La composition de deux expressions
l42 CHAPITRE IX.
du type défini précédemment, s'effectuera par les mêmes règles que le produit algébrique des deux expressions correspondantes
C'est ainsi que la résultante de
\/a-4-F, et \^b -f- F,
peut s'écrire
y/(« + F,)(è + FO
avec, bien entendu, les signes convenables.
En outre on pourra effectuer, sur une expression de la forme (7),
toutes les transformations qui ne modifient pas l'expression ana-
F2 Ijlique correspondante (6). Par exemple, en composant ~
avec a + F,, on aura
13. Indiquons maintenant l'application des théories précédentes à la résolution des équations intégrales.
Soit F(s,, S2j •••■' ^/i) une fonction analytique du type (6) et soit l'équation
(a) Ff-Si, -Sî, .... -S/i) = o,
qui permet de définir Zn comme une fonction implicite de ^,, «2; •••,z„i. Supposons qu'une branche de cette fonction soit nulle pour Zi = Z2= ... z,i-i = o et n'aie pas ce point comme point de ramification. On pourra développer cette branche dans le domaine du point Z) = 22= ••• = ^/i-\ = o en la série
(avec 6o,oi---»o= o) qui, substituée dans l'équation (a), la vérifie identiquement.
Ceci posé, remplaçons dans l'équation (a), z,, 52, ..., Zn par des fonctions permutables F,, Fo, ..., F^ comme nous l'avons fait
LA COMPOSITION ET LA PERMUTABILITÉ DE PIIEUIÈRE ESPÈCE. l43
dans les numéros précédents et envisageons l'équation intégrale
(A) F(F,,Fj, .... r,J = o,
F„ étant la fonction inconnue. Cette équation intégrale n'est pas linéaire en général. Effectuons dans la série (8) la même substitution de F,, F2, ..., F« à ^i, 33 ..., -«, nous obtiendrons une série convergente de fonctions permutables qui fournira la solution de V équation intégrale (A) ( ' ).
Il est remarquable que la série (8) n'exprime^ en général, la solution de Inéquation (a) que lorsque les modules de Zt, z^, •••■, Zn-i sont inférieurs à certaines limites, tandis que la série
donne lasolution de V équation intégrale {X) quelles que soient les JonctionsFf, Fo, .... F„( pounu qu^ elles soient finies.
14. Voici un exemple simple des considérations précédentes : l'équation en 5
2! j. rt!
est vérifiée par la série
tant que | /• j << ' • L'équation intégrale en S(.r, j')
admettra pour solution
8(3-, y) = K(x,y) — -R2+ '. R.i...^ tlli^ R« h. . . . ,
quel que soit le module de R(^, y).
(') On peut appliquer des procédés analoj^ues à l'inversion d'une relation intégrale exprimée par une série de fonctions non permutables. Voir J. PÉRts, Suite equazioni inlegrali {Lincei Rend., 19 janvier igiS),
15. Un cas particulier intéressant est celui où la fonction F(5,,Z2? '••■, 5«) est un polynôme entier de degré m par rappoit à z„. En posant alors F„ = / l'équation (A) prend la forme
(A') (rt,« 4- */„)/'" -+-(«/
-^(ai+*i)/ = «ï>o,
ai,a.,, ..., a„j étant des constantes et $o, *i, ••, *^m des fonctions connues de x el y permutables entre elles. Une telle équation est dite équation intégrale de degré m. Nous y supposerons a, 7^ o pour être sûr qu'elle n'admet pas de point de ramification en $0 = ^1 = ••• = *ï*/«— ~ o. La règle donnée précédemment nous donnera alors sa solution sous la forme d'une série toujours convergente. Cette solution sera, comme d'ailleurs dans le cas général, une fonction permutable avec les fonctions données.
Particularisons encore en supposant /??= i . L'équation prend alors la forme
(aj-t- <t>i)f= <l>o,
c'est-à-dire, en supposant a, = i , La solution est donnée par la formule
on retrouve ainsi la formule de résolution des équations intégrales du premier degré à limites variables que nous avions donnée dans le Chapitre IV.
16. Supposons maintenant que l'équation soit du deuxième degré, on peut l'écrire
(A") c'est-à-dire
«i/(^, y) +f *(^, 0/(^ y) <- -^ «2 f /(.r, i)Al y) d\
LA COMPOSITION ET LA PERMUTABILITÉ DE PREMIÈRE ESPÈCE. l45
La solution sera donnée par la formule
et, en efTectuant le développement en série, on l'obtiendra sous la forme d'une série de fonclions permutables qu'on sait a priori être convergente.
Il est intéressant de se demander s'il y a dans ces différents cas une seule solution. La réponse est affirmative. On peut le démontrer en employant une méthode analogue à celle qui nous a servi dans le Chapitre V (n° 4) pour montrer que l'équation intégrodifférentielle du type elliptique n'a qu'une solution satisfaisant à certaines conditions au contour.
