Dès qu'on sait résoudre l'équation binôme
on sait aussi résoudre le cas général. En effet, l'équation précédente peut s'écrire
(j \. ième -j de $ ; on définit encore
aisément une puissance fractionnaire quelconque de <I>
Soit alors à résoudre l'équation en F2
F(Fi, F2) = o, déduite (') d'une équation
F(zi,z,) = o,
telle que la fonction implicite ^2(^1) ait un point critique en Zf = o. Une branche de cette fonction implicite s'exprime, on le sait, par une série des puissances fractionnaires de Zf : en y remplaçant les puissances fractionnaires de Zf par les puissances fractionnaires de F, que nous venons de définir, on obtiendra le développement cherché de F2 (^).
(') Comme il a été précisé dans le Chapitre IX.
(^) M. Lalesco remarque aussi une analogie avec les équations différentielles linéaires et la théorie de Fuchs. Cf. Lalesco, Introduction, à la théorie des équations intégrales. Paris, 1912, p. 189. Il serait intéressant de poursuivre cette analogie.
LA PERMUTABILITÉ DE DEUXIÈME ESPÈCE
I. Définition. — 2. Différences entre les deux permutabiiités. Les fonctions permutables de deuxième espèce avec l'unité. — 3-7. Relations avec la théorie des substitutions; application à la résolution d'une équation intégrale.
1. Nous avons considéré jusqu'ici les fonctions permutables de première espèce telles que
et la composition de première espèce. 11 faut étudier maintenant une autre permutabilité . Nous la nommerons permutabilité de deuxième espèce^ la composition correspondante étant la composition de deuxième espèce ( * ).
Deux fonctions F {x, y) et ^(x, y) seront dites permutables de deuxième espèce lorsqu'on aura
(2) f F(.rJ)<ï>(t,j)^|= r *(.rJ)F(Ç,j)rf?.
L'opération
sera la composition de deuxième espèce des deux fonctions F et <I>.
Nous désignerons cette opération par le symbole
à propos duquel on peut répéter la remarque faite (Gliap. IX, n^S)
( ' ) Cf. VoLTERUA, Questioni generali suite equazioni intégrait ed integrodijfferenziali {Lincei Rend., \" semestre 1910, p. 178).
l8o CHAPITRE XII.
sur le symbole F$ : on pourra suprimer les étoiles, écrire F<I> au lieu de F<I>, toutes les fois que la confusion avec un produit ou une composition de première espèce sera impossible.
Les théorèmes fondamentaux démontrés sur la composition de première espèce (') peuvent s'étendre à la composition de deuxième espèce. On obtient le résultat général suivant :
Soit un ensemble de fonctions permutables de deuxième espèce; des combinaisons linéaires et des compositions de deuxième espèce^ appliquées aux fonctions de cet ensemble^ donnent naissance à de nouvelles fonctions toujours permutables entre elles et avec les premières.
2. Il y a pourtant bien des différences entre les deux espèces de composition. Pour le montreï" d'une manière frappante, cherchons par exemple les fonctions permutables de deuxième espèce avec l'unité.
Soit ¥{x^ y) une fonction arbitraire. Posons
f ¥{x,y)dx = o{x}, f F{x,y)df = '^{x)
et
(3) *(,r,j) = F(.r,j)-tp(j)-<|;(,r),
nous aurons
f *(-fJ)^? = - f ^{f)dj=- f f ¥{x,j)dxdy
et de même
f ^a,j)d^^- f ^{x)dx=- f f F(x,j)dxdy.
Toutes les fonctions de la forme (3) sont donc permutables avec l'unité.
Réciproquement d'ailleurs, toutes les fo actions permutables avec l'unité ont la forme (3). Soit, en eff'et, W{x,y) l'une d'elles.
(■) Chapitre IX, n»' 1 à 5.
LA PERMUTABILITE DE DEUXIEME ESPECE
( )n aura
u/ft ./a
c étant une constante.
Posons
F(.r, r) = W{x,y) — 'ic, il viendra
?(j) = -c, <^(,r)= — c, et, par suite,
Nous avions constaté que toutes les fonctions permutables de première espèce avec l'unité forment le groupe du cycle fermé. Dans le cas de la permutabilité de deuxième espèce, les choses se passent, on vient de le voir, d'une manière toute difiérenle.
Nous avions vu aussi que toutes les fonctions permutables de première espèce avec l'unité sont permutables entre elles. Cette propriété ne se vérifie même plus pour la permutabilité de deuxième espèce.
3. Avant de montrer, dans le prochain Chapitre, comment la théorie de la permutabilité de deuxième espèce s'applique à la résolution des équations intégrales et intégro-diflerentielles, nous développerons ici les relations annoncées dans le Chapitre II (n" 11) entre la théorie des fonctions permutables (deuxième espèce) et celle des substitutions (').
Soient des fonctions finies et continues
/.(,r), Mx), ..., /n(ar); cp,(.r), «^(.r), ..., <j>„(.r), posons
/ t»g{x)fi{x)dx = \si
et admettons que le déterminant des A^, soit différent de zéro.
( ' ) Cf. VoLTERRA, Sopra le funzioni permutabili di seconda specie e le equazioni intégrait {/iend. dei Lincei, i" sem. 191 1).
l82 CHAPITRE XII.
Considérons les fonctions
(I) , ^{^,j)^^^^aisMx)<fs{x),
