Considérons alors l'équation aux dérivées partielles
Si I s I est inférieur à une certaine limite, sa solution fondamentale se met sous la forme
W = Gr2-/'-4-
h^+hi-h...+ /ip-m • '^
G étant une constante arbitraire.
Mais la même solution peut aussi s'écrire
et dans le cas où l'on suppose p = a ^, q étant un entier siipé- W
rieur a i ,
ou enfin
^__C [(f ^ zm^)(^-^ zm.) . ..(i^zm,r;)]f^
]'+^. ^' ^/'^"[(i-+-gm,)...(i+^m/-i)(i+^^/+i)--('+-S"?27)-i][
Ainsi dans le cas particulier (et dans ce cas seulement) où les
LA BESOLUTION DES EQUATIONS INTEGRALES. iOl
variables de dérivalion sont en nombre pair, la solution fondamentale de l'équation (i5) est une fonction méromorplie et même rationnelle de -.
12. D'après le résultat fondamental du n" o, dans ce même cas (p^z2q) la solution fondamentale (i4) de l'équation (A',) sera une fonction méromorphe de z qu'on obtient, il est facile de s'en assurer, par le procédé suivant :
^oit/i'2 2</(^ ') isi somme algébrique des fonctions /, (/, t), f-iit,-:), ..., /2<,U, ')' Soit de même /i*^ ...,2,/(<, t) la somme algébrique des fonctions obtenues en composant deux à deux les mêmes fonctions, /'jf 2,..., 2^ la somme algébrique des fonctions obtenues en les composant trois à trois et ainsi de suite.
Formons
et
Si nous calculons ensuite - /iS\...,i-i,i + i 2</(^^:)
la fonction fondamentale cherchée est la solution de l'équation intégrale
ao6 CHAP. XIH. — LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.
La fonction Y (t) ainsi obtenue est bien évidemment fonction de Xf , ^27 • ' • 1 ^2^1 ^ et 5 et fonction méromorphe de z : on l'obtient comme quotieot de deux fonctions entières en z.
13. La solution fondamentale étant ainsi déterminée il est aisé d'appliquer aux équations (A) ou (A,) l'analjse de Green. De l'équation (A') on déduit
en supposant le pôle «i, «a, ..., a-^q de la solution fondamentale intérieur au domaine o-. Cette formule est valable si l'on prend pourV(^)la solution méromorphe de l'équation (i6) pour toute valeur de z qui n'annule pas le déterminant de cette équation.
En prenant alors p =r V dans la formule (B), excluant le pôle a, , «2j •••5 o.2q pai' "116 petite sphère qu'on fait tendre vers zéro, on obtient à la limite
OÙ u (t) désigne la valeur de u (x,, Xo, . • . , .272^ 1 1) au pôle. F (^) étant une fonction arbitraire, cette formule détermine immédiatement Wq (t) (' ).
(>) On peut employer, dans les cas où p est impair, une combinaison de Ja méthode que nous venons de donner avec celle que nous avons exposée dans le Chapiti-e précédent, n° 4. Cf. Volterra, Sopia equazioni integro-diffevenziali aventi i limiti costanti {Lincei Rend., i" semestre iQiS).
