LA HÉSOLITION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES
Choisissons enfin les nombres /*/ de façon qu^e les deux séries
bi — z
et
X,.m,( ::^ i^^i^ 1 - f S - 4 S*^-. • •- — sX
l / 2 \ bi bf i,';i
soient simultanément convergentes dans le domaine de tout point s qui n'est pas de forme Or bg.
La fonction
rA »»
S-^S-^-...-Ç-S/'.- -+-Po(Sz)
leprésente précisément f{z\x^ y) ('),
9. Voici une autre application des considérations précédentes qui, tandis que la généralisation des fondions elliptiques envisagée au n" 7 introduisait des fonctions méromorphes d'une variable, conduit à des fonctions méromorphes d'un paramètre.
Nous avons exposé, dans le Chapitre V, la théorie de l'équation à limites variables
et indiqué (Chap. X) les simplifications qu'on rencontre lorsque y, cp, <|t sont permutables de première espèce. Nous allons étudier
(') Cf. VoLTKRHA, Questioni gcnerali sulle equazioni integrali ed integrodifferenziali {Rend, dei Lincei, 1910, i" som., p. 169, §8). Consulter aussi Lebesgue, Sur un théorème de M. VoUerra {Bull. Soc.math.de France, 1912).
au même point de vue l'équiition à limites constantes (')
On vérifie aisément que l'équation adjointe est
et que le principe de réciprocité s'écrit (-)
(B) o=K^|[m, Hl
Il reste à trouver la solution fondamentale de l'équation adjointe. Si l'on remplace // (^, t) par 5/j(/, t), (A) et (A') deviennent
dxf /'
^'X ^'- ^^1 '—Mt,.)d. = o,
p ^ d'-v(xux,, x,,\t)
r^^ d^ i^(xi,x<i, ...,xp\z)
( ' ) Cf. VoLTERRA, Equazioni integro-dijferenziali con timiti cosianti {Lincei Rend., i" sem. 191 1).
(-) a est la frontière d'un domaine Sa/? dimensions où les fonctions u, v sont régulières, n est la normale extérieure à a.
LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES. 2o3
et, par des calculs analogues à ceux par lesquels on vérifie que l'expression (5) du Chapitre V est la solution fondamentale de l'équation (i') du même Chapitre ('), on peut démontrer que la solution fondamentale de l'équation (A',) (dans l'hypothèse ^>2) a la forme
(l/i) •\J{Xi,X^,...,Xp\t)
z=Y{t)ri-i>-^ f y —-
4 —p){6—p) . . . [lim-^ij — pl
ù F(;) est une fonction arbitraire, et
/l(^-j=Fl,0 or^-), /2(^T) = Fo.,,...,o(^t).
La somme \^ est étendue à toutes les valeurs entières
de ^,, q2i •••? <7;> dont la somme est constante et égale à p, en considérant comme nulle une fonction F dont quelques indices sont négatifs.
La série (i4) sera convergente tant que | z \ sera inférieur à une limite fixe.
10. Ceci posé, supposons que/,, /j, ...,/, soient des fonctions permutables de deuxième espèce. Nous aurons
(') Cf. VoLTKRRA, Acta niathematica, t. XXXV, loc. cit., art. i.
U04 CHAPITRE XIM.
/ia, ... , hp^ el la solulion fondamentale (i4) pourra s'écrire
(i4') y{x^,Xi, ...,Xf,\t)
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A, + /ij +. ..-^-Ii„ ■= m
