I.A HESOLIITION DES ÉQUATIONS INTEGRALES

Il est intéressant de montrer que cet autre problème corrélatif est obtenu lui aussi par le passage du fini à Tinfîni développé au

Considérons, en effet, des quantités

"^1,5, nr,s, Pr,s, • ■ .

avec r •< 5, en les supposant nulles si r^5, et définissons une permutabilité de première espèce de ces quantités par l'égalité

OU en posant

2 "^r,in/^s= [m, n]r,s,

r-hl

Les quantités nirs, nra.Prs, ••• étant ainsi permutables de première espèce, l'expression

[ma, nP,py, ...\r,s a un sens évident.

Si nous construisons alors les fonctions

9;.,,(5, II, i>, ...) = SaSpSy . . . aa,p,y,...[/w°'«P/'V . . .]rs,z^u^vy . . ., '!^r.s(z, «, P, . . .) = 2:ai:pSy . . . 6a,p,y,...f '«°'«M • • .|r,..-Z««Pt^ï • • ., /,.,,(5, «, P, . . .) = SaSs-v . . . Ca,p,y,...[»î«nPA'^' . . .]r,sZ^u?i>y ...,

ce sont des polvnomes et par conséquent des fonctions entières. La proposition résulte pour les deux premières fonctions de ce que, si

a -+- p -+- Y -+- . . . > .ç — r, on a

[m^n^py ...]r,s=o.

Pour la troisième, elle peut se démontrer en remarquant que les fonctions yV^ satisfont aux équations

Xr,s^^ '\'r,fX/,s=fr,s-

igS CHAPITRE XIII.

Or les solutions de ces équations s'expriment par des polynômes en 'j;.ç et ^rs puisque les dénominateurs sont égaux à l'unité.

Un passage à la limite tout à fait analogue au passage précédent nous amène de ce cas au cas des fonctions permutables de première espèce, c'est-à-dire telles que