J'indiquerai cette démonstration pour l'équation intégrale (A') du degré m envisagée au n° 15. J'aurai besoin du résultat préliminaire suivant :
Lemme. — Que F, et Y2 soient ou non des fonctions permutables^ on a la formule
(9) F'/-F«==(F,-F,)Fr»+F2(F,-FOFr2+...+ Fr'(F,-F,).
On le vérifie immédiatement.
En changeant le signe des deux membres de (9), puis en y permutant F, et F2, on obtient la formule analogue
(9') F','-F« = (F,-F,)Fr' + F,(F,-1^2)Fr'+--.-HFr'(F,-F,).
Et, dans le cas particulier /i = 2, on tire de (9) et (9') la relation
il F2 ^ (F,+ F,)(F,-F,) ^ (Fi-F,)(F,+ F,)
qui est une extension, au cas où ¥ ^ et F2 ne sont pas permutables de la relation
Fî-F|=(F,-F2)(F,-+-K)
valable quand F, et F2 sont permutables.
Arrivons à la démonstration du théorème d'unicité :
l46 CHAPITRE IX.
Théorème. — V équation intégrale
admets la cbnstante a, étant différente de zéro, une seule solution.
Si elle avait deux solutions/, ct/2, on aurait
+ (a,„, + <t.,„0(/>-'-/r-')-+----+*i(/i-/2) = -«i(/i-/2), d'où, en utilisant la formule (9),
On en déduit aisément que/, =/2. Soit, en effet, m une limite supérieure du module de/, — /o, la relation (10') donne, en remplaçant dans son premier membre/, — /g par m,
K étant un nombre facile à évaluer en fonction de limites supérieures des modules de «j? «3, • • •■, ctm-, ^{, <ï*2, • • ., ^m, /«, fi- En substituant dans le premier membre de (10') cette nouvelle limite supérieure de |/, — /^l, on obtient
En général, il vient
/, — /2 a donc un module aussi petit qu'on veut, et par suite
La solution de l'équation (g) est unique et donnée par la règle précédemment indiquée.
Un procédé analogue permettra de prouver l'unicité de la solution de l'équation intégrale générale (A).
LA COMPOSITION ET LA PERMUTABILITÉ DE PREMIÈRE ESPÈCE. l^J
17. Au point OÙ nous sommes arrivés nous pouvons résoudre simplement le problème de la sphère élastique, lorsque les tensions au contour sont données et que l'hérédité est linéaire.
En effet, comme nous allons le voir, on ramène (') ce problème à l'intégration d'une équation intégro-différentielle du deuxième ordre.
Celle-ci s'intègre moyennant la résolution d'une équation intégrale du second degré (n" 16) et par l'emploi de la transcendante entière \{z\x,y) (Chap. VIII, n" 5).
Écrivons (2) en adoptant les mêmes notations qu'au Chapitre VI,
!U =xtii-i-yt,i-h ztii, V =xt2i-^ytii-^zti3, W = Xt3l-hjt3i-hZt33,
et posons
où A, et A2 représentent les opérations que nous avons notées par les mêmes symboles dans le Chapitre VIII, n° 1.
On voit sans difficulté que, U, V, W, 8 étant déterminées, la déformation de la sphère est connue.
Or si l'on suppose que les forces de masse soient nulles et le corps isotrope, on a d'abord A-0 = o, et
dx^
d'où l'on tire
dy
dz
dx
de de ^ •^ dy dz
dr
avec /•2= x'^-\-y--\- z-.
(') Cf. VoLTERRA, Deformazione di una sfera elastica soggetta a date ten~ sioni, nel caso ereditario {Rend, dei Lincei, 1910, i"' sem., p. 289 ).
(-) Nous nous servons d'un procédé analogue à celui qu'on emploie dans le cas ordinaire où l'on néglige l'hérédité. Cf. Almansi, Sulle deformazione délia sfera elastica {Memorie délia R. Accademia di Torino, anno 1896-1897).
T est une fonction harmonique, c'est pourquoi [cf. Chap. VIII, n°3)
(,.) I V =V. +(rî-R2)^,
dz
OÙ u,, V,, W, sont des fonctions harmoniques et R est une quantité constante. En outre, on a
^ ' ôr 1'' 4\ dr J
L'origine étant au centre de la sphère et R étant son rayon, U,, V), W, sont connues moyennant les tensions au contour. En vertu des relations (i i) et (12), on a
, ,, ()U, (JV, dWi df dU ô\ dW
^ ûx dy dz âr Ox dy dz
Mais pour les corps isotropes
<n-l- '22+^33= (3A2— 4Ai).(yu -H 722-4-733)
= (3A2— 4Ai)0= i(A,— A2)-'(3A2— 4A,)e.
