LK PROBLÈMK DE LA SPHÈRK ÉLASTIQUE ISOTROPE AVEC HÉRÉDITÉ

Finalement il faut, pour trouver/, intégrer l'équation inlégrodiirérentielle

<A) /Ml^ + cf{t,r)^ f So(T,0/(x,r)rft = <ï'(^r),

OÙ <I>(^ /•) est la fonction connue

i(A,H-Aî)-i(A,- A^e.

Dans cette équation y et 4> sont fonctions, non seulement de / et de r, mais encore des deux angles polaires qui servent à fixer la position d'un poinl sur la sphère : ces deux angles n'enlrent dans l'équation (A) que comme paramètres. Aussi nous n'avons pas à nous en préoccuper.

4. Nous avons ainsi ramené l'intégration d'un système de trois équations inlégro-differentielles aux dérivées partielles à l'intégration d'une équation intégro-difierentielle ordinaire du premier ordre (A).

L'équation (A) peut s'intégrer par plusieurs méthodes. Celle que nous allons développer introduira une nouvelle transcendante jouissant de propriétés bien curieuses et ouvrira la voie à un nouvel ensemble de recherches.

o. Revenons sur la résolution des équations intégrales par la méthode des déterminants infinis.

Nous avons déjà remarqué (Chap. IV, n° 4) qu'en posant

— §{x,y) = §^^\x,y), avec \ff{x,y}\<U, et

^U)(a:,7) =rp^(x, t) J(^-'"($, y)dl

on a

et que la série

est donc toujours convergente.

En remplaçant §{x,y) par z§{x,y) nous obtenons la série

(7) ■ ^z"§^'Hx,y),

convergente quel que soit le module de z. Posons maintenant

la fonction V est a priori une fonction holomorphe de z dans tout le plan de la variable complexe z. C'est une transcendante entière. Elle jouit des propriétés suivantes :

Théorème I. — Quel que soit le nombre positif a, on a

lim ', , =: o.

En elFet

iv<^i--'-)i4^^Î7sr

Mais, £ étant choisi arbitrairement petit, on peut déterminer m de façon que

M/rt-f-rt+l f y rp\m + n

— ^ — -j^ <£a'"+«+» (n = o, 1,2, ...,oo),

il vient alors

D'autre part

e«l = l= > •! ! > A — ! — ! ^/H+zt+i

^»dn n ! Jmà n ( m -\- H -)-))! '