L APPLICATION DU CALCUL AUX PHÉNOMÈNES D HÉRÉDITÉ

exercent des actions réciproques selon des lois connues, ou que certains échanges aient Heu entre ces éléments.

De même, si le pliénomène n'est pas statique, mais est variable avec le temps, il faut considérer ce qui se passe non seulement entre des éléments contigus de l'espace, mais encore entre des éléments contigus du temps.

C'est ainsi qu'on peut trouver les équations différentielles de la Physique mathématique. Elles sont aux dérivées partielles parce que les éléments qui individualisent les points de l'espace et le temps en constituent les variables indépendantes qui sont, par suite, au nombre de trois ou quatre.

Cette dernière méthode a été préférée et est employée par un grand nombre d'auteurs modernes.

Nous en avons donné dans ces Leçons un exemple lorsque nous avons rappelé de quelle manière on peut établirles équations générales de l'élasticité ('). Souvenons-nous que tout milieu peut être décomposé en éléments infiniment petits et que la déformation de chaque élément dépend de six quantités, tandis que les lois de Cauchy sur la transmission des tensions entre éléments contigus montrent que l'état de tension dans chaque point dépend aussi de six quantités. 11 suffira donc de relier ces douze quantités, déformations et tensions, par la loi de Hooke pour établir les équations de l'équilibre élastique. On passe aux équations du mouvement du milieu par le principe de d'Alembert.

On procède d'une manière analogue dans l'électrodynamique classique. Les lois de Maxwell amènent aux équations du champ électromagnétique (-). Elles relient d'un côté les variations de la polarisation électrique dans le temps, aux variations de la force magnétique dans l'espace et aux courants électriques. D'un autre côté elles rattachent les variations de la polarisation magnétique dans le temps à celles des forces électriques dans l'espace. Il n'y a maintenant qu'à fixer les relations qui existent entre la polarisation électrique et la force électrique; la polarisation magnétique et la force magnétique. Si l'on établit que, à chaque instant, ces relations sont linéaires, on obtient des équations diffé-

(') Chapitre VI, n" 1 à 4.

(') Ctiapilre VII, n° 7.

rentielles analogues à celles des vibrations des corps élastiques. Dans le cas de l'élasticité comme dans celui de l'électrodvnamique, si l'on connaît à un instant donné l'état du syslème, tout l'état futur est complètement déterminé.

Il n'est pas nécessaire de multiplier les exemples. Dans la théorie de la chaleur, la question est posée de la même manière.

On peut examiner aussi des problèmes où il faut tenir compte en même temps des lois de l'élasticité, de celles de la propagation de la chaleur et de la thermodynamique.

C'est ce qui arrive dans les applications à bien des problèmes naturels. Bjerknes a remarqué (^), par exemple, que le problème général des mouvements de l'atmosphère est complètement déterminé de sorte que, au point de vue théorique, la question de la prévision du temps peut se poser d'une manière positive. Si l'on connaissait l'état de toute l'atmosphère à un instant donné et les actions extérieures, on pourrait déterminer l'état futur. Le problème météorologique se présente ainsi comme le problème astronomique.

Nous avons ainsi envisagé une classe étendue de phénomènes. Ce sont tous ceux qui rentrent dans la Mécanique et la Physique mathématique classique. Un seul instrument analytique est nécessaire pour les traiter, les équations différentielles, soit ordinaires, soit aux dérivées partielles, et ils obéissent tous au principe que l'état présent détermine les états à venir.

Nous laisserons de côté les questions de détail qui sont relatives à reconnaître la partie de l'espace où le futur est déterminé si l'état présent est connu dans une certaine région. C'est une question qu'on peut résoudre par la théorie des caractéristiques et de leurs enveloppes (-).

Le point sur lequel nous devons insister est que le principe que" nous venons d'énoncer est une conséquence de la conception d'après

(') V. Bjerknes and J.-W. Sandstrùm, Dynamic Meteorology and Hydvography, première Partie. — V. Bjerknes, Th. HESSELBERa and O. \}^yiK, Dynamic Meteorology and Hydrography^ deuxième Partie. — Publications of the Carnegie Institution of Washington.

(^) VoETERRA, Sur Ics vibrations des corps élastiques isotropes (Acta matliematica^i t. XVIII). — • Hadamard, Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'Hydrodynamique (Paris, igoS).

l'application du calcul aux phénomènes d'hkrbdité. ai'i

laquelle chaque action ne se manifesleque dans l'instant où elle agit, c'est-à-dire ne laisse pas un héritage dans le futur, ce qui revient à supposer que le sj-stème ne conserve pas la mémoire des actions qui l'ont sollicité dans le passé.