Donc en posant
dU, <3V, ()W,
dx dy dz
A3=(A,-A2)-i(3A2-4A,), on a
dr Eliminons % entre cette équation et l'équation (i3). On trouve
Dès qu'on aura calculé/, on pouna déterminer les fonctions U, V, W, 9 à cause des équations (12) et (i4)-
Or y dépend de l'équation intégro-diflerentielle (i5). C'est l'équation à laquelle on voulait parvenir. Remplaçons dans celte
COMPOSITION ET PERMUTABILITÉ DE PREMIÈRE ESPÈCE. l49
équation les lettres /• et t par les lettres z et y, le second membre par cp, et désignons les opérations — A3 et — -A3 par 2 M, et Ma. L'équation (i5) s'écrira alors
o(y, z) étant connue, /{y-, z) inconnue, M, et Mj désignant les opérations suivantes :
^^i^{y) = 'ni^iy)-^ I '^{^)i^i(3^,y)dx.
Dans ces dernières relations ^^ et ^2 sont, dans le cas le plus général, que la condition du cycle fermé soit vérifiée ou non, des fonctions permutables connues, et m, , m2 des constantes connues. Posons alors
il est facile de déterminer X\, x-y-) ii, ^2 de façon que
(X,-f-Xî)4' = Mn}^,
XjXî^ = mi^.
Il suffit de prendre pour x^ et x^ les racines de l'équation x^ — m\X -\- m2= o
et pour il et ^2 les solutions, que nous savons calculer d'après ce qui précède, des équations intégrales du second degré
= —\-^i{^yy)-^Xi\xi{x,y) (i,s = 1,2).
Ces solutions sont données, nous le savons, par des séries très rapidement convergentes.
Les opérations X, et X^ étant ainsi déterminées, l'équation (2)
l5o CIIAP. IX. — COMPOSITION ET PERMLTABILITÉ DE PREMIÈRE ESPÈCE.
pourra s'écrire
d'où, en posant
ôz on tire
On obtiendra donc /'(y, z) puis f{y, z) par la résolution de deux équations intégro-difïerentielles du premier ordre. Or, nous avons, dans le Chapitre précédent, étudié les équations de ce type et vu comment l'introduction de la transcendante V(2 |a:, j^') permet de les résoudre. Le problème est donc complètement traité.
Cette question de la sphère élastique soumise à des tensions données dans le cas héréditaire se rencontre dans l'étude de la rotation de la Terre. Il est évident, en effet, que si l'on veut tenir compte de l'élasticité de la Terre, il est impossible de négliger les phénomènes cV hérédité. L'analyse précédente fournit la solution complète du problème par des séries qu'on sait, a priori^ toujours convergentes et même rapidement convergentes.
APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE A LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES.
1. Généralisation d'un résultat précédent. — 2. Il permet de déduire d'une équation différentielle dont on connaît une solution, une équation intégro-différentielle dont on connaît une solution. ~ 3. Application à l'équation considérée dans le Chapitre V. — 4. Autre application aux fonctions elliptiques. — 5. Transformations des théorèmes d'addition. — 6. Le théorème d'addition de la fonction \ {z\x,y). — 7. Relation de la théorie avec d'autres ordres de recherches.
1. Nous allons maintenant laisser de côté l'étude, abordée dans le dernier Chapitre (n°* 13 et suivants), de la résolution des équations intégrales et passer à l'étude plus générale et plus intéressante des équations intégro-différentielles (*).
Nous commencerons par généraliser les résultats obtenus dans le Chapitre précédent au n° 13.
Soit la série des puissances
avec ao,o, ...0=0 et supposons cette série convergente dans un certain domaine autour de l'origine.
Remplaçons-y 2,, 52, •••5 -« par^, F,, S2F2, •••? -«F», F,, F2, ..., Frt étant n fonctions permutables de x et y, et considérons les multiplications appliquées aux F comme des opérations de composition. Nous obtiendrons une fonction que nous pourrons noter
ou
(2) F(zuz,,...,zn\x,y), ■
{') Cf. VoLTEHRA, Questioni générale suite equazioni integrali ed inlegrodifferenziali {Rend, dei Lincei, 1910, i" sem., p. i6<), § G).
l52 CHAPITRE X.
mettant ainsi en évidence le fait qu'elle dépend des variables z^, ^2, •••, Zn et aussi âe x et y. En vertu d'un théorème précédent (Chap. IX, n° 9), cette fonction sera une fonction entière de s,, Z.2, ..., Zn- Elle sera en outre permutable avec F,, Fa, ..., F,|.
Ainsi, partant d'une transcendante quelconque ayant un certain domaine de convergence, nous lui associons une nouvelle transcendante dont le domaine de convergence est infini et qui est donc une fonction entière.
