LE PROBLEME DE LA SPHERE ELASTIQUE ISOTROPE AVEC HÉRÉDITÉ. I

ilonc

2 u«-t-'i-t-i aj"'-^-"-'-i

En prenant | z | assez grand, on peut rendre le second terme

I 3 |/«+i a//n-i ~ ^ I 3 I '«-"+' (n — i)ln\ a"'+» '

arbitrairement petit.

La limite de ol\-\ lorsque |5| croît indéfiniment est donc bien nulle.

Corollaire. — Quel que soit le nombre c positif, on a

Mais la propriété la plus importante de la transcendante V est la suivante :

Théorème II. — La fonction Y{z\x,y) admet le théorrme d'addition suivant :

=: j"y{z\x,'i)Y{u\ly)d\

=j\(u\x,^)\(z\^,y)dl

En elFet, formons le produit

\iz\x,^)V{u\^,y),

c'est-à-dire

ou, d'après la règle classique,

€t intégrons-le par rapport à ^ entre les limites x et^, il vient

ÇN{z\x,\)^{iL\\,r,)d\

Mais

zUl'^-i^ (Z + «V

2 2' M"-' iil(n — i)\

par suite on a

C'est l'égalité demandée.

Le théorème précédent est un théorème (V addition^ puisqu'il permet de passer des fonctions V correspondantes aux valeurs ;; et m à la fonction correspondante à 5 + M. Mais il n'a pas la forme des théorèmes d'addition envisagés ordinairement : c'est ce que j'appelle un théorème d'addilion intégral.

On pourrait, réciproquement, chercher quelles sont les fonctions qui admettent le tliéorème d'addilion intégral précédent. Ce serait se placer à un point de vue analogue à celui de Weierslrass qui définissait ainsi les fonctions elliptiques par leurs théorèmes d'additions. On constalerait que le théorème d'addilion (B) caractérise les fonctions du type V (:? | ^, y ).

LE PROBLÈME DE LA SPHÈRE ÉLASTlyLh ISOTROPE AVEC IIÉRÉOITE. J29

Nous avons ici un premier exemple {*) d'une transcemiante entière donnée par une série très rapidement convergente et l'ossédant un théorème d'addition intégral. Il est évident que, ,iâce à sa convergence rapide, la série (7) sera utilisable dans les calculs pratiques,

6. Du ihéorème d'addition (B), par des dérivations et en [H)sant

on déduit les égalités

(9) \'{z^u\x,y) — \"{z\x,y) = l \' {z\x/r)\ {ii\i^, y) d":,

= J\{u\x,\)\"{z\ly)d^, \"{z^ u\x, y) = C \'(z\x,''-)\'{u\\,y)d\.

VU-+AI ( ^^a\x, y)^ 1 V^') ( 3 1 ^, £ ) \'(/'' {u\\,y) d\ (i, /t = I, •>., 3 . . .).

L'égalité (9), pour :; = o, donne

=J y(u\x,'0\'{o\ly)dl

donc, puisque

\'(o\x, y) = cf"'(T. y),

=f\{u\x,i)ê^^^a,y)dl

7. Nous pouvons maintenant intégrer l'équation intégro-diflerentielle aux dérivées ordinaires (A). Nous l'écrirons, changeant

(') Comparer Chapitre X, n°* 5 et 6.

l3o CHAPITRE VIII.

légèrement les notations,

Nous voulons en trouver une solution finie et continue. Multiplions les deux membres de cette équation par \ {z\x^x^) et intégrons entre o et ^i . Il vient

(n) f'\j'^-^^'^y^+cf{x,y)^\{z\x,x,)dx

+ f'\{z\x,x,)dx r §''H\,x)fa,y)d\

= / 'P(x, y)V{z\x,Xi) dx.

Mais le second terme s'écrit

f 'f(ly)d^ f 'y{z\x,x,):l'-^^{l,x)dx,

ou en tenant compte de l'équation (jo)

r^Aly) di[\'{z \ix,)- .f(i'(^, x^)] d\.

