I, EVOLITIO.X DES IDEES FONDAMENTALES DU CALCUL INFINITESIMAL

lions. Les Arabes ont trouvé plus facile et plus aisé de développer la théorie des coniques où il n'j avait pas de si grandes difficultés.

Ce n'est que pendant la Renaissance qu'on commence à se rendre compte de la vraie grandeur d'Archimède. Tartaglia (') reproduit quelques parties de l'œuvre du grand géomètre sans peut-être s'approprier encore ses méthodes infinitésimales. Maurolico (2) et Gommandino (^) montrent une connaissance plus profonde de ses méthodes, car ils ne se limitent pas à reproduire ses démonstrations, mais ils retrouvent aussi des résultats sur les centres de gravité qu'Archimède avait découvert et qu'on avait perdu.

Mais les vrais continuateurs et les premiers élèves d'Archimède, ceux qui ont hérité de son esprit, sont Galilée et Kepler. Pour étudier les problèmes de la dynamique avec succès, il a fallu employer les méthodes infinitésimales et en effet, la question la plus simple, celle de la chute des graves, a été résolue par Galilée en décom-

par

posant le temps de la chute en petits intervalles et en envisageant dans chaque intervalle le mouvement comme uniforme (*).

Le passage des méthodes infinitésimales de la Géométrie à la Mécanique marque une date mémorable et montre toute la portée de ces méthodes.

Kepler a poussé les quadratures au delà de celles faites par Archimède. G'est ainsi qu'il réussit à calculer des volumes de solides de révolution et à intégrer des fonctions trigonométriques ('>).

Cavalieri, par sa Géométrie des indivisibles ("), a systématisé le

(') Tartaglia, La ter za parte del gênerai trattato dei nuineri et misure, Liv. TII, Venetia, i56o. — Opéra Archirnedis Syracusani, Venetiis, i5:^3.

(^) Maurolico, Admirandi Archirnedis Syracusani nionumenta omnia niathematica, quœ extant, etc., p. 177, Panormi, i685 (cette œuvre a été écrite en i5j8 et n'a été publiée qu'après la mort de l'auteur).

(^) CoMMAXDiNo, Liber de centra gravitatis solidorum, Bononiae, i565 (feuille 4'^, r.).

( * ) Galilki, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, Leida, i638, p. 171 et suiv. {Edizione nazionale, vol. VIII, Firenze, 1898).

(') Kkpler, Nova stereometria dolioruni Vinariorum, Lincii, i6i5 {Opéra omnia, vol. IV. — De motibus stellœ Martis, Pragai, 1609 (Opéra omnia, vol. m, p. 390).

(*) Cavameri, Geometria fndivisibilibus continuorum, Bononiae, i6i5; Exercitationes geometricœ Sex, Bononiae, 1647.

procédé des infiniment petits et il a donné la clef pour faire les quadratures les plus simples.

Descartes, Fermât, Torricelli considèrent de nouveaux cas. Pascal et Fermât donnent de la rigueur et un nouveau développement à tout un vaste ensemble de recherches, en retournant à la méthode de l'exhaustion dont on s'était éloigné.

Bien qu'il soit moins rigoureux que son contemporain Pascal et ne réussisse pas dans le célèbre concours sur la roulette, Wallis ne cesse pas d'apporter des contributions nouvelles au calcul infinitésimal, soit en étudiant les intégrales, qu'on appelle maintenant les intégrale» eulériennes^ soit par l'étude des produits infinis et des séries ( ' ).

4. Nous voyons donc qu'après une période de 17 siècles où les idées fécondes du calcul infinitésimal sont restées cachées et comme endormies, elles se réveillent, surgissent tout à coup et prennent par un élan soudain le plus grand développement. En 2 siècles à peu près, elles ont dépassé énormément leurs limites primitives et, ce qui est plus important, elles sont sorties de la Géométrie et ont créé, par leur pénétration dans la Philosophie naturelle, la Science moderne.

On doit à Huvgens la continuation de l'œuvre de Galilée par l'étude infinitésimale des problèmes de la Dynamique. Les questions de la chaînette, de la tautochrone, et l'étude des lois fondamentales de la Mécanique représentent des progrès toujours croissants dans l'emploi des méthodes des infiniment petits.

En même temps, l'Analyse pure se développe par l'introduction des logarithmes, faite par Neper, par l'intégration par série qui donne à Mercator la série logarithmique et, en se plaçant au point de vue géométrique, Barrow découvre et exprime les procédés d'intégration par parties et par substitution.