2. Soit alors une relation algébrique entre Zi^ Zo, ..., z„, la fonction (i) et ses dérivées jusqu'à un certain ordre :
(a) * z,,zj, ...,z„|P,__, — -
âzi âzi àzt^'àzl':
Remplaçons
et
par Zi\u ^îUy •••, ^n^r
F pa.
Ço
lo, ^,, ..., In étant des paramètres indépendants de z,, z^, ..., z,t. L'équation (a) devient
ou, en la réduisant à sa forme entière,
(»■) 'r(,„,„...,.„|UI„...,ç,|/,|^,^,...)=o;
elle est identiquement vérifiée par
Ce résultat subsiste si nous remplaçons ^,, ^a? •••, In par des fonctions permutables F,, Fa, ..., F„, et ^o par une constante ou une fonction permutable Fo (de façon qu'en tous cas / soit, elle aussi, permutable avec F,, Fj, ..., F„), si nous considérons enfin les produits et les puissances de
Fo, F„ ..., F„, /, f, f , ...
azi âz-i
APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. l33
comme des compositions. L'équation («') devient alors une équation intégro-différenlielle dont nous connaissons une solution. Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
Théorème. — L'équation intégro-différentielle
esl satisfaite par la fonction entière de :;,, z^^ ..., Zn f{zuz^,...,zn\ X, y) = Fo F(5, Fj, z, F.„ . . . , z„F„).
Ainsi le même procédé qui nous permettait de passer des équations algébriques et transcendantes aux équations intégrales nous fait passer aussi des équations différentielles ordinaires aux équations intégro-différenlielles.
Et dans ce cas encore, nous constatons que le passage en ■question simplifie la solution puisqu'une solution de l'équation différentielle valable dans un certain domaine, devient une solution entière de l'équation intégro-différenlielle.
3. Donnons tout de suite des applications des considérations précédentes.
Revenons à l'équation intégro-différenlielle
d-^uix, y,z\^,t) d'^u{x,y,z\^,t) d^u{x,y,z\^, t)
rVd'iuix,
^^, «I-Ct, o]^^ = o,
que nous avons étudiée dans le Chapitre V.
La partie la plus difficile de notre étude fut, nous l'avons vu, la recherche de la solution fondamentale. Nous allons reprendre cette recherche (*) dans le cas oiif('Z^ t), o(t, t), (|'(t, t) sont des fonctions permutables, et constater qu'elle ne présente plus de
( ' ) Cf. VoLTKRRA, Osservazioni suite equazioni integro-differcnziali ed ■integrali (Lincei Bend., 1910, i" sem., p. 36i). Consulter aussi Leçons sur les équations intégrales et intégro-différentielles, p. iCo.
l54 CHAPITRE X.
difficultés, qu'elle n'est plus qu'un jeu par l'application du théorème général du numéro précédent ( ' ).
Le cas oùy, cp, tj; sont permutables est d'ailleurs le plus intéressant: il se présentera, en effet, quand ces trois fonctions sont de forme
c'est-à-dire quand la condition du cycle fermé est réalisée. Mais les problèmes de magnétisme (cf. Chap. Vil) qui introduisent l'équation (3) vérifient précisément la condition du cjcle fermé.
Pour appliquer les considérations précédentes à l'équation (3), écrivons l'équation différentielle
s,, ^2, ^3 étant trois nouvelles quantités arbitraires.
On peut déduire l'équation (3) de celte équation par le procédé général que nous venons d'indiquer pour déduire une équation intégro-différentielle d'une équation différentielle. Le même procédé nous permettra donc de déduire de la solution fondamentale de l'équation (3') celle de l'équation (3), et nous serons sûrs a priori que la série qui nous donnera cette solution est toujours convergente, quels que soient les modules de
f, ?, ^- Pour la former effeclivement, posons
I — Çl 1— U 1 — ^3
la solution fondamentale de (3') s'écrira (6) U
"Ç étant un paramètre quelconque indépendant de x, jk, ^ En posant
(') Dans le même cas on peut résoudi-e les deux problèmes aux limites envisagés au Chapitre V. Cf. J. Pérès, Bésolution des problèmes aux limites relatifs à une équation intégro-différentielle de M. Volterra {Rend, di Palermo, 191 3).
APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. l55
elle admettra le développement en série
Les équations (5) donnent enfin
(8) Ui^^2-zl^zl-...,
i t,3=Z3—zl^zl — ....