4. A ce moment, il faut se demander : est-ce ainsi que réellement les phénomènes naturels se produisent? Cette hérédité et cette mémoire n'existeol-elles pas efiectivemenlou lesnéglige-t-on pour simplifier l'élude des phénomènes? Toutes les hypothèses précédentes ne seraient-elles que des hypothèses approximatives? Il faut examiner les faits, rapprocher les résultais des observations et des expériences, et les assujettir à des discussions profondes.

Nous trouvons tout de suite une grande quantité de faits qui paraissent complètement en dehors des théories dont nous nous sommes occupés. Ces faits se sont manifestés d'abord dans des cas pratiques, en dehors même des conditions expérimentales des laboratoires. Ce n'est que plus tard qu'ils ont fait l'objet de recherches scientifiques et systématiques.

Tous les ingénieurs savent qu'un pont qu'on a construit depuis longtemps ne se déforme pas aujourd'hui sous l'action d'une charge de la même manière qu'il se déformait quelques jours après qu'il avait été bâti.

Si l'on assujettit un bout d'une barre élastique horizontale fixée à l'autre bout à des charges qui vont d'abord en croissant et que l'on diminue ensuite peu à peu, le corps ne prend pas, pendant cju'on décharge, les mêmes déformations qu'il avait pendant qu'on le chargeait : à un même poids flecteur ne correspond pas la même flexion ('). Donc la déformation actuelle ne dépend pas seulement de la charge actuelle, mais aussi de toutes les charges précédentes. Il semble donc qu'on puisse énoncer le principe que toute action qui s'est exercée a laissé un souvenir dans le corps qui garde ainsi la mémoire de toutes les charges qu'il a supportées.

En Magnétisme nous pourrons citer aussi les phénomènes d^hystérésis et de traînage : ils ont été soumis à bien des études, parce qu'ils ont un intérêt très grand dans l'électrotechnique.

Pour distinguer les phénomènes dans lesquels on néglige cette

( ' ) Cf. Cantone, Influenza dei processi di deformazione suite proprietà élasticité dei corpi {Nuovo Cimento, 1894-1895).

2l4 CHAPITRE XIV.

action héréditaire, on pourra les faire rentrer, en adoptant une expression de M. Picard, dans la Mécanique et dans la Physique non héréditaire, et réunir tous les autres dans la Mécanique et dans la Physique héréditaire (').

5. Mais avant de poursuivre, il est nécessaire d'examiner une objection fondamentale qui semble, au premier abord, détourner de ces recherches.

Dans un article publié dans le beau recueil de la Nouvelle collection scientifique sur les Méthodes dans les sciences^ M. Painlevé s'est occupé des méthodes de la Mécanique et a dit quelques mots de l'influence du passé sur l'avenir des systèmes matériels (2).

M. Painlevé remarque que l'état d'un corps matériel à un instant donné dépend évidemment des circonstances antérieures qu'il a traversées. Mais pour prévoir ses états ultérieurs, il suffit de connaître ses conditions initiales à l'instant considéré, sans savoir comment il a été amené à cet état.

« Toutefois, dans beaucoup d'applications, et notammentquand l'état moléculaire des corps du système intervient d'une façon appréciable dans les phénomènes, il peut être très difficile, il peut même être impossible encore à notre technique expérimentale, de déterminer directement avec une précision suffisante les conditions initiales d'un système.

» Considérons, par exemple, deux clous sortis identiques de la même fabrique, mais dont l'un a été martelé à plusieurs reprises, tandis que l'autre restait dans un tiroir. Le premier clou n'est pas dans le même état moléculaire que le second, il a subi des déformations permanentes ; une étude microscopique suffisamment précise nous le montrerait. Mais si nous ne possédons pas de microscope assez puissant, les deux clous nous sembleront identiques; nous serons incapables de discerner les différences de leur état moléculaire actuel. Qu'on nous dise alors que le premier cloua été martelé et comment il l'a été : nous serons avertis du genre de déformation qu'il a subi ; la connaissance du passé du clou supplée |)rovisoirement à l'absence du microscope.

» L'histoire d'un corps vient en aide à l'impuissance actuelle de

(>) Cf. Chapitre I, page 14.

(^) Première série, 2« édition, Paris, 1910, pages ii^-nô.

