Nous avons, dans Je Chapitre VI (p. 94), annoncé que

C'est immédial sur les équations (2) ou (2'); on en lire, en efTeJ,

A20 = (i — A7»Aj)Aî6, ou

Ay'AîAîO = 0, et par conséquent

cette dernière égalité entraînant

A* « = A^ f = A* tv = G, et aussi

3. Je rappelle maintenant nn théorème de M. Almansi sur les fonctions biharmoniques (') d'après lequel : les fonctions m, p, Kv satisfaisant aux équations (2'), où 2r est une fonction harmonique^ sont de la forme

' dz

R étant une constante arbitraire et U, V, W, f des fondions harmoniques, f étant seulement assujettie à vérifier l'équation

M. Almansi a appliqué ce théorème à l'étude du problème ordinaire de la splière élastique. Nous l'utiliserons ici à traiter le même problème en tenant compte de l'hérédité.

Enonçons tout d'abord ce problème. Soit une sphère élastique

(') Sulla deformazione délia sfera elaslica {Memorie délia B. Ace. di Torino, anno 1896-1S97). M. Almansi appelle /o/?c<ton biharmonique une fonclion qui vérifie l'équation A^A-=o.

homogène isotrope de rayon R, de centre l'origine. Supposons connues les déplacements au contour ; admettons que les forces de masse soient négligeables, il s'agit de calculer les déplacements M, (^, w à l'intérieur de cette sphère (' ).

Dans les équations (5) les fonctions harmoniques U, V, W sont connues au contour (-) et par conséquent à l'intérieur de la sphère.

Il reste à déterminery. Or, des équations (5) on tire

d'où, en posant

. d\] ÔY dW df

ôx dy dz dr

^ d\3 dV dW ox dy oz

& = (i — Ay' A2)0 =(i-A7'A2)e + (i— A7»A,) Ur^-fY

En y remplaçant B par celte valeur l'équation (6) devient alors

/+(, + A7iA,)(/-^j=i(i-AT'A,)e,

et en résolvant en j- —• àr

c'est-à-d

ire

La transformation (A, ^-Aa) 'A, se calcule aisément, elle a la forme

c étant la constante

et So une fonction facile à obtenir.

(') Cf. VoLTERRA, Soluzione délie equazioni integro-dlfferenziali delV elaslicità nel caso di una sfera isotropa {Lincei Rend., i" semestre 1910, p. 107).

C^) D'après les condilions aux limites, les valeurs au contour de U, V, W étant précisément celles de m, v, w.