L'équation (i i) prend donc la forme

r" j \y ^-^^f^ + cf{x, y)~^\iz\x,x,) +f{x, y) V {z \x,x,) | dx f{x, y)i'^^\x,xi)dx= l ^(x, y)\{z\x,xx)dx,

c'est-à-dire, en tenant compte de l'équation (a),

-^ /(x^ y)Y'(z\x, .ri)idx = <P{Xi,y)-^ I <P(x, y)\{z\x,xj)dx.

LE PROBLÈME DE LA SPHÈRE ÉLASTIQUE ISOTROPE AVEC HÉRÉDITÉ. l3l

Posons z = Io£ —5 nous aurons

.,., , , d\(z\x,xi) V (z\x,Xi)=y -j- ,

€t, en multipliant les deux membres de l'équation précédente par y"'*, elle deviendra

[y'fi^, y)]-^ f ^[y'/{^, y)y(z\x,xi)\dx

= *(^j,r)-+- / *(-^^ JK) \(z\x,Xi)dx\y''-K

En intégrant par rapport ky entre les limites o et^, on obtient enfin, à cause de la formule (8) (n" 5),

yi/i^uyi)^ f 7l/(^, ri)[V(3|x, ri)]s=oc?a7

== J *(^i,r)+-y ^{x,y)\{z\x,x^)dx\y<'-^dy,

OU, puisque

\{z\x,Xi)z=o= o,

formule qui détermine la fonction inconnue/ ( ').

La fonction / (a?, j') ainsi trouvée n'est pas la solution générale de l'équation (a). Nous avons, en effet, recherché seulement les solutions finies et continues de l'équation [a), nous constatons qu'il y en a une et une seule donnée par la formule (C). On peut obtenir la solution générale de l'équation (a). Elle est la somme de deux termes, le premier étant le second membre de (G) et le second

Dans cette dernière formule y^ est une constante arbitraire et 'l{x) une fonction arbitraire; on a d'ailleurs

(p(.r, jKu) = ^i-r)-

(') On constate aisément que la fonction déterminée par la foriuute (C) n'a pas de singularité pour y = o.

l3'2 CIIAl'. Vlll. — l-A Sl'IniUE ÉLASTIQUE ISOTHOPE AVEC HÉRÉDITÉ.

Ainsi l'intégrale générale d'une équation intégro-dilïerentielle, même aux dérivées ordinaires, dépend de fonctions arbitraires.

8. Les considérations précédentes résolvent le problème de la sphère élastique (déplacements au contour donnés). Nous avons vu, en effet, que la solution pouvait s'écrire

U, V, W sont des fonctions harmoniques déterminées par leurs valeurs à la surface de la sphère et/ est donné parla formule (C). Le problème est donc résolu et la solution est, grâce à la rapidité de convergence du développement de \ (z\x, y), pratiquement utilisable.

On peut encore simplifier la solution en remarquant que si l'on pose

ôx ' dy àz

on a

/• 'Llâlin + (c + i)/,(f, r)-^ f Soi', t)fi(-, r) ck = cï..(^, r)

La formule (C) permet donc de calculer directement j-, j-, — sans passer par l'intermédiaire de/.

LV COMI'OSITION KT LV PEHMUTAI5ILITK DE l'UEMIÈRE ESPÈCE.

1-5. Définitions et règles de calcul. — G-7. Reclierche des fonctions permutables avec Tunité. Elles forment le groupe du cycle fermé. — 8. Extensions diverses de la composition. — 9-12. Les séries de fonctions permutables. — 13. Application de la théorie à la résolution générale des équations intégrales. — 14-16. Résolution de quelques équations particulières. Unicité de la solution. — 17. Application au problème de la sphère isotrope, les tensions au contour étant données.

I. jNous avons, dans le Chapilre précédent, résolu très simplenienl le problème de la sphère élastique. Nous l'avons en effet ramené : 1° à la résolution du problème de Dirichlet pour la sphère, qui ne présente aucune difficulté, 2" au calcul de la nouvelle transcendante entière \ (z\x, y) par une série rapidement convergente.

Mais nous nous sommes placés dans le cas où les déplacements au contour sont donnés. C'est le cas le plus simple, mais aussi le moins intéressant. Dans les applications, ce sont les tensions au contour qui sont connues la plupart du temps.

