AA/;=T->S/,T

Ri, o, o, R2,

i-Xg>

T étant une substitution à détern'inant différent de zéro. On en conclut que

Ro,^R^"+ Ri,^R^;'-i -)-. . .-4- R,„i,^R^-i- R,«,^= o (^ = 1,2,...,/)).

Il faudra donc prendre pour a'J' l'une quelconque des racines de l'équation algébrique de degré m

on obtiendra ensuite les valeurs de

)ar la résolution d'équations linéaires

.f/gt

eqi

(') VoLTERRA, Sui fondamenti délia teoria délie equazioni dijferenziali lineari, r* Partie {Memorie délia Società Jtaliana délie Scienze, 3° série, vol. VI).

On forme la substitution S en remplaçant chacun des symboles li,, Rj, ..., K par le tableau qu'il représente, de manière que tous ces tableaux aient même diagonale principale. On complète ensuite la substitution en prenant tous ses autres éléments nuls. On formera de même S,,.

LA PERMUTABILITE DE DEUXIEME ESPECE. l83

Nous saurons donc, en résolvant une équation de degré m et des équations linéaires, déterminer toutes les substitutions A A (et par conséquent A) qui satisfont à l'équation (i5). A chacune des substitutions A, ainsi déterminées, correspondra une solution F de l'équation intégrale considérée.

5. Mais la méthode du n" 3 pourrait sembler restreinte aux fonctions de la forme particulière (I). Nous allons montrer qu'il n'en est rien.

Soit ^'(.r, y) une fonction quelconque permutable de deuxième espèce avec (II). Posons

y)'^.r{oc)f,{y)dxdy.

et appelons E la substitution formée par les nombres Cn- En vertu de la permutabilité, nous aurons

c'est pourquoi

XX ^"i'')My)dcodyf^ W{x,>c,)^iZsbufia)9siy)d\ = f f Oh{x)fr{y)dxdy f W(l y)y:,Zsbufd^)9s{%) d^.

d'où enfin

(i6) EBA = ABE.

Si nous prenons alors W(x, y) sous la forme

W{x, y) = ZuS.^mnkMx) ^k{y) -^ e(a;, j), les constantes rrihk étant choisies de façon que

/ / ^{x,y)r^r{x)f,{y)dxdy = o (r, 5 = i, -2, . . ., n),

en posant

mil,

mi2, .,

■ • mm

• min

m ni-, • ■

. mnn

I8C CHAPITBE XII.

il vient