L APPLICATION DU CALCUL AUX PHKNOMKNES I) IIKREDITK. 21-)

notre technique, ou supprime les complications que cette technique entraînerait. C'est h\ un stade nécessaire de l'étude moléculaire des corps, mais ce n'est qu'un stade, et il faut se garder rfe tirer d'une méthode transitoire des conclusions aussi aventureuses qu'injustifiées, et notamment de l'opposer à la doctrine copernicienne. »

Il existe donc un courant d'idées selon lesquelles la Mécanique et la Physique héréditaire n'existeraient pas d'une manière absolue puisqu'on pose comme un postulat que les états futurs d'un système ([uelconque dépendent uniquement de l'état actuel du même système.

M. Painlevé et bien d'autres ont une répugnance à admettre qu'une action puisse avoir un effet héréditaire, c'est-à-dire un effet qui se manifeste après que l'action s'est exercée. Mais faut-il en tirer la conséquence qu'on doit abandonner tout concept héréditaire et toute l'analyse qui s'y rapporte ? Faut-il essayer d'étudier par d'autres voies les problèmes dont je viens de parler? Je crois que non, et je crois que ce serait méconnaître la pensée de M. Painlevé que d'en tirer cette conséquence. Au contraire, je pense qu'il est raisonnable d'admettre les procédés de l'hérédité comme les seuls possibles, au moins dans le moment actuel de la science, pour embrasser les phénomènes dont nous avons parlé. Il peut y avoir des divergences de principe, mais je crois que tous doivent être d'accord sur le terrain pratique et sur les méthodes qu'il faut suivre.

Il est utile de se rappeler à ce propos une idée de Newton, c'est-à-dire du philosophe et du mathématicien qui a été le premier à traiter d'une manière systématique et analytique les actions à distance. Il a avoué (') qu'il avait une répugnance extrême à admettre qu'un corps peut agir où il n'est pas. Ainsi Newton trouvait, au point de vue philosophique, une difficulté fonda-

(') Opéra quce exstant omnia. Comm. illustr. S. Horsiey, Londini, 1779-85, Vol. IV. — Lettres au docteur Bentley, pages k-îfyk^-i. (Newton à Bentley, Lelter III, Cambridge, Feb. 2j, 1693.) « That gravity should be innate, inhérent and essential to matter, so that one body may act upon another at a distance ihrough a vacuum, without the médiation of any thing else, by and through which their action and force may be conveyed from one to another, is lo me so Sreat an absurdity, that I believc no man who lias in philosophical mattcrs a compétent facully of tliinking, can cver fall into it. »

2l6 CHAPITRE XIV.

mentale à accueillir la conceplion des forces à distance qui est la base de ses travaux. Cependant il l'a introduite dans la philosophie naturelle et, après lui, personne n'a pu s'en passer. Les résultats qu'on en a déduits ont été toujours vérifiés par l'observation et par l'expérience.

Remplacez maintenant l'idée d'espace par celle de temps, et vous pourrez répétera peu près pour les forces qui s'exercent à distance dans le temps ce qu'on dit pour les forces qui s'exercent à distance dans l'espace. On peut éprouver pour les unes et pour les autres une égale répugnance, mais je crois que les unes et les autres sont également utiles.

Dans l'instant actuel, où les conceptions d'espace et de temps vont toujours plus s'enlrelaçant, la comparaison que je viens de faire me semble assez frappante. Elle montre la liaison que, à mon avis, on pourrait établir entre les actions héréditaires et les forces à distance, qui, au premier abord, semblent ne pas présenter de rapports. On pourrait même développer cette idée en prenant pour guide des concepts récents.

Je dois ajouter qu'on a cherché de tous temps à substituer aux forces à distance des actions entre éléments contigus à l'espace. Les recherches classiques de Maxwell (*) qui a cherché à expliquer les forces newtoniennes par des tensions et des pressions dans un milieu sont bien connues, mais on sait aussi à quelles difficultés on s'est heurté quand on a voulu aller jusqu'au bout dans l'explication. Je n'ai pas besoin de rappeler à ce propos les belles études de Beltrami (2) et de M. Brillouin ( '). Mais quoique la question ait été étudiée sous bien des rapports, personne ne s'est avisé jusqu'ici de traiter un problème de Mécanique céleste par les actions de Maxwell ou par d'autres d'une nature analogue.

De même je crois qu'à l'heure actuelle les phénomènes dont j'ai parlé plus haut ne pourraient s'envisager si l'on ne faisait usage de

(') Traité d'Electricité et de Magnétisme, traduit par G. Séligmann-Lui, t. I, Chap. V, Paris, i885.

