L APPLICATION DU CALCUL AUX PHENOMENES U HEREDITE. '22J
périodique correspond un effet périodique ayant la inémK période, les lois de l'hérédité ne changent pas aiec le temps el réciproquement. Transportons ces deux principes au cas de la torsion avec hérédité linéaire ; supposons que le moment de torsion! varie d'une manière périodique depuis un temps très reculé etl cherchons la condition pour que l'angle de torsion varie aussi^ périodiquement avec la même période. Le calcul montre que le coefficient d'hérédité ne doit dépendre que du temps qui s'est écoulé depuis que l'action s'est exercée, jusqu'à l'inslant où l'on mesure l'héritage qu'elle a laissé. Donc le coefficient d'hérédité ne doit dépendre que de la différence t — t et réciproquement.
Or, en nature, les faits se présentent de cette manière et la détermination du coefficient d'hérédité en est très simplifiée. On peut l'obtenir en connaissant les lois de variation de l'angle et du moment de torsion. Il suffit de résoudre une équation intégrale du même type que celle qu'on vient d'envisager. L'équation
w(0 = K.M(0+ f (p(^ — t)M(t)c?s'écrit en efl'et, en posant t — t = 3-,
w(0 = KM(0-+- f tf(3')M(f — 3')</3'.
Si nous supposons que
dM(t) d-iM(t) d'-m(t)
dt dt^ du
soient nulles pour t = o, tandis que "^^^^ est différente de zéro, il viendra
(2) o)!'')(0 = ï<^M(«)(0-4- f <?(3'}Mi«'(f — a')rf3',
doù l'on lire
a>'")(o) lVH"Ho/
En dérivant l'équation (2) on trouvera l'équation intégrale
Jo
pour déterminer o{t) en fonction de (o(^) et de M(^) (').
Le problème que nous avons envisagé jusqu'ici est un problème de statique. 11 n'est pas difficile de traiter le problème dynamique correspondant des oscillations du fîl : il suffit d'employer le principe de d'Alembert qui nous fait passer du cas statique au cas dynamique en remplaçant le moment de torsion par la difiérence entre ce moment et l'accélération de torsion multipliée par une constante.
L'équation qu'on trouve cesse alors d'être une équation intégrale. Elle devient une équation intégro-difïérentielle. Elle a la forme
co(^, = k[m(0-I^^]4-^('[m(.)-.u^]cp(^.)./.(^).
On obtient ainsi une nouvelle méthode pour déterminer le coefficient d'hérédité : il suffit d'envisager dans cette équation le coefficient d'hérédité comme inconnu et de supposer que la loi d'oscillation a été déterminée par l'observation directe. On trouve une équation intégrale, d'où l'on tire le coefficient cherché.
Nous avons donc deux procédés pour connaître le coefficient d'hérédité : la méthode statique, que nous avons considérée tout à l'heure, et cette méthode dynamique. Celle-ci est la plus intéressante au point de vue pratique.
Ce que nous avons dit pour la torsion d'un fil peut être répété pour la flexion et la vibration d'une barre, mais, au lieu d'une équation intégro-différentielle du second ordre, on trouve une équation du quatrième ordre ('). Ce dernier cas a été récemment soumis à des recherches expérimentales directes dont nous aurons à parler.
Si nous passons au cas général d'un corps élastique quelconque l'analyse devient plus compliquée, car le cas statique même sort de l'analyse des équations intégrales pour entrer dans celle des équations intégro-différenlielles. Cette étude a été le sujet de plusieurs Chapitres précédents et je n'y reviendrai pas.
(') Cf. VoLTERRA, Sur les équations intégro-dijféreiitielles et leurs applications {Acta mathematica, t. XXXV, p. 324).
(^) Cf. Leçons sur les équations intégrales et intégro-dijférentielles^ p. iSg.
(3) Nous avons écrit celte équation au Chapitre VI, n° 9 [équation (12)]. Au même endroit nous avons donné un exemple de détermination d'un coefficient d'hérédité par la méthode dynamique.
l'application du calcul aux phénomènes D'iIÉnKDITt:. T.ï'i
C'est ainsi, par excin|)le, que le |)rol)lème général de la sphère élastique a été résolu assez facilement dans le cas où l'hérédité entre enjeu, La solution est prête aux applications qu'on ne peut pas manquer de faire aux problèmes de la rotation de la Terre (').
Je tiens seulement à remarquer que le principe du cycle fermé joue dans toutes ces considérations un rôle très important. En elFet, grâce à ce |)rincipe, on peut démontrer que les coefficients d'hérédité forment un groupe de fonctions permutables. On peut alors employer la théorie de la permutabilité pour résoudre tous les problèmes correspondants ; cette théorie simplifie notablement les solutions et permet de les exprimer par des séries très rapidement convergentes qu'on peut employer facilement dans la pratique.
