L EVOLUTION DES IDEES FONDAMENTALES DU CALCUL INFINITESIMAL. II

llque entre des quantités variables est sortie tout naturellement du développement de l'Algèbre. Cependant, cette idée ne se serait pas formée complètement si elle n'avait eu le soutien d'une représentation qui parlât aux jeux d'une manière concrète et intuitive. Cette représentation est le fruit de la création de la Géométrie analytique. Lorsque l'étude d'une courbe a été ramenée par Descartes à celle de la variation simultanée de ses coordonnées, la théorie des fonctions a été constituée et son étude est devenue une nécessité pour le développement de la Science.

Or, comme il arrive bien souvent, les conceptions fondamentales existaient déjà d'une manière cachée. Bien des cas particuliers étaient déjà étudiés pres(|ue complètement, avant que le mot de fonction ne fût encore prononcé par Leibniz (' ) et avant même qu'on pensât à considérer, d'une manière systématique et générale, la dépendance entre les quantités qui varient simultanément et à créer un corps de science de cet ensemble de notions qui poussaient de tous côtés. Le moment oiî elles se réunirent et où, par leur coordination naquit une nouvelle branche des Mathématiques, est une date mémorable de l'histoire des Sciences.

J'ai parlé des différents éléments qui ont concouru à créer la théorie des fonctions. Ils ne se sont jamais complètement fondus et, même dans les Traités modernes, on peut très bien reconnaître les soudures entre ces éléments de nature hétérogène. C'est ainsi que la théorie des fonctions analytiques, celle des fonctions dans le sens de Dirichlet et le côté géométrique de la théorie des fonctions se développent, en général, par des méthodes différentes, quoiqu'on puisse établir des rapports continuels entre ces théories.

Le côté géométrique a prévalu d'abord. C'est pourquoi un mot spécial pour désigner la fonction n'élait pas même nécessaire. Le langage géométrique, la conception plus ou moins vague de courbe et la connaissance de ses propriétés suffisaient.

Lagrange se plaça à un point de vue tout à fait opposé.

(') Leibniz, Werke (Ed. Gerhardl), Math. Schrift., vol. V, p. 007.

CHAPITBE I.

Nous avons déjà parlé des méthodes des infiniment petits et de celles des limites dont le calcul infinitésimal est sorti. Lagrange chercha, par un effort hardi, à dégager le calcul différentiel et intégral de ces notions par la théorie des fonctions analytiques, en le reliant directement à l'Algèbre ('). C'est donc l'essai de Lagrange qu'il faut prendre comme point de départ de la conception des fonctions analytiques, si l'on ne veut pas reculer jusqu'à la découverte primitive de Taylor de la série des puissances.

Comme dans toutes les branches du Calcul difféientiel et intégral, ainsi dans la théorie des fonctions, les théories physiques et naturelles ont beaucoup contribué à élargir les concepts en fixant définitivement et d'une manière mathématique l'idée de loi physique et celle de cause et d'effet.

L'histoire de la représentation des fonctions arbitraires est très connue. On les a introduites dès qu'on a commencé à étudier les problèmes de la Physique mathématique où il fallait intégrer des équations aux déi-ivées partielles. D'Alembert, Euler Bernoulii et enfin Fourier ont établi les principes fondamentaux, mais le développement de la théorie se poursuit jusqu'à nos jours.

Il aurait été impossible pour les applications physiques de se borner aux fonctions d'une seule variable.

Newton a déjà vu l'intérêt qu'il y a à considérer des fonctions de plusieurs variables. Les forces et les éléments qui définissent les propriétés d'un champ physique dépendent de la position, le plus souvent de la position et du temps. Il est donc nécessaire d'envisager des fonctions de 3 et de 4 variables. En outre, regarde-t-on un phénomène comme une conséquence de plusieurs causes, les paramètres qui le définissent seront des fonctions des paramètres qui individualisent ces différentes causes. La Géométrie conduit aussi aux fonctions de plusieurs variables par la Géométrie analytique solide et l'étude des ensembles de courbes. Enfin, en Algèbre, lorsqu'on applique des opérations à plusieurs quantités, on a tout naturellement des fonctions de plusieurs variables. Leur théorie s'est développée

(') Lagrange, Théorie des fondions analytiques. Paris, 1797.

l'évolution des idées fondamentales du calcul infinitésimal. |3 parallèlemenl à celle des fondions d'une seule variable, soit au point de vue anal^/tique, soit sous les antres. rapports.

