Ainsi nous pouvons dire en général
T'ont problème de l'analyse qui a pour solution des fondions méromorphes conduit à deux problèmes qui lui sont corrélatifs : un problème intégral ou inté gro-différentiel à limites variables ayant pour solution des fonctions entières^ un problème à limites fixes ayant pour solutions des fonctions méromorphes.
Il faut remarquer que le problème à limites fixes contient comme cas particulier (si l'on fait S, = 82= . . . = i) le problème de départ. Ce n'est pas le cas pour le premier problème corrélatif.
On peut ajouter que : Si les solutions du problème initial admettent des théorèmes d'addition^ ces théorèmes se conservent en devenant des théorèmes d'addition à limites variables ou à limites fixes.
Si l'on part, par exemple, de l'équation difTérentielle (')
d^ dz
vérifiée par la série entière
admettant le théorème d'addition
cp(5 -t- a) = 9(z) H- (p(«) -4- cp(2)cp(ii),
on est conduit aux équations intégro-différentielles (premier problème corrélatif)
dy {z I x.y')
Tz
(') Cf. Chapitre X, n" 5.
LA RESOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGBALES. IQQ
el (deuxième problème corrélatif) qui admettent les solutions
avec les théorèmes d'addition
\(z^u\x,y)= \{z\x,y)-^ \(u\x,y) -^ f"" \(z\x,^) \{u\ly)dl
W(z-t-u\x,y) = \\(z\x,y)-h\Y(u\x,y)-^ f \\(z\x,^)W(u\ly)d^^.
De même, les équations différentielles des fonctions elliptiques conduisent aux équations intégro-différentielles
\ dz J^.
ajant des solutions entières en z (cf. Chap. X, n" i) et aux équations intégro-différentielles
dMl[f:Z}= f\.(z\x,^)^,(z\lj)d^,
dz Jo
(«) l^Mliflll=- f''b,(z\.r,i)^,(z\lj)dl
lililllll = - A'^y' '.^..(z |.r, 0 l'îU' I $,/) c^f,
ayant des solutions méromorphes en z. Les unes et les antres admettent des théorèmes d'addition qu'on déduit immédiatement des théorèmes d'addition des fonctions elliptiques.
•iOO CHAPITBE XIII.
8. Dans tous les cas précédents où partant d'une fonction méromorphe d^une seule tmriable
on en déduit la fonction, également méromorphe
(lo) f{z\x,j) = CiS z -h CîS^ z^ -^ CiS^ z^ -^ . . . ,
il est bien aisé d'obtenir les pôles de cette nouvelle fonction. D'après un théorème de M. Hadamard, si nous nommons
bu ^2, ••• les pôles de f{z)^ et
les pôles de
(il) S-i-S2z + 8*3 5'- + ...,
les pôles de f{z\x^y) ne peuvent être que des points arhg. D'autre part, si nous considérons l'équation intégrale
(12) S(.r,j) = F(-|.^,J)--/' F(z|.r,OS(^j)c?$,
on en tire
les pôles de (i i) ne peuvent être que des zéros du déterminant de l'équation (i i).
On ^exxl àWWexxrs construire effectivejuent un développement de Mittag-Lejffler de la fonction ( i o) .
Prenons, en effet, /(s) sous la forme (')
/(.) = .„„,(i__i-.il...|;)^,..(.),
Po (s) étant une fonction holomorphe dans tout le plan, et prenons la solution de l'équation (12) sous la forme
}\iz\x,y) \y{z) '
D(5) étant le déterminant de cette équation.
(') On a supposé, pour simplifier, que les pAles de/(c) soient simples.
