LÉVOMÎTIOX DES IDÉES FONDAMENTALES DU CALCUL INFINITÉSIMAL

chaque intervalle partiel de temps la force qui agit sur G est constante et que son mouvement est, par. conséquent, parabolique. Le mouvement de G sera alors considéré comme une suite infinie de mouvements paraboliques successifs et infiniment petits. Enfin, on pourra aussi regarder le mouvement de G comme uniforme dans chaque intervalle partiel de temps, en calculant de proche en proche la variation de sa vitesse. Le mouvement de G sera alors obtenu comme une succession d'un nombre infini de mouvements rectilignes uniformes.

6. Revenons au passage du fini à l'infini dans son application la plus générale aux opéiations. Nous avons déjà dit un mot des produits infinis, en touchant à l'oeuvre de Wallis. Le produit infini est obtenu par le transport de l'idée de série du cas de la somme à celui du produit. De même, on peut transporter l'idée d'intégration, dont nous avons parlé, du domaine de la somme à celui du produit. On obtient ainsi l'intégration logarithmique.

Mais nous pouvons porter notre attention sur des types plus généraux d'opérations qui comprennent la somme et la multiplication. Gonsidérons la déformation d'une figure, par exemple d'une figure plane. La déformation la plus simple qu'on puisse imaginer est une dilatation, qu'on peut envisager comme une multiplication des dimensions de la figure, ou une contraction. La résultante de plusieurs déformations de ce genre s'obtient par une multiplication des paramètres qui définissent chaque déformation.

Gonsidérons maintenant la transformation linéaire la plus générale. Au point de vue analytique, elle est définie par une substitution linéaire appliquée aux coordonnées. Exécuter successivement plusieurs substitutions linéaires, c est-à-dire plusieurs transformations linéaires de la figure, revient à effectuer ce qu'on aj)pelle la multiplication des substitutions.

Gomme nous venons de le voir, la multiplication ordinaire n'en est qu'un cas particulier. On peut montrer que la somme ordinaire rentre aussi comme cas particulier dans la multiplication des substitutions. Multiplions maintenant une suite infinie de substitutions linéaires, dont chacune correspond à une transformation géométrique infiniment petite. Ge passage du fini à l'infini

10 CHAPITRE l.

est tout à fait analogue à celui qu'on fait lorsqu'on passe de la somme d'un nombre fini de larmes à' une intégration, et il est évident que l'opération ordinaire d'intégration n'est qu'un cas particulier de celle que nous venons de définir.

Or, cette suite infinie de transformations infiniment petites correspond à une transformation finie et l'opération ainsi définie, peut s'appeler Vintégrqtion des substitutions linéaires. L'opération inverse sera une dérivation des substitutions et l'on aura un calcul intégral et différentiel des substitutions tout à fait parallèle au calcul intégral et différentiel ordinaire.

Ce calcul correspond à ce qu'on appelle en analjse V intégration des équations différentielles linéaires. Toute cette théorie peut donc s'exposer à ce nouveau point de vue et bien des résultats se coordonnent ainsi dans la partie plus élémentaire comme dans la partie plus élevée. Par celte voie, les ibéorèmes des résidus de Gauchj amènent tout naturellement aux théorèmes de Fuchs, et c'esl-ainsi que la théorie algébrique des diviseurs élémentaires, et la théorie géométrique de l'homographie se rattachent à la théorie des équations difïérentielles linéaires par un lien analytique qui conduit à de nouvelles propositions (').

7. Mais les considérations relatives au passage du fini à l'infini, du discontinu au continu, acquièrent un essor nouveau et une nouvelle extension, dès que nous les transportons dans le domaine de la théorie des fonctions, tout en gardant leurs caractères et tout en partant de la même conception primitive et fondamentale.

Avant d'aborder ce point, qui est le plus délicat que je dois traiter, je vais dire quelques mots sur l'idée générale de fonction.

Les concepts de fonctions et de lois physiques sont nés en même temps. D'un autre côté, l'idée d'une dépendance analy-

(') Cf. Ciiapitre II, n°" 9 à 11. Celte théorie est développée dans les Mémoires suivants :

VoLTERHA, Suite equazioiù differenziali lineari {Rend. R. Ace. dei Lincei, i5 mai i88-). Sulla teoria dette equazioni differenziali lineari {Rend, del Circolo M. di Palermo, t. II, i888). Sui fondamenti delta teoria dette equazioni differenziali lineari [Memorie delta Società Italiana délie Scienze (detta dei XL) : i" Partie, 3' série, vol. VI, 1887; 2° Partie, 3^ série, vol. XII, 1899]. Cf. L. ScHLESiNGER, Vorlasungen iiber lineare Diffeventialgleicliungen. Leipzig, 1908.