8. Mais à ce point une idée bien naturelle surgit, une idée qui n'est autre chose que le transport de la conception fondamentale du calcul intégral au domaine de la théorie des fonctions, c'est-à-dire un passage du discontinu au continu lout à fait semblable à celui par lequel on passe de la somme à l'intégrale, et par lequel on arrive aux opérations plus générales d'intégration dont nous avons parlé (' ).

Est-il possible de se borner dans la Philosophie naturelle aux fonctions d'un nombre fini de variables? 11 est évident que si l'on regarde un phénomène comme l'efTet d'un nombre fini de causes, on fait une abstraction, car on néglige des éléments qu'on considère comme très petits par rapport à d'autres éléments qui sont prépondérants. On ne fait ainsi (ju'un examen approximatif du phénomène, mais on entrevoit facilement qu'il v aura des cas, où, pour approfondir d'une manière convenable la question, il sera nécessaire de passer du nombre fini au nombre infini d'éléments variables.

Un exemple se présente au premier abord en envisageant un champ ph^-sique. Comme nous venons de le dire, en variant la position et le temps, on trouve des fonctions de 4 variables; mais si l'on varie le champ même, regardé comme un continu, les changements des phénomènes dépendront d'une infinité de variables.

En outre, dans les phénomènes où la mémoire du passé se conserve, le présent dépendra de toute l'histoire et puisque le temps est continu, le présent dépendra d'une infinité d'éléments ou de variables qui sont celles qui individualisent les faits passés (-).

Leibniz conçut-il cette sorte d'hérédité? On ne peut pas le dire,

(') J'ai introduit cette idée en 1887. Les premiers Mémoires sur ce sujet sont les suivants :

Sopra la funzioni che dipendono da allie f un zioni, 3 Notes {Hend. R. Accademia dei Lincei, 2* sem. 1887).

C) Voir Volterra, Sulle equazioni inlegro-dijferenziali délia teoria délia elasticilà {Rend. R. Ace. dei Lincei, 2' sem. 1909).

pourtant il expose dans sa monadologie quelques considérations qui peuvent s'y rattacher ('). Mais les expressions dont il fait usage sont tellement vagues qu'il est très difficile de saisir sa pensée. Elles se rapportent à l'espace ainsi qu'au temps. Son traducteur allemand ne réussit à reproduire son idée que par un mot : celui de Nachwirkung, dont les physiciens modernes ont fait un usage si large.

M. Picard a dit des paroles très profondes sur ce sujet en distinguant dans la Mécanique deux parties qu'il appelle : la mécanique héréditaire et la mécanique non héréditaire (-).

Nous consacrerons plusieurs Chapitres à celte étude (•*), mais dès à présent, pour éclaicir ce concept, il suffit de rappeler les phénomènes bien connus d'élasticité étudiés par Boltzmann (*), dans lesquels on vérifie une sorte d'hérédité, laissée sur la forme d'un corps par toutes les actions qui l'ont sollicité. Dans ce cas, il est évident que la déformation actuelle dépend d'une infinité d'éléments qui seront caractérisés par les forces, variables en général à chaque instant, qui ont agi sur le corps.

Ces considérations nous ramènent aussi à des questions très élémentaires de la Géométrie, dont les Grecs se sont occupés avec beaucoup d'intérêt. Un ancien problème, celui de Zenodore C), a été de trouver parmi les courbes planes de longueur donnée, celle qui renferme l'aire la plus grande.

Or, si l'on étudie le problème des isopérimèlres et si l'on regarde une aire plane comme dépendant de la courbe qui la renferme, on a une quantité qui dépend de la forme d'une courbe, ou ce qu'on appelle aujourd'hui une fonction d'une ligne. Puisqu'une ligne peut être représentée par une fonction ordinaire, l'aire peut être regardée comme une quantité qui dépend de toutes les valeurs d'une fonction. Elle est évidemment une fonction d'une infi.nilé de variables. En effet, on peut

(') Leibniz, La Monadologie (61). Œuvres pkilosopliiques de Leibniz, Paris, 1900, p. 716.

(-) La mécanique classique et ses approximations successives (Biv. di Scienza, vol. I, 1907).

(') Cf. Cliapitres VII, VIII, XIV.

(^) BoLTZMAXN, Zur thcorie des elastischen Nachwirkung {Wien. Berichte, 1874; Pogg. Ann.,Bd. 7, 1876. Voir aussi Wiss. Abh., I Bd., Leipzig 1909, p. 616).

