L'ÉVOLUTION DES IDÉES FONDAMENTALES DU CALCUL INFINITÉSIMAL

1. Les inélhodes infinitésimales. — 2. Eudoxe de Cnide et Archimède. — 3. Galilée, Kepler, Cavalieri, Descartes, Fermât, Torricelii, Pascal, Wallis. — A. Huygens, Neper, Mercator, Roberval, Barrow, Newton, Leibniz. — 5. Extension des opérations du calcul infinitésimal. — 6. Calcul différentiel et intégral des substitutions. — 7. Concept de fonction. — 8. Passage du fini à l'infini dans le concept de fonction. — 9. Problèmes qui ressortent du concept de fonction de ligne. — 10. Différents types d'évolution et différentes sortes d'analyses.

1, Avant d'aborder l'exposé des méthodes d'analyse et le développement des questions de détail se rapportant au sujet que je vais traiter, je consacrerai ce Chapitre à donner un aperçu du sujet en général, en le reliant à des principes très connus en Mathématiques et à des questions qui se posent dans la Philosophie naturelle. Ainsi on pourra mettre à leur place naturelle des méthodes qui se sont développées dans ces dernières années et montrer leur situation dans l'histoire générale des idées mathématiques. Peut-être pourra-t-on aussi juger de leur avenir.

Je commencerai par remarquer l'existence d'un sentiment que tous les géomètres éprouvent, bien qu'ils ne s'en rendent pas compte à tout instant. C'est au moment où l'on craint de perdre un objet qu'on l'aime et l'apprécie à sa juste valeur. Dans une Note récente, M. Poincaré, en étudiant la question des quanta, montre qu'il n'est pas possible de se passer de l'hypothèse que V. I

l'énergie varie par sauts brusques et il s'écrie : « Les lois physiques ne seront-elles plus susceptibles d'être exprimées par des équations différentielles? (') »

Cette exclamation, qui renferme un très vif sentiment de regret, exprime bien l'état d'âme de tout mathématicien qui pourrait soupçonner que cet admirable outil, le calcul infinitésimal, doit être abandonné dans l'étude d'un phénomène quelconque. C'est en effet l'idée du continu qui a dominé les spéculations mathématiques et leurs applications les plus intéressantes et les plus fécondes depuis les époques les plus reculées jusqu'à nos jours. Lorsque les conditions des problèmes l'ont permis, on a toujours ramené d'une manière toute naturelle, parfois intuitive et inconsciente, les cas de discontinuité à des cas de continuité par des procédés qu'on peut, en général, appeler de nature statistique. La puissance des méthodes des infiniment petits a eu le dessus dans la pratique des calculs sur les conceptions et les hypothèses plus probables se rapportant' à la nature même du sujet. D'autre part, on a reconnu que si l'on voulait rendre rigoureuses les considérations relatives aux méthodes infinitésimales, il fallait considérer d'abord des cas de discontinuité et arriver après au continu par des passages à la limite. On peut ajouter que la source des plus importantes propriétés du calcul infinitésimal a été le transport dans le domaine de ce calcul des propriétés connues de l' Algèbre finie et de l'Arithmétique. Il y a eu donc action réciproque. Les cas de discontinuité ont été étudiés par des méthodes infinitésimales et en même temps toute question infinitésimale a été envisagée comme un cas limite d'une question touchant le discontinu. 11 n'est pas nécessaire de multiplier les exemples pour démontrer ce que nous venons de dire. La Physique mathématique en donne les preuves les plus éloquentes. En effet, les théories atomiques n'ont pas empêché, en général, l'application du calcul infinitésimal. Fourier dans la théorie de la chaleur, ainsi que Cauchy, Poisson, dans l'élasticité, et tous les mathématiciens classiques, partirent de l'hypothèse de la discontinuité de la matière, mais résolurent les problèmes qu'ils se posaient à

(') Comptes rendus, t. 153, p. iio3.