L EVOLUTION DES IDEES FONDAMENTALES DU CALCUL INFINITESIMAL. Ô

l'aide des équations différentielles et leurs intégrales. Dans leurs applications les plus récentes, l'économie" politique et la statistique ont suivi le même chemin.

2. L'emploi des infiniment petits est peut-être aussi ancien que les premiers essais méthodiques de la Géométrie ('). Eudoxe de Cnide qui vivait au quatrième siècle avant Jésus-Christ connaissait déjà l'usage des méthodes infinitésimales. Il les a employées à propos du théorème suivant lequel les pyramides ayant même hauteur et les bases équivalentes ont même volume. 11 n'est pas possible, comme M. Dehn l'a reconnu tout récemment (2), de démontrer cette proposition par des méthodes de décomposition du volume en un nombre fini de parties, c'est-à-dire d'une manière semblable à celle qu'on emploie pour les aires. Eudoxe, ou peut-être même quelqu'un avant lui, comprit qu'il fallait recourir à la décomposition du volume en un nombre infini de couches infiniment minces. Voilà le premier exemple que l'on connaisse des méthodes infinitésimales. Euclide l'expose dans la septième proposition du douzième Livre, mais il fait usage de la méthode d'exhaustion. 11 ramène le cas du continu au cas d'une somme d'un nombre fini de termes et l'on voit ainsi paraître le premier germe des méthodes modernes du calcul intégral et du principe de Dedekind qui a été, bien des siècles après, formulé d'une manière complète et abstraite.

Il faut attribuer à Archimède l'application systématique des méthodes infinitésimales. Il y a peu d'années, gi'âce à la célèbre découverte de M. Heiberg, on a pu pénétrer dans la pensée intime du géomètre de Syracuse (^). Dans la lettre qu'il a écrite à Erathoslène, on. voit qu'il faisait usage pour ses découvertes de la méthode des infiniment petits. Ce n'est que pour les exposer au public qu'il recourait à la méthode d'exhaustion et à celle des séries. Il suffit de se souvenir des différentes

(') Je remercie M. Vacca, professeur de l'Université de Rome, des Notices

tiisloriques qu'il a bien voulu me communiquer. ( = ) Ukhn, Ueber den Rauminhalt {Math. Ann., t. LV, p. 46â)- (') Voir l'intéressante publicaiion de MM. Painlevé et Reinach : Un Traité de

Géométrie inédit d' Archimède {Revue générale des Sciences, t. XVIII, 1907).

— AuGiHMKDis, Opéra omnia, Ed. Heiberg, vol. II, p. 427. Lipsia;, igiS.

méthodes qu'il a données pour trouver l'aire de la parabole, pour voir en action tous les principes fondamentaux par lesquels le calcul infinitésimal s'est développé depuis cette époque reculée jusqu'à nos jours. La plus élégante et la plus suggestive de ses solutions est celle qu'on obtient en montrant qu'un segment de parabole et un triangle rectangle isoscèle, ayant même base que le segment et une hauteur double, 'disposés à côté l'un de l'autre sur les bras d'un levier dont le point d'appui est au milieu, sont en équilibre, car chaque couple symétrique d'ordonnées de la parabole aie même moment que le couple correspondant du triangle ('). Il n'est pas nécessaire de rappeler les différents résultats auxquels Archimède a été conduit par l'application de ses méthodes. En les classant, comme nous l'avons indiqué tout à l'heure en trois groupes, celle des infiniment petits, celle de l'exhaustion et enfin celle des séries, on voit paraître toutes les conceptions fondamentales du type infinitésimal.

Les dernières méthodes se rattachent évidemment à la théorie des limites qu'on retrouve dans les développements successifs du calcul infinitésimal.

3. Mais les pensées d'Archimède étaient trop profondes pour être facilement comprises. La semence qu'il a jetée dans le terrain a mis des siècles à germer. Ses continuateurs et ses premiers commentateurs n'ont pas pénétré dans ses concep-

(') Il suffit de jeter un coup d'œil sur la figure ci-dessous, où l'on a marqué en

Fie. 1.

pointillé les couples d'ordonnées ayant le même moment par rapport au point d'appui O du levier AB, pour comprendre la démonstration.