C'est l'évolution de ce qu'on appelle le calcul intégral que nous avons suivie jusqu'ici. Le calcul différentiel part du problème des tangentes. Les anciens avaient étudié les tangentes aux spirales et aux coniques, mais c'est Descartes qui a conçu

(^) Wallis, Arithmetica infinitorum, Oxonii, i655.

l'kvolution des idées fondamentales du calcul infinitésimal. 7 la tangente comme la limite d'une sécante ('). Torricelli etKoberval ont obtenu les tangentes par la composition des mouvements et Fermât envisageait déjà ce qu'on appelle le rapport i ncrémental (-).

A l'époque de Harrow, on avait une méthode générale et tout était mûr pour que les opérations de diflerentiation et d'intégration, considérées comme les opérations inverses l'une de l'autre, devinssent les bases fondamentales d'une nouvelle science qui permît de résoudre systématiquement les problèmes de Géométrie et de Mécanique.

C'est ainsi que le calcul différentiel et intégral a été créé. Newton le constitue en système et commence à intégrer des équations différentielles pour approfondir les problèmes qui se présentent dans l'application de sa loi à la Mécanique céleste (•').

Leibniz donne au nouveau calcul les notations qu'on emploie encore (').

Comme nous l'avons vu, c'est le continu considéré en soimême ou regardé comme une limite qui forme la conception fondamentale de tout l'ensemble de ces recherches. D'autre part, l'intégration n'est que le transport de la conception de somme du domaine fini au domaine infini et la dérivation n'est que son opération inverse. Elles sont les bases du calcul infinitésimal.

o. Arrivés à ce point on peut se demander : Est-ce que ces opérations sont les seules où ce passage est applicable ? Il est facile de concevoir que le passage du fini à l'infini peut s'appliquer, non seulement à la somme, mais à bien d'autres opérations. Et l'on peut y arriver, soit moyennant le procédé qu'on appelle des séries^ soit par le [)rocédé que nous pouvons comparer à celui du calcul intégral où l'on envisage, d'une manière

(') Descartes, La Géométrie, 1687, trad. latine de Schooten, Amslelaedami, 1659, p. 43.

(') Fermât, Methodus ad disquirendam maximam et minimam {Œuvres de Fermât, t. I, p. i33, et t. III, p. 121. Paris, 1891-96).

(') IsAACi Newton, Epistola prior, i3 Junii 1676. Epistola posterior, 24 octob. 1676 (Opuscula, Lausannse et Genevœ, 1744» '• !)•

(*) Leibniz, iXova methodus, etc. Acta eruditorum, Lipsise, 1684.

8 CHAPITRK I.

analogue à ce que faisait Galilée pour étudier la chute des graves, la variation totale d'une quantité comme l'ensemble des variations infioiment petites qui se suivent, obtenues en divisant cette variation totale en intervalles partiels.

C'est ainsi que pour calculer l'intégrale d'une équation difierentielle ordinaire dans un certain domaine, on peut faire d'abord des opération s- algébriques dans des intervalles partiels. En faisant après diminuer infiniment tous ces intervalles et croître indéfiniment leur nombre, on trouve à la limite l'intégrale. C'est la méthode de Cauchy qu'on emploie ordinairement pour démontrer l'existence des intégrales à côté des méthodes des séries ou de la méthode de Picard des approximations successives (* ).

Le principe de la méthode de Cauchy peut s'appliquer d'une infinité de manières pour ramener un problème complexe à des problèmes plus simples déjà résolus.

Pour en donner un exemple, examinons le problème des trois corps et, pour simplifier, supposons que la masse du troisième corps C soit négligeable par rapport à celles des deux corps A et B, de sorte que leur mouvement suive la loi de Kepler. 11 n'y aura que le mouvement du troisième corps C qui sera inconnu. Mais dans un petit intervalle de temps on peut négliger les déplacements des deux corps A et B et, par suite, on peut envisager le mouvement de C comme celui d'un corps attiré par deux points fixes. Ce mouvement est connu. Legendre en a donné une solution très détaillée. En décomposant un intervalle donné de temps en intervalles partiels, on pourra décomposer le mouvement de C, d'abord approximativement, en mouvements successifs connus. A la limite, en faisant diminuer indéfiniment ces intervalles, on aura le mouvement de C dans tout l'intervalle donné.

Mais on pourra aussi supposer approximativement que dans

(') Cauchy, Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, Paris, t. I, i84o, p. 327. •

LiPscHiTZ, Disamina délia possibilità di integraré completamente un dato sistema di equazioni differenziali ordinarie ( Annali di Matematica, 2" série, t. II, 1868-1869, p. 288). — VoLTERRA, Sui principii del calcolo intégrale {Giornale di Matematiche, vol. XIX, 1881).