Les séries (7) et (8) sont convergentes si 5,, ^2, -3 ont des modules assez petits. Mais si nous y remplaçons :;,, ^2? ^3 P^r /, cp, ^, ^ par une fonction '/(t, l) permutable avec /, cp, '!/, et si nous y considérons les opérations de puissance et de multiplication comme des compositions, nous obtiendrons des séries convergentes quels que soient les modules de /, cp, •!( et fournissant la solution fondamentale cherchée. Si Ton pose
¥{T,t)=f{x,t)-fH-z,t)-^f\z,t)-..., W(-:,t)='!^(z, t)—^'-{z,t)-^i^(z,t)—...,
et
a solution fondamentale de (3) s'écrit
4. Voici un autre exemple d'application des considérations du n° 2 à un système d'équations différentielles. Soient les fonc-
(') Oa pourra d'ailleurs prendre /.(6, O = " s*"s que l'expression précédente cesse de satisfaire à l'équation (3).
lions elliptiques sn, en, dn. Elles satisfont au système
-7-(sn^) = ç.xvzdnz.
-— (cnz)=— snzdnz,
Pos
nous aurons
-j-(dn3) = — A'* snz en.
çi=^sn$5, Ç2=$cn$z, cp3=$dn$z,
dz
En outre, nous savons que <p,, Oa, «ps seront développables en séries valables dans le domaine de ^ = o, i; = o et de formes
(9i=: ai^^z -h a^^^'z^-^. . .,
Remplaçons ^ par F(^,y) et considérons les puissances de F comme des compositions. Nous obtiendrons les séries
9i(^\^>y)> 92{^\^,y), ?3(-5|^,jk),,
représentant trois transcendantes entières en z. Elles vérifieront les équations intégro-différentielles
i^= j[%2(s|^,l)93(^llr)«??>
(il est d'ailleurs évident que les fonctions cp,, cpa, cp,, envisagées comme fonctions de x et y, sont permutables entre elles). Les équations (9) ne sont pas linéaires et appartiennent à un tjpe nouveau d'équations intégro-différentielles.
On pourrait encore généraliser différemment les fonctions ellip-
APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE, iSy
liques en remplaçant le module k par une fonction permutable avec F. H est facile de voir quelle forme prennent dans ce cas les équations intégro-dilTérenlielles.
5. Mais tout en donnant, par les théorèmes généraux énoncés, les fondements de la théorie, nous avons laissé de côté la propriété qui est peut-être la plus cachée et la plus importante des solutions ainsi trouvées des équations intégro-differentielles.
Cette propriété est la suivante : les théorèmes cf addition des intégrales se conservent dans la transformation définie au n" 2, mais ils deviennent des théorèmes d'' addition intégraux.
Supposons, en effet, que/(3,, ^a, ...,5„|ço, ^i, •••, Im) satisfasse à une relation algébrique de la forme
où Ton a posé
fz =/(^l, ^i, . . ., -5« I U $1, . • ., U), fu =/(«!, «2, ..., «rt Uo, ^1, ... ,$,«), fz+u=f(Zl+Ui, Zi-^ Ui, . . ., Zn^ Un I ?0, ^l, . . ., $/«).
En remplaçant Çq, Ç|, .,., ^,« par F^, F,, ..., F;„ et en considérant les multiplications comme indiquant des compositions, la nouvelle fonction
/(s„3„...,z„lFo,F„ ...,F„,)
vérifiera l'équation
^ifz,fu,fz+u\Zi,Zi, ...,S„|Mi, «2 ,«/i|Fo, Fi; ...,F,„)=o,
avec
fz =f{zt, zr, ...,zn |Fo, F,,...,F,„) fu. =/(«j,"ï, ..., «„|Fo, F,, ...,F,„)
fz-^u=f(^l^U\, Z2-+-U.2, ..., Zn-^Un \ Fq, F,, ..., F,„).
Nous passons bien ainsi d'un théorème d'addition algébrique à un théorème d'addition intégral.
Exemple. — Soit l'équation
dz
l58 CHAPITRE X.
elle est vérifiée par la série exponentielle
l'équation
dz
sera vérifiée par la série
Remplaçons-y z par z\^ elle devient vérifiée par
rf.--^^+«'
Si enfin nous substituons Y{^x,y) à ^ selon le procédé déjà souvent décrit, nous trouverons
(10) V(z \x,y) = zV{x, y) + -,Y\x, j) +. . .+ ^" ^"^,^' •^\
c'est-à-dire la transcendante entière étudiée dans le Chapitre VllI. Elle vérifie l'équation intégro-differentielle
dy{z\x,y) dz
^(^,r)-^f F{x,^)y(z\^, y)dl
Elle admet aussi un théorème d'addition, que nous avons déjà indiqué, et qui se déduit aisément de celui de la fonction exponentielle. On a en effet
U(z-^u) = \J(z)\]{u), c'est-à-dire
V(^ -4- «) = V(z) -+- V(tt) 4- V(5) V(u), d'où, en remplaçant les multiplications par des compositions, le
APPLICATION DE LA THEORIE PRÉCÉDENTE. ISq
théorème d'addition intégral de la fonction (lo)
(II) \{z-^u\x,y)=\{z\x,y)^\{
u\x,y)^j\{z\x,^)y{u\ly)dl
Nous l'avons déjà utilisé au Chapitre VIII.
