, et

(III) K' =Xî,(X-X') + X„(Y-Y')H-X23(Z-Z'),

( iv = X3,(X -X') + X3î(Y-Y') + X33(Z-Z'),

J^, 011, i)L ; L, M, N, étant respectivement les composantes de l'induction et de la force magnétique; cX,^', Jb; X, Y, Z; m, t', «r respectivement les composantes de l'induction, de la force et du courant électrique; X', Y', Z' celles de la force électromotrice.

Les équations (II), (II'), (III) impliquent la non-hérédilé : lai valeur actuelle de l'induction électrique ou magnétique, et du courant électrique ne dépendant que de la valeur actuelle de la force électrique ou magnétique. Elles ne peuvent donc représenter qu'une première approximation puisqu'elles excluent les phénomènes héréditaires. Pour obtenir l'approximation suivante et tenir compte de l'hérédité, il faut corriger le second membre des équations (II), (IF), (III) par des termes dépendant de toutes les valeurs passées de la force électrique ou magnétique. U faut écrire

iila)

£(0 =hm,L(0 + î^uM(0-+-!^i3^(0-+-*i|[»^(^).Wt),N(x)]|,

(JI^) l 31I(0=[^iiL(0-i-!^2î^ï(0 + I^î3N(0 + *il[L(^),M(T), N(x)]|,

t dZ{t) =}i3iL(0 + |^3îM(0-+-[Jtî3N(0 + *3|[L(x),M(t),N(T)J|,

OÙ F,,F2,F3 sont des quantités dépendant de toutes les valeurs de

,X(0 + ei2

ïïin =

iX(0-^£22

lX(0 + £32

ri8 CHAPITRE VU.

X(t), Y(t), Z(t) pour — oo<T<^ el de même $,, ^2, ^3- Admettons enfin que les effets de la superposition des forces électriques 011 magnétiques s'additionnent, les F et les $ seront alors linéaires, le système (lia) s'écrira

cX(0 = £nX(0 4-£i2Y(0 + £i3Z(0

^(0 =£2lX(0+e22Y(0+'23Z(/)

i(0 =£3iX(0+e32Y('0+£33Z(0

el de même

LL(x)'];u(^t) + M(x)^,2(^^) + N(t)4;.3(^-)]«^-,

011(0 = f^2lL(0+I^22M(0+!^23N(0

4-y [L(x)<|.2,(«,x) + M(x)4.22(^t)+N(x)^23(^x)]^X, 3^(0 = (J^3lL(0+ !^32lVI(0+f^33N(0

+y [L(x)J;3i(«,^) + M(x).}.32(^x) + N(x)^33(^x)]nfx,

équations où, si le corps n'est pas homogène, les eis, [jl/^, ois, àiis sont aussi des fonctions de x^y, z. En portant ces valeurs de sX, '^, i, 4^, OTl, X dans les équations (I) et (F), on aura un système d'équations intégro-diflerentielles pour déterminer le champ électromagnétique. La condition du cycle fermé se traduira, d'après les considérations précédentes, par le fait suivant:

9n, ?i2, ..-, <Viii 'l'iï' •••'

seront fonctions seulement de la différence t — t.

LA CONDITION DU CYCLK FERUE. 1 19

D'après une remarque précédente (Chap.VlI, n"10), rh^-pothèse simple que nous venons de faire ne suffira pas à exprimer complètement les phénomènes d'hérédité des corps ferro-magnétiques. Il faudra dans ce cas (si l'on veut qu'à des maxima et minima de la force magnétique correspondent des maxima et minima de l'induction) admettre pour $,, 4>2, <I>3 des formes plus compliquées, non linéaires. On sera conduit pour déterminer le champ électromagnétique à des équations intégro-difTérenlielles plus complexes que précédemment.

12. Pour terminer, nous allons montrer le rôle que joue, dans l'étude de ces phénomènes d'hérédité, l'équation intégro-différentielle étudiée dans le Chapitre V.

Supposons riiérédité linéaire et plaçons-nous dans le cas statique, c'est-à-dire admettons que ^., ij, Jî ; J^, 511, Ob varient avec le temps assez lentement pour qu'on puisse négliger les dérivées

dDTL

dDij d'?V-

dt '

' dt ' dt '

dt' dt'

Nous aurons

alors

ÔY

d\ dZ

cf;'

~ dz ~

dz dx ~ '

dx dj ~ ^'

àh dN

dm dh

'àf ~

~ Uz ~

dz dx ~ '

d'oii

dx'

^r àW

Supposons que les e et les cp soient indépendants de x, y, z. Prenons pour axes de coordonnées les axes principaux de la quadrique

e,ia:2+ Ô2î7*-l- £33-5^+ (ej3-t- £32)72 -h {^^^+^^^)zx + {t^i^ z-i{)xy = 1, que nous supposerons coïncider avec ceux de la quadrique

fll-r^-t- ?2jj2+ ?333* + (?î3-t- ?3î)72 -^(?31-t- ?13)2a7 + (5Siî-f- ^ix)xy = 1,

120 CHAPITRE VII. — LA CONDITION DU CYCLE FERMÉ

quels que soient t et t. Les formules (II*) deviendront

;^'-^" ox

./. Ox ^"'''

r' à^ix)

x)dz,

, ôWit)

■z)dz-

'•"' dz

d'où, en tenant compte de

dx ' dy ' dz

on tire pour déterminer V V équation indéfinie

Cette équation, si l'on fait un changement linéaire sur les variables et si l'on admet en outre que les forces électriques antérieures à l'instant o soient négligeables, se réduit à l'équation

étudiée au Chapitre V.

Ceci met bien en évidence l'intérêt de cette dernière équation.