LA RESOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES. I9I

Il est évident que, tandis que les développements (4) et (4') sont valables quels que soient z, u, r, ..., le développement (4") ne sera valable, en général, que si les modules de z, u, i>, ... sont inférieurs à certaines limites.

Construisons les fonctions

(5) *r,i(-, «, i', ...) = SaSpS.. . .aa,3,y,...(manP/?Y. . .),.sZ='u?vy . . .,

{5") F^,.,(5, «, p, . . .) = SaSpSy. . . Ca,p,y....(manP/)Y. . .)rsZ^u^vr. . . . Elles satisfont aux théorèmes suivants :

i" Les fonctions ^rs{z, u, v, . . .), Wrs{z, u, c, . . .) sont des fonctions entières des variables z, u, c, ... ;

2° La fonction Frf(v, m, c, . . .) est le rapport de deux fonctions entières des variables z, u, v, . . .;

3" <!>;.,, Wrs, Frs sont des quantités permutables avec nirs, ^rs-) Prs, ....

Pour démontrer la première proposition, remarquons que R), Ro, R3, ... étant des nombres quelconques, il existe un nombre M tel que

Soient m, /i, />,... des nombres respectivement plus grands que les limites supérieures des valeurs absolues de

'"rs, «/-.s-, Prs, ...)

on aura

\(m,n )r,s I < 2 wn = ffmn < ff'- mn,

et, en général,

|(ma, n';i, />Y, ...)/.$ I<A'*'^P"^V+- m» n?/)Y

Dans ces conditions

I «a.3.- ,...('«^ n?, py, . . .);., I < ^^at^^RT

\ffffi/ \gn) \gp)

iga CHAPITRE XIII.

Par suite, la série (5) sera convergente si

' \ gm gn gp'

Mais R), Ro, R3 sont des nombres aussi grands qu'on veut, la fonction (5) sera donc bien une fonction entière de x;, m, p,

On démontre, de même, que la fonction (5') est une fonction entière.

Pour établir le second théorème, envisageons le système d'équations algébriques linéaires ë

(6) ^r,s + ^'yr,l^l,s=^rs ( r, S = I , -î, . . . , g).

Ces équations sont satisfaites si l'on y remplace X^,^ par F^^^, car les opérations de composition définies au n" 2 obéissent aux mêmes règles que celles de multiplication.

Mais, d'autre part, en résolvant ce système algébrique (6), nous obtenons les inconnues X^,^ sous forme de rapports de polynômes rationnels et entiers des quantités ^rs et ^r,s' Ces inconnues sont

donc des rapports de fonctions entières des variables z, a. t^,

Le dénominateur commun de ces rapports n'est pas identiquement nul : il est, en effet, aisé de constater qu'il est égal à i pour 5 = w ^ p = . . . :^ o. La deuxième proposition est ainsi démontrée.

Pour démontrer la troisième, il suffit de remarquer que les fonctions ^r,s, ^r,s: Fr,s s'cxpriment par des séries dont chaque terme est permutable avec rrir^s, ^r^s, fr.s,

Il est presque inutile de faire remarquer que F^^^ n'est pas défini par des rapports simples tels que le rapport {A"), mais par des opérations bien plus compliquées, telles que la résolution des équations (6).

3, Appliquons maintenant le passage du fini à V infini qui a joué un si grand rôle dans tout le cours de ces Leçons, c'est-àdire le procédé fondamental du calcul intégral qui nous a permis d'étendre le concept de fonction, de système d'équations, etc.

Il faudra faire croître indéfiniment le nombre g pendant que les quantités m„, nrs-, frs, • • • décroissent indéfiniment.

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES. Ig3

Considérons, pour cela, des fonctions de deux variables Si(:r,^), So {x, y)^ . . . finies et continues dans le carré qui a pour côté les vecteurs unités portés sur les deux axes.

Divisons ces côtés en intervalles h^, /ij, ... hg et menons par les points de division les parallèles aux axes. Le carré est ainsi décomposé en un certain nombre de rectangles. Soient enfin

Si(xr,Xs), Si(xr,a;,), ...

les valeurs des fonctions S,, Sa, ... en un point intérieur au rectangle de côtés hr, hg et posons

mr,s= ^\{x,-,Xs)hr, nr,s= ^ii^r: ^s)hr, •-..

La condition de permulabilité des nirs et rirs s'écrit

2, Si(j;r,X/)Sî(x/,X,)hrh/=z^ Si(Xr,Xi)Si(x,, Xs)hrhi.

ou en divisant par hr

2 ^\{jCr,Xl)?>^.ix,,Xs)hi—^ S,(Xr,X/)Si(x,,X,)hl. 1 1

A la limite, en faisant diminuer indéfiniment A,, ho, ••., hg, on obtient

c'est-à-dire la condition de permutabililé de deuxième espèce des deux fonctions S, et So.

Gomme dans tous les cas précédents (par exemple celui de la dérivée d'une fonction de ligne), les variables x, y jouent le même rôle que les indices /', s.

i. Les théorèmes du numéro précédent donnent alors à la limite les théorèmes suivants :

i" Les fonctions

*(c, u,v,...A x,j) = SaS^Sy . . . aa,p,y,... sfsfsj . . . i^MÎ^cY . . . , W(z, u,v, ...,\ x,r) = Z^tSsSy . . . 6a,p.y,...sfsfsJ . . . c*«?i^ï . . . ,

sont des fonctions entières de z, a^ i', ....

igi CHAPITRE XIII.