Pour étudier l'électromagnétisme héréditaire il n'y a qu'à développer une analyse tout à fait analogue. On trouve ainsi des équations intégro-différentielles du même type que les précédentes. On peut les traiter par les mêmes procédés (-).
7. Je ne puis terminer sans dire quelques mots des applications expérimentales de la théorie que je viens d'exposer.
Un physicien américain très distingué, M. Webster, en a fait des applications aux théories acoustiques. Je désire même insister sur la partie la plus pratique de l'ensemble de ses recherches. Il s'est jiroposé, par exemple, de résoudre cette question très intéressante : (Quelle est la meilleure matière pour la construction des diapasons ? La littérature scientifique, de Tavis de M. Webster, ne donne pas encore une réponse satisfaisante à cette question. Une grande partie de l'énergie de vibration des diapasons n'est pas employée pour l'émission du son, elle est dissipée dans la substance même du corps vibrant. Cette énergie dissipée est plus grande qu'on ne le pense ordinairement.
MM. Webster et Porter ont cherché d'abord à donner les lois de cette dissipation.
Plusieurs théories se présentaient : celle de la viscosité, qui a été exposée par M, Voigt dans son traité sur la physique des cristaux, et la théorie héréditaire.
(') Cf. Cliapitre IX, n» 17.
( = ) Cf. Cliapilre VII, n° 11.
La méthode expérimentale que les deux physiciens ont adoptée consistait à étudier l'amortissement des vibrations transversales d'une barre exécutant des vibrations normales. Chaque vibration normale a un décrément différent qu'on mesure par des procédés photographiques. Les vibrations sont provoquées par des électroaimants.
La barre est soutenue dans le vide par des supports non dissipatifs qui sont placés, avec toute l'exaclitude possible, aux nœudsdu corps vibrant.
On a fait usage d'une barre d'acier, d'une barre de bronze et d'un plateau de verre. Chacun de ces corps vibrait de trois manières différentes avec deux, trois et quatre nœuds. L'amortissement croît avec le nombre des vibrations, mais il ne croît pas proportionnellement. Jl semble s'approcher d'une limite.
Si l'on applique la théorie de la viscosité on trouve que les décréments doivent être proportionnels au carré de la fréquence. Cette relation n'est nullement vérifiée par les expériences de MM. Webster et Porter; c'est pourquoi ils ont dû abandonner la théorie delà viscosité et ils ont employé celle de l'hérédité.
Comme nous l'avons dit précédemment, la théorie des vibrations transversales d'une barre élastique amène, si l'on tient compte de l'hérédité, à une équation inlégro-différenlielle du quatrième ordre. C'est cette équation que MM. Webster et Porter ont employée et les résultats expérimentaux (ju'ils ont trouvés jusqu'ici correspondent à la théorie.
Ils ont déterminé ce qu'on peut appeler la mémoire des substances avec lesquelles ils ont expérimenté. Il paraît que l'acier a une mémoire très faible.
8. Je crois avoir assez démontré que les théories héréditaires, au moins celles dont j'ai parlé, peuvent être étudiées par les méthodes des équations intégro-dllférenlielles. On peut ainsi développer l'étude théorique de l'hérédité sans faire aucune hypothèse particulière sur les fonctions qui la caractérisent, c'est-à-dire les coefficients d'hérédité.
Dans les questions de Physique mathématique et de Mécanique il est utile de laisser, autant qu'il est possible, indéterminées les constantes et de ne les fixer numériquement qu'au dernier moment.
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lorsqu'on applique les formules à des questions concrètes. C'est à cause de cela que l'importance de l'application de l'algèbre aux questions naturelles a toujours grandi. Il y a la même utilité et le même avantage à pouvoir laisser indéterminées les lois spéciales par lesquelles l'hérédité se manifeste, en résolvant les questions correspondantes avec la plus grande généralité possible. On détermine ensuite les coefficients d'hérédité par la comparaison des formules générales avec les résultats de l'observation et on les fixe ainsi dans les cas particuliers qui se présentent.
Les considérations précédentes auront peut-être montré le caractère essentiel et l'utilité des méthodes qui se rattachent à la conception des fonctions qui dépendent d'autres fonctions: de ces méthodes découlent les procédés employés pour résoudre les équations intégrales et intégro-difFérentielles. Faute de ces derniers procédés, des développements analytiques pour l'hérédité ne seraient pas possibles, et il faudrait s'arrêter aux premiers pas dans toutes les applications.