Nous avons laissé de côté ce problème : équilibre de la sphère élastique, les tensions au contour étant données, parce qu'il présente des difficultés bien plus grandes que celui que nous avons traité. Les notions exposées jusqu'à présent sont insuffisantes pour en obtenir une solution simple. Il faut, avant de le traiter, développer une nouvelle théorie d'analyse : celle des fonctions permutables et de la composition.

Et la portée de cette théorie dépasse ce problème particulier, elle nous ouvre un domaine nouveau et fait avancer beaucoup la théorie des équations inlégiales et intégro-différentielles.

Elle nous permet, en effet, de résoudre immédiatement une classe très étendue de ces é(|uations, comprenant en particulier toutes celles que nous avions considérées jusqu'à présent.

l34 CHAPITRE IX.

2. Nous étudierons d'abord la composition et la permutabilité de première espèce (*).

Soient F,(^,y) et F2{x,y) deux /onctions finies et continues. L'opération

sera dite composition de première espèce des deux fonctions. Les deux fonctions seront dites composantes et le résultat de V opération sera la fonction résultante.

Nous la désignerons par la notation

FiFî(a7,j) ou simplement

on pourra même, quand toute confusion sera impossible, supprimer les étoiles et l'écrire simplement

¥^¥i{x,y) ou F,F2.

Nous nommerons l'opération précédente composition de première espèce pour la distinguer d'une composition de deuxième espèce qui sera définie au Chapitre XII (n" 1).

L'opération de composition {^) est associative. En effet, ¥%(^x^y) étant une nouvelle fonction finie et continue, on a

= f' P3(rnr)dr,J' F,(:p,OFj(£, r,)rf£, qu'on peut écrire

Cette dernière égalité (^) exprime bien l'associativité.

( ' ) Cf. VoLTERRA, Questioni generali sulle equazioni intégrait ed intégradifferenziali {Rend, dei Lincei, i" semestre, 1910, p. 169).

(2) Composition de première espèce; c'est la seule dont il sera question jusqu'au Chapitre XII.

<*) Dans cette égalité, les parenthèses ont le même sens que dans la théorie ordinaire de la multiplication : pour former \F, (FjFj)), il faut d'abord former la fonction F5F3, puis la composer avec Fj.

LA COMPOSITION ET LA PERHUTABILITÉ DE PREMIÈRE ESPÈCE. l35

3. Au contraire, la composition n'est pas en général commiitative; on n'a pas, en général,

F,Fî=F,F,.

Définition DE LA PERMUTABrLiTÉ. — Deux fonctions F|(a?, j) et F2{x^ y) seront dites permutables {de première espèce) si Von a

c'est-à-dire

On en conclut que :

I. Les opérations de composition entre des fonctions permutables ont les propriétés d'associativitéet de commutativité .

II. Un système de fonctions permutables étant donnée toutes les fondions qu'on peut en déduire par des opérations de composition appliquées à ces fonctions et à leur résultantes sont permutables entre elles et avec les fonctions données.

Pour démontrer ce dernier théorème, il suffit de remarquer que F|, F2, F3 étant des fonctions permutables entre elles, on a

((F.FjFa ) = (f,(f,F3)) = [V,{v\V,)) = ((f,F3)fO

Ce qui montre que F, Fo est |)ermulable avec F3.

A. Soient F,, Fa, ..., Frt des fonctions de x, r permutables entre elles; nous noterons

F,F,...F„(^,y) ou F,F,...F„,

la fonction obtenue en composant P\ avec F2, la résultante ainsi obtenue avec F3, la nouvelle l'ésultante avec F^ et ainsi de suite.

En vertu des théorèmes que nous venons d'énoncer, l'ordre

i36 ciivi'iTKi; IX.

dans lequel on fait la composition des fonctions F,, F^, ..., F„

(composantes) n'a aucune influence sur la fonction résultante.

Si l'on a F, = F2= ... = F«== F on notera la fonction résultante

l^"{x,y) ou F".

De même

représentera la fonction résultante de i, fonctions égales à F,, i-i fonctions égales à F2, etc., i,i fonctions égales à F„.

Les puissances symboliques ainsi définies obéissent aux mêmes règles de calcul que les puissances ordinaires.