2" La fonction F(^, u,v, .. .\x,y) = SaSp Sv . . . Ca,^,.-,.,. S*sfs]; . . . 5« »? pï . . .

est le rapport de deux fonctions entières de c, m, (^, . . ..

3" Les fonctions $ (^, M, v^ . . . | ^, y), W (s, ?^, v^ . . .\x, y)^ F (5, M, (^, . . . I .r, jk) sont permutables de deuxième espèce avec S, {x,y), S,(^, j), ....

Enfin, pour obtenir F (5, u, v^ ...\x^y), il suffira de résoudre l'équation intégrale qu'on déduit à la limite du système d'équations (6)

F(5,M, P, ... I x,y)-^ f ^F(s,M, V,... \x,l)¥{z, u, v, ... \ly)d^

5. Soit un système quelconque d'équations algébriques ou diffère ni iel les d'un ordre quelconque

3l, Zi, . . ., U, «1, «2, . . . , C, <'i, ('2. • • •,

où nous supposons que z, Zf, z^i . . - ■, u, m,, m^? • •• soient des variables indépendantes de dérivation ; c, t^,, c^o, . . . , (k , tv,, (v^ , . . . des paramètres; -3^), ■^2? •• • les fonctions inconnues. Pour simplifier admettons que les premiers membres soient des polynômes rationnels et entiers.

Soient enfin rf,, ^27 ••• des solutions du système (7) nulles au point z = u = v=zw= ... -=0 régulières dans le domaine de ce point et s'exprimant comme rapports de fonctions entières des variables ^, M, ... et des paramètres v, iv, ... lorsque les autres variables Sj, Sa, . . . , Ut, u-^-, ... et les autres paramètres p,, t'a» • • • r W{, (Va, ... varient dans des cliamps déterminés. Ces solutions pourront s'écrire

SaSpSy28.--aayy.o,...-*wf^f'ï«'5...

'~ i -4- SaSpSySs . . . 6j,'p Y 8^...-S*"?^'T'«^° . . •

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES. igS

Formons les expressions

/,= Sa2pSvSs...c«.p,v.s....(^$,)='(«t,)?(i'S3)Y(«'S4)5...,

OÙ ;,, ia, is, Si sont des paramètres constants. Elles vérifient les équations

déduites des équations (7) en remplaçante, //, r, (v, ... par c;, , wÇa, t^is, «^^4, •...

Si nous considérons enfin les fonctions

F,= v^ilpSvSs . . . Ca,p,Y,s,...^««?rr«'S. . . sfsfsjsf . . .,

où s,, So, S3, Si, . . . sont des fonctions permutables de deuxième espèce, elles seront les rapports de fondions entières en z, m, i', iv, ...et vérifieront les équations intégro-différentielles

w, wj, ..., 1',, F2, ..., —, . • -, Si, S2, ... 1 = o(>).

Nous sommes ainsi conduits au résultat général suivant :

A tout problème algébrique ou différentiel dont la solution amène à des fonctions qu'on peut exprimer par des rapports de fonctions entières correspond un problème intégral ou inté-

{') Si

est une série de puiseances des variables z^, z^, ..., z„ convergente dans un certain cercle, nous désignons en général par

?(F„F„ ....Vj

la série déduite de la précédente en y remplaçant 5,, z,, ..., ;:„ par des fonctions permutables de deuxième espèce F,, Fj, ..., F„ et en y regardant les produits et les puissances de F,, F^, ..., F„ comme des compositions de deuxième espèce. Cette nouvelle série est convergente dans un certain domaine fonctionnel.

Nous avons déjà employé une notation analogue pour les compositions de |)re- Duère espèce.

igG CHAPITRE XIII.

gro-différentiel dont la solution peut aussi s'obtenir comme rapport de fonctions entières des mêmes variables. On peut appeler ce problème le problème corrélatif du premier. De la solution du premier problème on passe aisément à celle du second.

On voit facilement quelle est la situation du problème de la résolution des équations intégrales linéaires dans la classe des problèmes envisagés par la proposition précédente : il est le problème corrélatif du problème de la résolution d'une équation algébrique du premier degré.

Soit, en effet, l'équation

on en lire

fonction évidemment méromorphe des coefficients. Le problème corrélatif est la résolution de l'équation intégrale linéaire

Si l'on songe au nombre des problèmes d'analyse qui admettent pour solutions des fonctions méromorphes, on comprendra à quel point la portée de la proposition précédente dépasse le problème des équations intégrales linéaires.

6. Si l'on se rappelle maintenant les résultats généraux du neuvième etdu dixième Chapitre, on voit qu'en plus du problème correspondant à la proposition précédente il existe un autre problème corrélatif intégral ou inlégro-différentiel à limites variables c/on^ la solution est toujours donnée par des fonctions entières. Poui^ cet autre cas il n'est même pas nécessaire que le problème algébrique ou diderentiel de départ ait une solution méromorphe.

(') La résolution de l'équation de P'redholni se ramène facilement à celle de l'équation précédente où l'on suppose v^, = i, (v = — i, v^ = À- et

Comparer Leçons sur les équations intégrales et intégro-dijférentielles, Chap. III, n'î.'