On obtiendra de même, sans aucun calcul, les théorèmes d'addition intégraux des nouvelles transcendantes entières »,(^|j?,^), 02{z\x^y)^ o^{z\x^y) : ils se déduiront des théorèmes d'addition des fonctions elliptiques.
6. Peut-être avait-on trouvé peu direct le procédé qui nous a servi (Chap. VIII) à intégrer l'équation intégro-diflTérentielle du premier ordre (a). Il devient, au contraire, extrêmement naturel après l'exposé de la théorie générale précédente.
Le théorème d'addition intégral de la fonction V peut prendre une forme plus généi'ale. En eflet, F, et Fj étant deux fonctions permutables, on peut écrire
\{zFi(x, y) + u¥.{x, y)) = y{z?,{x, y)) -^\{u¥^{x, y)) ^\ {z¥i{x, y)\ {u¥i{x, y)).
Pour F, ^ F2= F on retrouve le théorème énoncé précédemment.
7. Nous venons, en somme, de développer une analyse des fonctions permutables; on peut de même construire une algèbre des fonctions permutables tout à fait analogue à l'algèbre ordinaire. Cette étude a été faite par M. Evans (').
Terminons par une remarque qui met en évidence un lien intéressant entre ces considérations et une autre théorie de l'analyse. Si l'on prend pour fonction ¥{x,y) l'unité, on a
Par suite, si la série
(') Sopra l'algebra délie funzioni permutabili {Memorie Lincei, série V, vol. VIII, 191 1). — L'algebra d^lle funzioni permutabili e non permutabili {Rend. Circolo di Palermo, vol. XXXIV, 1912).
l60 CHAP. X. — APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE.
a un certain rayon de convergence, la série
a,^-+- aiz^- H... -h a„^'»-^7 '— \- . . .
aura un rayon de convergence infini. On retrouve ainsi le théorème fondamental qui a servi à M. Borel dans ses recherches, maintenant classiques, sur les séries divergentes et sur l'étude des séries en dehors de leur cercle de convergence.
1-1. Détermination de toutes les fonctions permutables avec une fonction du premier ordre. — 3-5. Propriétés des fonctions permutables. Définition des fonctions des divers ordres entiers supérieurs à i. — G. Détermination des fonctions permutables avec une fonction du deuxième ordre. — 7-11. Application des résultats précédents à la résolution des équations intégrales à points critiques.
1. Nous avons (Chap. IX, n" 6) appris à trouver toutes les fonctions permutables avec l'unité et nous avons ainsi obtenu l'ensemble des noyaux vérifiant la condition du cycle fermé.
Le problème plus général qui se pose maintenant et que nous allons résoudre est le suivant : une fonction §{x,y) étant donnée, trouver toutes les fonctions permutables avec elle.
Nous supposerons d'abord, quitte à revenir sur les autres cas, que la fonction donnée :§{x,y) est telle que
nous dirons dans ce cas que $ est du premier ordre. Nous simplifierons enfin le problème par l'application de deux lemmes préliminaires faciles à démontrer (*) et que voici :
a. ^{x,y) et §{x^y) étant deux fonctions permutables, si Ton fait le changement de variable
et qu on pose
§, {xuyx) = ± //'(^•)/'(ri) ^"(^1. ri ),
*j(a:„j^,)=±//'(a7,)/'(7i)*(^i.ri),
( ' ) Cf. VoLTERRA, Sopra le funzioni permutabili ( Lincei Bend. 1910, p. 425).
l62 CHAPITRE Xr.
les nouvelles fonctions !^\(a;,,y^), 4>,(:c,,jKtj sont aussi permutables.
b. Les fonctions
sont permutables en même temps que rf» et <ï>,.
Le lemme a permet de remplacer la fonction ^(x,y) par une fonctionrf,(a7),jK)) telle que
et le lemme b permet enfin de remplacer 5^, par ^2 telle que
2. Nous pourrons donc supposer désormais, sans restreindre la généralité, que la fonction ^ vérifie les conditions
^{x,x) = \, Fi(x,x) = F^(x,x) = o, en posant
Une fonction <I>(^,j)') permutable avec ^ doit être telle que On en tire
et
d^Vix, Y)
dx d'où, en posant
ÉTUDE DES FONCTIONS PERMUTABLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. l63
on lire
dW(x.y) r'àWix^
*(^.7)= — ^ J^ — ^ — Mly)dl
dW(x,y) r^dWily)., ,^„
W{x^y) doit donc satisfaire à l'équation inté^ro-différentielle
dW{x,y) dW{T,y)
dx df
qu'il faut maintenant résoudre. Ensuite, Tune ou l'autre des deux formules précédentes déterminera <I> {x, y) en fonction de
Pour résoudre l'équation (i), remarquons qu'après une intégration par parties, elle prend la forme
dW(x, y) dW{x, y) ^ ^ ' 'àx ^ ôy
-\-J\^'{x,^)gn{ly)-^va,y)s:^^{^,^)]d^. = o.
