L EVOLUTION DES IDÉES FONDAMENTALES DU CALCLL INFINITÉSIMAL. I

dans cette catégorie d'études. Mais on peut indiquer les principales directions qui ont été prises dans ces recherches et qu'on doit suivre nécessairement puisque le courant constant d'idées et de méthodes que nous avons vu se dérouler mène dans cette voie.

Si une quantité dépend d'une ligne, on pourra étudier quel effet produit sur cette quantité une modification de la ligne. Si cette modification est très petite et limitée au voisinage d'un point de la ligne, on arrivera à la notion de dérivée et pour chaque point de la ligne on aura ainsi une dérivée. En superposant de telles modifications de la ligne faites en tous ses points, on trouvera la différentielle ou variation, qui sera exprimée par une intégrale : en effet une fonction d'une ligne étant une fonction d'un nombre infini de variables, la somme qui exprime la différentielle d'une fonction de plusieurs variables amènera par un passage à la limite à une intégrale (').

On pourra maintenant poursuivre l'étude des différentielles successives et, par là, arriver à un développement analytique analogue à celui de Taylor. Les sommes simples, doubles et lriples, etc., qui paraissent dans le développement d'une fonction de plusieurs variables seront remplacées par des intégrales simples, doubles, triples, etc. (•).

On pourra aussi se proposer la recherche des maxima et des minima. Nous avons déjà remarqué que pour résoudre le problème du maximum d'une aire plane, celle-ci a été envisagée comme une fonction de la ligne de longueur constante qui la renferme. On peut étudier en général les maxima et les minima des fonctions des lignes, ce qui correspond à l'étude des conditions afin que la différentielle s'annule. Cette recherche est très complexe et amène à des classes de questions de natures très différentes. En posant le problème sous sa forme la plus générale, on trouve tantôt des équations différentielles, tantôt des relations d'une nature intégrale et lanlôi des relations qui sont des deux types à la fois, ou même des relations plus compliquées. Le premier cas correspond au calcul des varia-

(') Cf. Cliapjlre II, n"" 1, i. Voir Sopra le funzioni clie dipendono da altre funzioni, i" Noie, § 2 (Rend. R. Ace. dei Lincei, j" sem. 1887). (=) Cf. Chapitre II, n" 5; /bid., § 3.

l8 CHAPITRE I.

lions, qui a été la création la plus grandiose de Lagrange, mais ce calcul n'épuise pas, comme nous venons de voir, la question des maxima et des minima des fonctions des lignes. Il n'en constitue qu'un Chapitre. Or, si l'on songe qu'en prenant pour tvpe la Mécanique classique et les idées plus récentes de Hertz, on peut tâcher de réduire les différentes questions naturelles à dépendre des" maxima ou des minima de certaines fonctions du type généralisé qui correspondent à l'action mécanique, on voit se présenter un champ de recherches assez étendu (*).

Nous avons parlé tout à l'heure du développement d'une fonction de ligne en une série d'intégrales qui correspond au développement d'une fonction analytique par une série de polynômes homogènes, c'est-à-dire à la série de Taylor.

En considérant les différents termes, on tombe sur les formes analytiques d'un nombre infini de variables. Une nouvelle Algèbre est sortie de là et elle a déjà fait beaucoup de progrès (2).

En effet, que peut-on tirer de la corrélation entre l'Algèbre ordinaire et cette nouvelle Algèbre?

Au premier abord, on voit que chaque problème de l'Algèbre ordinaire amène à un nouveau problème qu'on obtient en passant du discontinu au continu par le procédé uniforme que nous avons envisagé depuis le commencement de ce Chapitre. Mais la corrélation nous offre aussi^ dans la plupart des cas, des solutions pratiques et fécondes, car si les nouveaux problèmes peuvent être envisagés comme des cas limites des problèmes algébriques ordinaires, leurs solutions bien souvent ne sont que les limites des solutions connues de l'algèbre. C'est ainsi que la théorie générale des systèmes d'équations algébriques passe du discontinu au continu (^).

La première et la plus élémentaire des questions qui se sont présentées tout naturellement à moi dans cet ordre d'idées a été celle à laquelle on arrive en considérant le premier terme du dévelop-

(^) Cf. Chapitre III. Voir aussi Sopra un problema di elettrostalica (Transunti délie B. Accademia dei Lincei, 3' série, vol. VIII). Sopra una estensione délia teoria Jacobi-Hamilton [Rend. R. Accademia dei Lincei, i" seni. 1890).

