S,è//A,/, f ^{X,i)fi{\)d'^ = 0 (t =1,2, ...,rt

d'où, en supposant que le déterminant de la substitution BA soit différent de zéro,

On a de même

(i8) f ea,j)oia)di = o (.-=1,2, ...,«).

Or M. Lauricella a déterminé (') la fonction la plus générale qui satisfait aux égalités (17) et (i 8); elle a la forme

(19) e(^, r) = Û(.r,j)-2 2/»?^(j)/' ^4-^,^)fia)d^ 1 1

(') Sopra alcune equazioni intégrait {Rend. Lincei., 1" sem. 1908).

LA PERMUTABILITÉ DE DEUXIÈME ESPÈCE. 1 87

OÙ

I f^îl, !^22, ••• I^2«

' H/.1, l^ni, ■ ■ ■ \t-nn

et où ù(x,y) est une fonction arbitraire.

Nous obtenons ainsi, en prenant la fonction la plus générale de la forme (l), permutable avec (II), et en lui ajoutant l'ea:pression(ig), la fonction la plus générale permutable avec{ll).

On peut voir de même qu'en ajoutant à la solution trouvée précédemment de l'équation intégrale (III) l'expression (19), on obtient /a solution générale de cette équation.

6. Un cas particulier intéressant des considérations précédentes

est celui où

/,(.r) = Oi{x),

et ces fonctions sont normales; on a alors

Si nous supposons en outre que les fonctions

/., /2, •••, fn

font partie d'un système de fonctions normales

/„ /„ ..., fs (N>«),

nous obtiendrons des fonctions 0 qui vérifient (17) et (18) en posant

^{■^,j)=^^gisfi{.'^)fsiy).

les qis étant des constantes arbitraires. Ce résultat s'étend aisément aux cas où JN == 00.

7. On voit combien les méthodes qui servent dans l'élude des fonctions permutables de deuxième espèce différent de celles applicables aux fonctions permutables de première espèce.

l88 CHAPITRE XII. — LA PERMUTABILITE DE DEUXIEME ESPECE.

Les considérations précédentes, en mettant en lumière les relations entre la permutabilité de deuxième espèce et la théorie des substitutions, nous font toucher, je crois, sa véritable nature. En tout cas, elles sont utiles dans les applications, comme nous l'avons vu à propos de l'équation intégrale (IH) ( ' ).

(') Le problème de la détermination des fonctions permutables de deuxième espèce avec une fonction donnée a été étudié d'abord par M Sinigallia, Suite funzioni permutabili di 2* specie {Lmcei Rend., i" sem. 191 1). Consulter aussi les intéressants travaux de M. Soula, Sur la permutabilité de 2° espèce {Lincei Rend. 2' sem. 1912 et i"' sem. igiS) et de Lauricella, Sopra le funzioni permutabili di 2' specie {Lincei Rend., i"' sem. igiS) qui a donné la solution la plus générale du problème.

L.\ RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES ET INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES A LIMITES FIXES.

1-3. La permutabilité de deuxième espèce considérée comme cas limite d'une permulabilité de quantités à deux indices. — 4. Les séries de fonctions permutables. — 5. Application de la théorie à la résolution des écjuatioiis intégrales ou intégro-différentielles : le problème corrélatif de la résolution d'une équation algébrique ou différentielle. — G. Le problème corrélatif relatif à la permutabilité de première espèce {cf. Chap. IXetX). — 7-8. Applications. Transformation des théorèmes d'addition. — 9-13. Application à l'élude de l'équation intégro-différenlielle à limites constantes analogue à celle du Chapitre V.

1. Laissant de côté les divers problèmes qui se posent sur la permutabilité de deuxième espèce, nous allons aborder une étude bien plus essentielle.

On a vu comment la théorie de la permutabilité de première espèce conduit à la solution de classes d'équations intégrales ou intégro-difï'érentielles à limites variables ; nous allons exposer comment la théorie de la permutabilité de deuxième espèce conduit à des résultats analogues relatifs à des équations intégrales et intégro-diflerentielles à limites Jixes.

Pour bien comprendre la théorie, il faut revenir au point de départ de tout l'ensemble de recherches que nous avons développé, c'est-à-dire au passage du fini à V infini. C'est ce que nous allons faire tout d'abord ( * ).