(^) Beltrami, SuW interpretazione mecanica délie formule di Maxwell (Académie de Bologne : Mémoires, t. VII, 1886).

(') Brillouin, Essai sur les lois d'élasticité d'un milieu capable de transmettre des actions en raison inverse du carré de la distance {Annales de l'École Normale supérieure, 1887).

l'application Dt CALCUL AUX PHKXOMKNES d'hIÏRÉDITÉ. "217

l'analyse qu'il faut créer pour approfondir les «jetions héréditaires au point de vue mathématique.

El si l'on cherche à abandonner les méthodes héréditaires, bien •des difficultés se présentent. Prenons une particule M d'un corps. Toutes les actions qu'elle a subies en déterminent l'état actuel, de sorte que le futur dépend de tout le passé. C'est l'hypothèse héréditaire. Sera-t-il possible de remplacer la connaissance de toutes les actions auxquelles elle a été assujettie par la connaissance des valeurs d'un nombre fini de paramètres; un nombre fini d'éléments sera-t-il suffisant pour individualiser l'état présent de la particule? Ne sera-t-il pas nécessaire, pour connaître d'une manière complète son état actuel (comme on le connaît lorsqu'on se donne toutes les actions passées), de déterminer un nombre infini de paramètres?

Dans la théorie de la chaleur, par exemple, on peut remplacer la connaissance au contour de toutes les températures passées par celle de la température actuelle des diflerents points. Ce n'est qu'un passage d'un nombre infini d'éléments qui caractérisent un certain état à une autre infinité d'éléments qui définissent le même état(').

Si quoique chose d'analogue se présente pour chaque particule M du corps que nous avons envisagé tout à l'heure, on parviendrait, soit par la méthode héréditaire, soit en voulant l'éliminer, à des quantités qui dépendent d'un nombre infini de variables. Aura-t-on alors avantage à abandonner la méthode héréditaire?

(') Si l'on caractérise l'état du corps par les températures passées au contour, il faut connaître une fonction de trois variables: le temps et deux paramétres qui individualisent les points du conlour. Si l'on caractérise l'état du corps par les températures actuelles des différents points, il est évident qu'il faut aussi connaître une fonction de trois variables. L'interprétation caractéristique de l'état du corps €st changée, mais la nature de l'élément qui le caractérise est resté la même, c'est toujours une fonction de trois variables. Supposons que deux dimensions du corps soient négligeables par rapport à la troisième, le corps se réduisant à une ligne dont le premier bout est à une température constante, tandis que le deuxième bout à une température variable. Alors l'état actuel peut être défini, «oit par la fonction du temps qui exprime toutes les températures passées du deuxième bout, soit par toutes les températures actuelles des points de la ligne.

Des exemples de ce genre sont très communs dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Les intégrales peuvent être individualisées indifféremment par toutes les valeurs de certaines fonctions arbitraires, ou par toutes les valeurs d'autres fonctions arbitraires.

2l8 CHAPITRE XIV.

Sera-l-il possible de renoncer aux procédés analytiques propres à cette méthode ( ')?

Les considérations précédentes amènent à poser bien des questions. Elles sont loin d'être résolues, et nous serions entraînés trop loin à vouloir les approfondir.

Il est possible qu'on puisse un jour se passer des actions héréditaires comme il est possible qu'on puisse se passer des forces newtoniennes, mais on peut attendre avant de se prononcer, même si l'on est guidé par des intuitions tout à fait légitimes.

Qu'il me soit permis à ce propos de rappeler, comme simple souvenir, un fait historique célèbre. Galilée et bien des savants de son époque combattaient les actions à distance. C'étaient ce qu'on appelait alors d'une manière vague les influences occultes. Entre autres, on avait de la répugnance à admettre l'influence de la Lune sur les marées, qui pourtant, depuis l'époque de Pline et au moyen âge, était un fait souvent reconnu. C'est pour trancher la question contre ces forces occultes que Galilée est tombé dans une erreur bien connue sur la théorie de la marée, et ce n'est qu'avec Kepler et Newton que la question a été remise dans sa vraie voie.

6. Comment, maintenant, l'analyse pourra-t-elle s'appli(|uer à l'étude des phénomènes héréditaires?

Je renvoie pour cette question à ce (|ui a été dit dans les Chapitres précédents. Pour siniplilîer je n'envisagerai pas ici la question générale, mais un cas élémentaire très facile à aborder où des considérations géométriques élémentaires suffisent.