en posant
à .Ut, y) àfijx, y) ^•^= ô^ ' *^^= Ji-
Il est alors facile de la réduire à une équation intégrale : il suffit d'appeler le dernier terme, c'est-à-dire l'intégrale, }>(:r,jK) et d'intégrer l'équation
âx dr
En posant 2 m = j>' — x et 2V =y -\- x, on constate finalement ( ' ) que l'équation intégro-différentielle (2) est équivalente à l'équation intégrale
( ' ) Cf. VoLTEURA, Sopra le funzioni permutabili ( Lincei Rend., 1910, i" sem., p. 428).
l64 CHAPITRE XI.
9( m) étant une fonction arbitraire assujettie seulement à s'annuler, comme W{x,y), pour x =y- On peut donc poser
Hu)=f ^(ri)dri.
L'équation intégrale (3) se résout aisémenl. On démontre que, '^{u) étant donnée, elle admet une solution et une seule exprimée par la formule
(4) 'i'(^,j)=f^\{ri)^Wn{ri\x,y)dri,
avec
et
Wn(ri\x,j)= f dl f [vir„,(7iIC+«-iC + ")^2i(C-«.C+"-$)
W est ainsi déterminée et l'on en déduit immédiatement O.
Le problème de déterminer les fonctions permutables avec une fonction donnée Yi^x^y) est donc résolu si l'on suppose
3. Nous sommes maintenant en état de démontrer bien des propriétés remarquables des fonctions permutables. Observons d'abord que la formule (4) donne
lim — = const.
Mais
puisque
on a
lim ^ '- ' = F(x, x) ^{x, x) =. ^{x, X). y = x J — X
Donc
^{x, x) = const.
Ce résultat est établi dans l'hjpolhèse où F(x,y) vérifie les conditions posées au début du n" 2. Dans le cas général, en tenant compte des formules de transformation du n" 1, on en tire la proposition suivante :
ÉTUDE DES FONCTIONS PERMUTABLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. l65
Théorème I. — Si les deux fonctions ¥{x^y) et <^{x^y) sont permutables et si F(j7, x)^o, on a toujours •
■^, '- = const.
4. Supposons maintenant que la fonction <I>, permutable avec F, ait des dérivées premières finies, nous pourrons démontrer que :
Théorème II. — Si <^(x, .r) = o, Véquation intégrale en
admet une seule solution permutable avec ¥ et ^.
En effet l'équation précédente se ramène, par une dérivation, à une équation de seconde espèce qui admet une solution et une seule. Cette solution est bien permutable avec F, donc aussi avec 4), car de l'équation
* = iw,
on lire
(5) F* = F(F'ïr),
<6) *F = F(»rF).
Mais F0 = <I>F, les équations (5) et (6) donnent alors
Nous avons nommé (n° 1) fonctions du premier ordre toutes les fonctions <I> telles que
Admettons au contraire que $(.r, x) soit identique à zéro et que la fonction <l>{x^y) ait des dérivées premières, nous aurons
/d^(x,y)\ ^ /d^{x,y\ \ dx J^ = y \ dy A
€t si la valeur commune de ces deux dérivées est diff'érente de zéro quel que soit x nous dirons la fonction $ du second ordre.
l66 CHAPITRE XI.
En général Ja fonction $ sera du /i'^""' ordre si elle a des dérivées jusqu'à l'ordre [n — i) inclus telles que :
1° Toutes les dérivées jusqu'à l'ordre {n — 2) inclus soient nulles pour x.=y^
Si enfin toutes les dérivées de la fonction <I> existaient et étaient nulles pour x =y la fonction serait d'ordre infini; c'est le cas de la fonction
Bien entendu il existe des fonctions qui ne sont d'aucun des ordres définis précédemment: par exemple une fonction <[>(a:,^) telle que $(.r, x) s'annule pour certaines valeurs isolées de x.
La notion à^ordre ainsi introduite permet d'étendre de la façon suivante (') le théorème II :
Théorème III. — ^ et W étant deux fonctions permutables respecthement de n'*'™^ ordre et de m'^"'^ ordre, V équation
* = vFe
admet, si n'^ met siW ades dérii'ées {n — ly^mes^ ^^^ seule solution 0 qui est permutable avec ^ etW et d'' ordre n — m (2).
On en conclut aisément que si n et m sont des nombres premiers entre eux, on peut toujours trouver une fonction du premier ordre permutable avec <I> et W. On en tire aussi facilement que si $ est une fonction d^ ordre netF une fonction du premier ordre, on peut trouver W du premier ordre telle que
^ z= F«-iiF.
o. Soit F une fonction du premier ordre et $ une fonction permutable avec F, ces deux fonctions ayant des dérivées de tous les
( ' ) VoLTERRA, Contributo allô studio délie funzioni permutabili {Lincei Rend., i" semestre 1911, p. 296).
