Il est aussi facile de résoudre l'équation intégrale

<I> étant une fonction donnée du n}^'"^ ordre, quand on connaît une fonction W du premier ordre permutable avec ^. On pourra, en effet, toujours supposer que

lim • . = Iim ^^ — f—- = i:

en résolvant alors l'équation intégrale en -^ on aura

Quand 4> appartient au groupe du cycle fermé, on connaît une infinité de fonctions du premier ordre permutables avec elle, c'est pourquoi on résout aisément les équations de forme (')

9. Nous avons laissé de côté la question de savoir combien de solutions a l'équation

Occupons-nous d'abord du cas où n = 2

(') J'ai aussi donné {Lincei Bend., i" semestre 1910, p. 434) une mélhode directe pour résoudre cette équation.

nous avons trouvé une solution F de cette équation, mais il est évident que la fonction — F la vérifie aussi. On peut prouver que ce sont les deux seules solutions de l'équation (8).

La démonstration repose sur le lemme suivant : ^(x,y) étant une fonction du premier ordre \i{^x^x)~^o\ V équation intégrale

n^a pas d'' autre solution que ^{x^y) = o si a^i . En effet, on peut toujours (cf. n° 1) supposer

g(a:,T)=U [i^l|lZ)]^^= |F,(^,j)]„,,= „,

En posant

les mêmes transformations qui nous ont conduits à l'équation (i) (n° 2) nous conduiront à l'équation

dW{x,y) \ (JT(.r, r) dx a dy

qu on peut écrire

dW(x,x) I dW(x,j)

dx a dr \ y j )

Si nous posons

u — x — ty^ V = X — y,

il vient enfin

a — I ■.-'o \ I — a I — 3t / u) étant une fonction arbitraire. Mais la fonction ^""(^j x) doit

ÉTUDE DES FONCTIONS PERMUTABLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. \~'i

êlre identiquement nulle, et comme on a

V(x,a:) = 0[(i — a);r], il en est de même de 0; par suite

De cette équation on déduit, en reprenant un raisonnement déjà fait bien des fois au cours de ces Leçons ('), que |^''(^,y)| est plus petit que tout nombre fixé à l'avance et que, par suite, W{x,y) = o. On a alors aussi

Nous pouvons maintenant démontrer que :

Théorème. — Si l'on a

<!> étant une Jonction du deuxième ordre, on doit avoir F,= F2 ou F, = — Fj.

La proposition serait immédiate si l'on savait que F, et Fa sont des fonctions permutables, mais nous n'en savons rien a priori. Nous savons seulement que

o = FÎ-F|=i(Fi-F0(F,-f-F0-4-^(F,-+-Fj)(F,-F2).

Posons

F,— F,= F, Fi-i-F2 = «ï>,

des deux fonctions F et <I>, l'une au moins est du premier ordre,

(' ) En admettant que

et en remplaçant W{x,y) par cette borne supérieure dans le second membre de l'équation, on obtient une nouvelle valeur de m, elc. Il est facile de montrer ensuite que les nombres m ainsi définis tendent vers zéro.

parce que F, et Fo sont du premier ordre et telles que (^) [Ft(x, x)y = [F2{x, x')]-. Supposons que F soit du premier ordre, l'équatign

F*= — *F entraîne (lemme)

* = o, donc Fi = — F2.

Si <I> était du premier ordre, on aurait de même

10. Par des procédés analogues à ceux du numéro précédent, nous pourrons étudier au même point de vue l'équation

où <ï> est une fonction d'ordre n.

Soit F, une solution de cette équation, il est bien facile de voir que toutes les fonctions obtenues en multipliant F, par une des racines n'^"'^^ de l'unité seront de nouvelles solutions de cette équation. Nous obtenons ainsi n solutions distinctes de l'équation (9) et il n'en existe pas d'autre. Ce dernier point résulte du théorème suivant :

Théorème. — Si <I> est une fonction d'ordre n et si l'on a

Fî=*, F^' = <ï>, on a nécessairement

£ étant une racine /i"'™'^ de l'unité.

Pour démontrer ce théorème, remarquons d'abord que <ï» étant une fonction d'ordre /?, F, et F2 sont deux fonctions du premier ordre. On a de plus

Cette dernière égalité, en la dérivant n fois et en y faisant ensuite x-=y., nous donne

[Fi(a7,a7)]«=[F2(ar,^)]«;

et par conséquent, en multipliant au besoin Fo par une racine n

èmc

(') Comparer n" 10.

de l'unité, nous pourrons toujours supposer que

Fi(x, x) = Vi(x,x).

Nous admettrons aussi que

F,(j-,x)= F2(a:,ar) = i,

rôFiix^y)-] ^ fâF,(T,r)l L àx ]:,=,.' l dy \.,^y

^ VdV.AXQ')!^ ^ Vd¥,{x,y)-\ ^^.

L àx \x=y L ày \x=y ^'

nous pourrons toujours nous réduire à ce cas par l'application de transformations analogues à celles qui furent envisagées au n** 1.

11 reste alors à prouver que, dans ces conditions et en vertu de l'égalité (lo), on a

Soient £,, Sa, ..., £„ les n racines /?"'"'«* de l'unité et prenons e,, égal à l'unité, posons

nous aurons ni F'/— Fi]) = <|>,<i>2. . .'I>„,'|ï„-4- ^i^z. . .*«*!

donc, d'après l'égalité (lo),

Posons

et

il viendra

(II) / = */i, /•+! = ¥,*,•

et

(lO) fl^fi-^."-^/n=0.

Mais en dérivant les formules (11), nous obtiendrons

(i = i,'2, ...,n— 1), et, en résolvant ces équations intégrales.

avec

X/(a:, :») = lii(x, x) = o.

On a finalement, après additions et intégrations par parties^ les n — I relations

et l'on tire de (10') la /i'*™" relation

Il est facile de prouver que les fonctions/,, /o, . . .,fn qui satisfont aux équations intégro-différentielles (12) et (i 3) et à l'équation (10') sont identiquement nulles. Nommons en effet u,j U2, ..., Un les seconds membres des équations (12) et (i3), et posons

£a/i + ^lA + . • . + £/!/« = ^A,

nous aurons

d'où, après le changemenl de variables, •^— r = ^.

Ba étant une (buclion arbitraire et V/i étant égal à

— '■^— ( th "1 -+- s^, i<2 -+-... -(- e/î «,.)• s/t ■ •

Mais pour x =y on doit avoir Wa= o, par suite

et la fonction B^ est identiquement nulle. On a donc enfin les relations

d'où l'on lire

De ce dernier système (i4) d'équations intégrales auxquelles satisfont les fonctions/,, /a, ...,/« on peut enfin déduire, comme au numéro précédent, que l'es fonctions /, , /a? •••» /« sont plus V. 12

petites que tout nombre fixé à l'avance et que, par suite, sont identiquement nulles. Mais de l'égalité

on conclut, puisque 4>), $05 •••^ *ï*//i sont des fonctions du premier ordre,

Le théorème est ainsi démontré.