Considérons la torsion d'un fil. Soit w l'angle de torsion et soit M le moment de torsion. Dans la théorie ordinaire de l'élasticité on part de l'hypothèse que w est proportionnel à M et l'on écrit

(i) co = KM,

( ' ) Remarquons que des phénomènes qui ne sont pas de nature héréditaire, dont les lois s'expriment moyennant des équations différentielles, par exemple la propagation de la chaleur, peuvent amener à des questions qui se posent sous une forme héréditaire et qui se résolvent par les procédés de l'hérédité. C'est ainsi que la relation existant à chaque instant entre le niveau du mercure d'un thermomètre et la température variable du réservoir est donnée par une équation intégrale analogue à celle que nous allons ti'ouver entre la torsion et le moment de torsion dans le cas de l'hérédité.

l'application du calcul aux phénomènes d'hkrédité. 9.19

où K est un coefficient constant. On établit ainsi à chaque instant une relation entre la torsion et l'action extérieure. Si l'on écrivait en général

où F est le symbole d'une fonction, on pourrait déterminer F de manière à s'approcher davantage du phénomène.

En supposant par exemple la fonction développable en série de puissances, on trouverait

co = KM-f-KiM2M-K,M3-h....

Mais de cette manière on négligera toujours les phénomènes héréditaires parce que, quelle que soit la fonction F, elle établira toujours une dépendance entre la torsion actuelle w et l'action actuelle M. Les actions précédentes ne joueront aucun rôle.

Si Ton veut donc que to dépende de toute l'histoire précédente du moment de torsion M il faut corriger l'équation (1) en écrivant

w = KM -+- *,

où <ï> est une quantité qui dépend de toutes les valeurs prises par M depuis les temps les plus éloignés jusqu'à l'instant actuel t. Si nous pouvons négliger les actions qui ont précédé un certain instant to, <I> sera une quantité qui dépend de toutes les valeurs prises par M depuis l'instant to jusqu'à l'instant t. Supposons que le temps soit l'abscisse et M l'ordonnée; la fonction M sera représentée par une courbe du plan des (M, t) et 4> dépendra de la forme de cette courbe.

On peut maintenant, en première approximation, admettre que $ dépende de M par une relation linéaire : c'est faire une hypothèse analogue à celle qui fut faite plus haut quand on a admis que F était une fonction de premier degré de M. Au point de vue physique cela revient à supposer que les effets de la superposition des moments de torsion, dans les temps passés, se somment; nous avons dit alors (' ) que l'hérédité est linéaire- Dans ce cas imaginons qu'un moment de torsion égal à l'unité soit appliqué au fil dans l'intervalle de temps infiniment petit c/t compris entre deux instants t, -: H- <^t infiniment voisins. Il pro-

(') Cf. Ch;.pilic VII.

duira une torsion actuelle dans le fil. Mais, puisque l'action est aussi héréditaire, il restera un résidu de celte action au temps t.

Désignons ce.résidu par o{t, ':)d':.

Alors au temps t la torsion to(f) sera donnée par RM(;) plus la somme de tous les résidus

dus aux actions précédentes, c'est-à-dire à l'hérédité. La relation qui en résulte est donc l'équation intégrale

où la fonction ç(^, t) est le coefficient d'hérédité.

Dès qu'on a posé les principes précédents, bien des questions se présentent.

On peut d'abord se demander : le coefficient d'hérédité étant connu, peut-on déterminer les moments de torsion qui ont été appliqués lorsqu'on connaît les torsions successives?

Comment peut-on déterminer le coefficient d'hérédité s'il est inconnu?

La première question se ramène à la résolution d'une équation intégrale linéaire. Si l'on peut négliger l'hérédité antérieure à un certain instant, tout revient à résoudre par rapport à M(^) l'équa-

to(/) = KM(0+/ o{t,x)U{'z)d~:

c'est un problème qui a été traité en détail au Chapitre IV (').

Pour répondre à la seconde question, c'est-à-dire pour déterminer le coefficient d'hérédité, il faut faire appel à des données de l'expérience.

Nous rappellerons à ce propos un postulat et un principe général auxquels tous les phénomènes d^ hérédité sont assujettis (-). Le postulat est celui de la dissipation de l'action héréditaire d'après lequel toute action héréditaire s'évanouit indéfiniment avec le temps; le principe est celui du cycle fermé : si à toute action

( = ) C/. Cbapilre VII.