(') Si <I> et ^' ne sont pas permutables, e existera toujours, mais ne sera permutable ni avec <1», ni avec W.
ordres. Nous avons déjà vu qu'on a
c, étant une constante. La fonction
*(^,J) — CiF(ar, j)
est donc nulle pour x =y. C'est pourquoi on peut écrire
<P{x,Y) — c,¥{x,r)== f F(.r, f)*i(l y) d^, d'où
<ï>(^,;r-) = ciF(a7,,r)-4- f F(.r, t)*l(£,J)rf^
Celte formule est analogue à celle de Lagrange.
En l'appliquant à <!>,, qui est aussi permutable avec F, on a
*,(;r, r) = C2 ¥{x, r) -^f^ l'(x, 0 *2($, y) dl d'où
'P(x,r)= ciF(x,r)-{-Cih(x,r)-^- f FHx,^)<Pi{l j)di.
En continuant de même, on obtient enfin
^(x, y) = c, FO, j)-+- C2 F2(j7, r)-4-.. .-4- c« F''(ar, j)
formule analogue à la formule de Taylor. Si, quand n tend vers l'infini, le terme complémentaire tend vers o, ^{.r,y) sera représentée par la série
<^(x, j) = c, F'x, y) 4- Cj F^(x, y) -+-. . .-h c„ F''(a:, r) -+-...,
analogue à la série de Taylor. Il est d'ailleurs évident que ce développement ne sera pas toujours possible (').
( ' ) Il suffit pour s'en rendre compte de revenir au cas particulier V{x,y) = i. On a alors
et le développement précédent est le développement de Taylor suivant les puissances de (y — x), de la fonction 'l>(y — x). On sait qu'il ne représente pas toujours la fonction.
l68 CHAPITRE XI.
Mais ici se présente naturellement une remarque : toutes les fonctions ^ possédant un tel développement sont permutables entre elles. Cette propriété est-elle générale? Toutes les fonctions permutables avec une fonction donnée sont-elles permutables entre elles?
La réponse est affirmative^ comme l'a démontré récemment M. Vessiot('). Contentons-nous de remarquer ici que, dans un cas particulier, la proposition est immédiate : si l'on cherche les fonctions permutables avec une fonction du premier ordre
on trouve, d'après les formules du n" 2, des fonctions de même forme
qui, par conséquent, sont permutables entre elles.
6. Nous avons trouvé toutes les fonctions permutables avec une fonction du premier ordre. Il est naturel de rechercher maintenant toutes les fonctions permutables avec une fonction du deuxième ordre ou, en général, avec une fonction du /w'^™" ordre. Nous verrons, plus loin, la raison de cette recherche.
Elle se résout dans le cas d'une fonction du deuxième ordre par un procédé tout à fait analogue à celui du n° 2(2): soit ^{x,y) la fonction donnée du deuxième ordrC;, on constate d'abord qu'on peut, sans restreindre la généralité, supposer que
'<^^\ fd§\
■Lr'- [à^)..y=''' [ô^)..r'' v^j.=,="
Une fonction ^(x,y) permutable avec 3' est telle que
(') Cf. Vessiot, Sur les fonctions permutables et les groupes continus de transformations fonctionnelles linéaires {Comptes rendus, 1912, p. 682).
(^) Cf. VoLTERRA, Contributo allô studio délie funzioni permutabili {Lincei Rend., 1" semestre 191 1, p. 296).
= *(..;, j)-+-^'^(,rJ)<l>($,j)«?S,
On en tire, grâce aux hypothèses précédentes,
Il est alors facile de prouver par des intégrations par parties que W satisfait à l'équation intégro-difterentielle
X,, Xo, [i-H et U.22 étant des fonctions connues.
On intègre cette équation par un procédé analogue à celui qui a servi au n" 2 à traiter l'équation intégro-différentielle (2) : on la ramène, par résolution de l'équation aux dérivées partielles
à une équation intégrale que l'on résout enfin de plusieurs manières, par exemple par approximations successives.
On en conclut finalement toutes les fonctions permutables avec la fonction du deuxième ordre S. Si, en particulier, § appartient au groupe du cycle fermé, on trouve ainsi des fonctions appartenant à ce même groupe.
Dans le cas où la fonction ^f est du troisième ordre ou d'ordre supérieur, la question n'est pas encore complètement résolue (').
Il faudrait aussi s'occuper de la recherche des fonctions permutables avec une fonction qui n'a pas un ordre déterminé, qui est telle par exemple que F(^,a:) s'annule en quelques points isolés (2).
