II

Si nous opérons sur elles une composition de deuxième espèce, nous obtiendrons la fonction

F*(,r, y) = ^^Ci,fi{x) cp,( j;

Pour représenter cette formule, nous pouvons écrire les substitutions

Cl lia

Xo,»

. \nn

et nous aurons

Cil, Cl,,

Cira C2«

G = AAB.

La condition nécessaire et suffisante pour que F et <î> soient permutables de deuxième espèce est donc exprimée par la formule

AAB = BAA, ou par la formule équivalente

(AA)(AB) = (AB)(AA), et nous pouvons énoncer le résultat fondamental suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour la permutabilité des deux fonctions ¥ et fi> est que les substitutions A A et AB soient permutables entre elles.

LA PERMUTARILITÉ DE DEUXIÈME ESPÈCE. l83

Les problèmes relatifs à la permiitabilité des fonctions de forme (I) et (II) sont ainsi ramenés à des problèmes relatifs à des substitutions :

1° La recherche des fonctions de forme (1), permutables de deuxième espèce avec la fonction (II), est réduite à la recherche des substitutions permutables avec une substitution donnée. J'ai traité ailleurs ce dernier problème (c/. p. 4^, note 2).

2° Nous avons, dans le deuxième Chapitre (n" 11), énoncé le résultat suivant : la condition nécessaire et suffisante pour que toutes les substitutions permutables avec une substitution donnée soient permutables entre elles est que cette dernière substitution soit élémentaire. Il en résulte immédiatement que la condition nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctions (I), permutables avec (II), soient permutables entre elles est que la substitution AB soit élémentaire.

4. Voici une application des résultats précédents à la résolution d'une équation intégrale.

Supposons la substitution AB élémentaire et soient Fq, F,, F2, . . ., F;;,, m -\- I fonctions de type (I) permutables de deuxième espèce^avec (II); elles seront aussi permutables entre elles.

Nous nous proposons de trouver une fonction V, avant la forme {V) et permutable avec (II), vérifiant V équation inté-

irr

'aie de degré m

(III) FoF'«+F,F'«-»+F2F'«-2-^...-+-F,„,F + F,«=o.

Si nous posons

1 1 et

nous devons avoir

(i5) (AAo)(AA)"'-+-(AA,)(AA)'«-»-^...-h(AA„,,)(AA) + AA,„=o.

l84 CHAPITRE XII.

Or, en réduisant les substitutions AAo, AA,, ..., AA„,, AA à la forme normale (' ), on peut écrire

AA =T-iST,