(^) P. Tannery, La Géométrie grecque. Paris, 1887, p. 25.

l'évolution des inÉES FONDAMENTALES DU CALCUL INFINITÉSIMAL. l5

l'envisager comme un cas limite d'une fonction de plusieurs variables en supposant que leur nombre croisse indéfiniment, de la même manière qu'une courbe peut être regardée comme le cas limite d'un polygone dont le nombre des côtés augmente à l'infini.

Mais l'aire n'est qu'un cas particulier. De tous côtés on peut trouver d'autres exemples de fonctions de lignes. C'est ainsi que l'action exercée par un courant électrique filiforme flexible sur une aiguille aimantée, dépend de la forme qu'on peut donner au circuit et par suite est une fonction d'une ligne.

Pour réunir dans un concept général tous les din'érenls cas particuliers, il suffit d'imaginer une quantité qui dépende d'une manière arbitraire donnée de la forme d'une courbe. Elle sera une fonction générale de ligne qui correspondra à une quantité dépendant de toutes les valeurs d'une ou de plusieurs fonctions et pourra toujours être envisagée comme une fonction d'une infinité de variables (').

En outre, on voit facilement qu'à prendre la fonction d'une ligne comme type des fonctions qui dépendent d'une infinité de variables, on a de multiples avantages, car la locution même appelle à l'esprit une image conctète et offre une représentation intuitive très utile. Il est évident qu'on pourra facilement passer à des quantités qui dépendent de la forme des surfaces, et en général des hjpersurfaces en passant aux espaces à plusieurs dimensions.

Ce que nous venons de dire montre donc que, soit par des questions géométriques, soit par des problèmes de Physique, on est amené à faire tout naturellement dans la théorie des fonctions le passage du fini à l'infini que nous avons déjà vu s'accomplir peu à peu, mais d'une manière constante, pendant une longue période de siècles jusqu'à la constitution du calcul infinitésimal.

On peut se demander s'il n'y a pas une voie analvtique pure qui puisse nous conduire aussi aux mêmes nouvelles conceptions? La théorie des (onctions ordinaires renferme l'élude des propriétés de toute quantité obtenue par des opérations algé-

(') VoLTERRA, Sopra le fiinzioni dipendenti da Unee (liend. H. Accademia dei Lincei, 2' sem. 1887).

l6 CHAPITRE I.

briques. Gomme Lagrange l'a remarqué ('), l'Algèbre n'est qu'une branche de la théorie des fonctions, car les résultats des opérations algébriques sont les fonctions les plus élémentaires envisagées par l'analyse. De même on peut prendre un concept analytique pour point de départ d'une théorie des quantités qui dépendent d'une ligne variable, ou de toutes les valeurs d'une ou plusieurs fonctions de forme variable. La marche à suivre est déjà toute tracée : il suffira de remplacer les opérations de l'Algèbre faites sur un nombre fini de valeurs par des opérations analytiques sur un ensemble continu ou sur toutes les valeurs d'une fonction. Mais nous connaissons déjà des opérations de ce genre. Il suffit de penser à celles que nous avons considérées auparavant, par exemple à l'intégration des substitutions et, en général, des équations différentielles.

Par ces opérations élémentaires et par leur réitération ou leur accouplement, on arrivera évidemment 'à calculer des classes spéciales de fonctions duHiouveau type dont nous parlons. En généralisant la phrase de Lagrange, on dira que toutes ses opérations et leurs théories sont renfermées dans la théorie des fonctions généralisées (-).

Donc, les trois types de conceptions fondamentales : géométrique, analytique et le type abstrait et général de dépendance qui se rattache à l'idée de loi physique, se conservent.

9. Coordonner ces différentes considérations, systématiser tout l'ensemble de recherches qui se rattachent à cet ordre d'idées, étudier les nouveaux problèmes qui se présentent à côté des anciens qui sont plus ou moins directement reliés à ces études, voilà une tâche qui se présentait tout naturellement. Il est nécessaire de l'accomplir, car la conception qui lui a donné naissance s'impose par elle-même et il serait impossible d'aborder certaines questions sans entrer dans l'ordre des idées précédentes.

Le temps n'est pas encore venu de classer les différentes branches qui existent à présent et qui pousseront dans l'avenir

(') Lagrange Leçons sur le calcul des fonctions. Paris, 1806. Leçon première. {-) Cf. Chapitre IL