Des définitions, on déduit enfin que

III. Les fonctions qa'o/i obtient par ^addition ou fa soustraction de fonctions permutables sont permutables entre elles et avec Les fonctions primitives.

IV. Pour composer des polynômes dont les termes sont des fonctions permutables, il suffit d'appliquer les règles de la

multiplication des polynômes ordinaires.

6. Avant d'aller plus loin, nous étudierons un groupe remarquable de fonctions permutables : les fonctions permutables avec V unité.

Nous montrerons les théorèmes suivants :

a. Toutes les fonctions permutables de première espèce avec l'unité sont de forme ^{y — -r).

En efifet, elles vérifient l'égalité

d'où l'on tire

OU

ox oy

LA COMPOSITION ET lA PKRMITABILITK DK PHK.MIKRE ESPÈCE. 1 37

On a donc

et, par suite,

b. Toutes les fonctions de forme V{y — x) sont permutables entre elles.

En effet, on a

f F,{\-x)V^{y-\)d\^ f' Y,{u)V.(y-x-u)du, et en posant

y — .r— Il =f t', ^v-.r V-.r

/ Fi(u)Fi(y-x — u)du=l Vi(y-x-i>)Fi{v)dv,

c'est pourquoi

J\,{i-x)¥^{y~-\)d\== j" F, {y ~- ï ) F^^ - x) dx.

Ce dernier résultat contient en particulier la réciproque de «, à savoir que toutes les fondions de la forme (2) sont permutables de première espèce avec l'unité.

7. Nous avons parlé (Cliap.VII) des conditions du cycle fermé dans le cas linéaire. D'après les résultats du numéro précédent, nous voyons qu'elles correspondent à un cas spécial de perniutabilité. C'est pourquoi, dans les cas où ces conditions seront vérifiées, nous pourrons appliquer la théorie de la permutabilité.

Cela simplifiera tous les résultats et comme dans les problèmes naturels, les conditions du cycle fermé sont généralement vérifiées, on voit l'intérêt de l'étude, ici entreprise, de la permutabilité.

Donnons-en tout de suite une application. Nous avons envisagé ( ' ) les opérations

Aî/=(L-+-?.K)/(0+ f [œ(/, T)^-2•H■^-)]./''-)'^-• (') Chapitre VIII, n° 1.

l38 CHAPITRE IX.

Si le ))rincipe du cjcle fermé est vérifié, les noyaux (p(^,T)et '\{lf t) auronl la forme

et seront par conséquent permutables. Mais alors les opérations A, et Ao seront aussi permutables. Donc, dans tous les calculs, on pourra regarder A, et Ao comme des coefficients et considérer leur itération et leur composition comme des opérations de multiplication.

8. Il sera enfin utile, pour la suite, de considérer les extensions suivantes de la composition.

a. Soit a UD paramètre indépendant de x^ y et a¥i{x, y)\e produit de a par F, [x^ y). Si les deux fonctions F, et F2 sont permutables^ il en sera de même de

a¥i{x,y) et b¥^{x,y).

La résultante de leur composition, que nous pourrons écrire

sera le produit par ab Ae la résultante de Fi et F2.

V. En composant des polynômes de fonctions permutables, à coefficients constants, on obtient de nouvelles fonctions permutables, et la composition peut s'effectuer suivant les mêmes règles que le produit des polynômes.

3. a el b étant deux constantes et F, et Fa deux fonctions permutables, les fonctions

a^Fi(x,j), b^F^(x,y)

n'appartiennent pas à l'ensemble des fonctions permutables avec F, et Fa (sauf le cas très particulier où F, et Fa seraient permutables avec l'unité). Nous pourrons pourtant les considérer comme permutables avec F, et Fa et entre elles, en définissant ainsi leur composition :

(rt + F,)F, = F2(>^ + F,)-aF2-^F,F2, (a -t- F,)(è -^ F2) =: {b -f- K){a -^ Fi) = «6 + «F^-^ èF, + F, F-,.

LA COMPOSITION ET LA PERMUTABILITÉ DE PREMIÈRE ESPÈCE. iSg

Les propriétés de la composition énoncées dans les numéros précédents se conservent quand on fait cette extension de la composition.

9. Avant d'appliquer, dans la fin de ce Chapitre, la théorie à la résolution des équations intégrales, nous allons étudier les séries de fonctions permutables.

Démontrons d'abord les résultats préliminaires suivants :

Lemme. — SiF^, Fa, ..., F„ sont des fonctions de x et de y telles que

/?^^, //?2, ..., nift étant des nombres fixes ^ on a

niimt . . . rrin

En elVel

I R F F I /- "^lf"i--''

F.KKk

m 1 //* ., de

et ainsi de suite. Ou obtient finalement l'équation (3). Corollaire. — Si\F,\<C m,, ..., | F„ | < m„, on a

|FVF^..F:r|<

in'}in'i . . . m'

(i-ii

10. Le théorème fondamental sur les séries de fonctions pei mutables est alors :

Théorème. — Soit

une série des puissances des variables complexes

2i, Si, .... -S«

l4o CHAPITRE IX.

convergente lorsque

Si nous remplaçons z^^ z.^, ..., Zn par les fonctions permutables F|, F2, ..., F« et si nous supposons que les symboles de produits et de puissances appliqués à ces fonctions désignent des opérations de composition^ nous obtiendrons une série convergente. »S'i «0,0,..., 0 ^st nul {^), cette série

représentera une fonction permutable avec les fonctions données.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de remarquer que, d'après la théorie classique des séries de puissances, on peut trouver un nombre positif M tel que

< "îl, I F-i I < '"2, . . . , \Vn\< fUn,

"' (tl-i-i.2-f-...-r-f„— I)! -^ ^

Mais

si

|Fi

on a

If-;

Donc

FVF^

■ht-i)-

d'où l'on conclut facilement que la série (5) converge.

Il est intéressant de remarquer que la série (4) n'est convergente en général que si les modules des variables z,, Z2, ..., Zn sont inférieurs à certaines limites. Au contraire., la série (5) converge quels que soient les modules des fonctionsF t ,¥2, ...,F„, à condition qu^ils soient finis.

(') Si a„ 0 ,, n'est pas nul, ou pourrait toujours, grâce à l'extension précédente delà composition ( a" 8, P), considérer cette série comme représentant jne fonction permutable avec les fonctions données.

LA COMPOSITION ET LA PKRHUTABILITÉ DE PREMIERE ESPÈCE. l4l

11. Le ihéorème précédent nous fournit une grande variété d'expressions qu'on peut construire à partir de fondions permutables.

En effet, soit

une expression analytique quelconque développable en une série de puissances entières et positives de s,, z-j, ..., z„ convergente dans un domaine autour du point z, =: ^2= ••• = -//= o. 11 nous permet d'en déduire une fonction que nous noierons

obtenue en remplaçant s,, s^, ..., Zn par F,, Fj, ..., F„ et en supposant que les symboles de produit et de puissance représentent des opérations de composition de première espèce.

C'est ainsi que sont définies, par exemple, les expressions suivantes :

égales respectivement à

F, Ff V'[

et à

=L.i:..ilHÉi....]

Dans la dernière expression, il faut préciser le signe de y/a. Le produit infini

a, de même, un sens tout à fait clair.