(^) Je ne fais pas de citation, car la littérature de ce sujet est très connue. On la trouve jusqu'à 1912 à la fin de l'Ouvrage de M. T. Lalesco, 5m/- les équaqualions intégrales^ Paris, 1912.

(') Cf. Chapitre IV.

l'évolution des idées fondamentales du calcul infinitésimal. 19 penient analogue à celui de Tajior que nous avons envisagé tout à l'heure. Elle peut être définie comme la résolution d'un système infini d'équations algébri([ues linéaires ayant un nombre infini d'inconnues. La solution que nous donne le principe général s'obtient en passant à la limite dans les solutions algébriques ordinaires par la considération des déterminants infinis, c'est-à-dire en appliquant au déterminant le même passage du discontinu au continu qui, nous l'avons vu, peut s'appliquer à la somme, au produit, aux substitutions.

Mais cette question n'est pas nouvelle. C'est un ancien problème, celui des équations intégrales, dont Abel, Liouville, Sonine et bien d'autres avaient considéré des cas particuliers qu'ils avaient résolus par des artifices spéciaux.

Cependant, une méthode uniforme et générale manquait pour l'étudier d'une manière systématique ; elle a été trouvée le jour ovi les équations intégrales ont été rangées parmi les problèmes appartenant à la classe générale des questions que nous avons envisagées et rattachées aux fonctions des lignes, c'est-à-dire quand elles ont été considérées comme les cas limites d'un système d'équations algébriques de premier degré (' ).

Pendant que l'Algèbre se développe dans le sens que nous avons annoncé, d'autres branches de l'analyse marchent aussi dans la même direction. Il suffit de rappeler les intégrales des fonctions de plusieurs variables qui sont de leur nature même des fonctions du contour et par suite rentrent dans la classe des fonctions généralisées dont nous avons parlé. Mais ce que je crois de plus grand intérêt est que Ja théorie des équations différentielles peut se généraliser, tout en visant à plusieurs buts, par l'effet des mêmes idées (2).

10. Au point de vue newtonien, c'est l'évolution des choses qu'il faut suivre et qu'il faut prévoir.

La fluxion individualise l'évolution instantanée ou élémen-

(') VoLTEUUA, Sulla inversione degli inlegrali definite, 4 Notes {Altl délia R. Ace. délie Scienze di J'orino, vol. XXXI, 1896).

(^) Cf' le Chapitre III, n» 8, où l'on envisage les équations aux dérivées fonctionnelles, et le Chapitre V et suivants consacrés aux équations intégrodifférentielles.

taire. Est-élle connue à cJiaque instant, c'est-à-dire dépend-elle des circonstances extérieures connues, l'évolution pourra s'appeler une évolution forcée et tous les états seront déterminés à partir d'un état connu parla somme ou l'intégrale des évolutions élémentaires en nombre infini.

Dans l'évolution, des êtres organiques, les théories de Lamarck et de Darwin seraient du type de l'évolution forcée.

Mais l'évolution peut dépendre de causes internes, alors elle doit être considérée de deux manières différentes.

Si, à chaque instant, elle dépend des conditions actuelles, elle sera une évolution non héréditaire et tous les états pourront être déterminés à partir d'un état donné par l'intégration d'équations différentielles.

Si, au contraire, elle dépend de toute l'histoire des états traversés, elle sera une évolution héréditaire. Les équations différentielles ne suffiront plus et les équations intégro-différentielles seront les instruments analytiques qu'il faudra employer. Il est évident que l'évolution forcée se distingue de l'évolution interne, car la première cesse si toute cause extérieure s'annule tandis que la seconde va d'elle-même.

Les trois types d'évolution peuvent subsister en même temps. C'est ainsi que l'oscillation d'une verge peut résulter d'oscillations forcées, d'oscillations dues à ses périodes propres de vibrations, et, en général, elle sera aussi affectée des actions de traînage et d'hystérésis.

L'évolution organique, selon les vues les plus récentes, ne pourrait être due à de seules causes extérieures. Elle serait due aussi à des causes internes. C'est leur caractère héréditaire qui rend très probable cette hypothèse.

Viendra-t-il un jour où les Mathématiques seront applicables au monde organique? Si le type de son évolution est celui qui semble aujourd'hui le plus probable, l'analyse qui lui devrait convenir serait celle des équations intégro-différentielles et elle s'éloignerait de l'analyse propre à la Mécanique céleste. Ce seront peut-être les éludes de la biométrique qui amèneront à des lois sur lesquelles les mathématiciens pourront travailler.

Mais ne dépassons pas trop les limites de la Science présente