Nous avons résolu l'équation intégrale

F(F„fV ...,F„) = o,

(') Le cas où ^ est analytique a été traité par M. Pérès {Comptes rendus, I" sem. 1913).

(') Voir sur ce sujet une Note de M. Pérès, à paraître prochainement dans les Lincei Rend.

qui correspond à l'équation

F(Zi,z^, ...,^„) = o

dans le cas où-le point Zi= --2 = .•■ = ^«-i = o n'est pas un point de ramification de la fonction implicite z,i{zt, ^25 •••, ^w-i)-

Les considérations précédentes, et c'est là leur intérêt, vont nous permettre de passer au cas des points de ramification.

Nous le montrerons d'abord dans les cas les plus simples (').

tp étant une fonction donnée du deuxième ordre ^ soit à trouver une fonction F telle que

c^est-à-dire

f\ix,^)Fa,j)di = 'P(x,j).

Puisque <I> est du deuxième ordre, nous savons trouver toutes les fonctions permutables avec elle. Soit W(x,y) l'une de ces fonctions, quelconque mais du premier ordre. Nous pourrons toujours, par application des transformations indiquées précédemment (2), nous réduire au cas où

La fonction W(x, x) sera alors une constante différente de zéro que nous pourrons toujours prendre égale à i. Ceci posé, formons la fonction

on voit facilement qu'elle est du troisième ordre ou d'ordre supérieur, et que l'équation

admet donc une solution 7 du premier ordre ou d'ordre supérieur {cf. n" 4, théorème III). La fonction y s'obtient simplement en réduisant par deux dérivations l'équation (^) à une équation intégrale de deuxième espèce.

(') Cf. VoLTERRA, Contributo allô studio délie fuiizioni permutabili^ p. 298. (^) N" 1, a et b.

La fonction y étant ainsi déterminée, formons la série toujours convergente

On aura

F2= W^-h ^iy = *(.r, y),

et le problème que nous nous proposions est ainsi résolu.