Des séries intermédiaires, — Appliquons à la fonction

Mt)=f(zt)

le développement (10) qui correspond à l'aire G du plan des t (n° 5); la série ainsi obtenue n'est autre que le développement de Mac-Laurin de F,(t) =/[3^}^(t)], où l'on fait t=i, et elle peut s'écrire

(î6) «0-+- ^^(}^ï,nci\^-^^iyncit^^-^' "-^f^n,nCin^'^)i (les A: const. numériques).

Cette série converge (pour z donné), et converge absolument, si la fonction F4(t) est holomorphe dans le cercle y de centre t = o et de rayon i (circonférence comprise); elle diverge, si F, (t) n'est pas holomorphe à l'intérieur de y; il y a doute, si F4(t) est holomorphe dans Y mais non sur la circonférence.

Soit c l'aire du plan des t que la représentation ^=|di(T) fait correspondre au cercle y; cette aire c (intérieure à C) renferme à son intérieur le point < = o, et son contour passe par le point l=:i. Le domaine de convergence, soit D, de la série (16) est dès lors facile à définir : considérons pour chaque point Zf^YzÀrQ [c**

déduite de c (n** 8), aire qui renferme l^ origine. Si, dans celte aire c^^ {contour compris)^ la branche y(<s), prolongée analjtiquement à partir de Torigine, est holomorphe, la série (i6) converge (et converge absolument) pour ^ = 2o; si, à V intérieur de c*o, f{z) présente au moins un point singulier^ la série (i6) diverge pour^ = <So; SX f{z) est holomorphe dans l'aire c*o {contour exclus)^ îl y 81 doute.

Le domaine D tend vers Tétoile A quand c tend à se réduire au segment réel o — i , car l'aire c*o tend alors à se réduire au segment de droite o — ^o- \

Dans tous les cas, les points-frontières de D sont des points z^

Fig. 3.

tels que /(.s) soit holomorphe dans l'aire c'', mais présente sur le contour de c*» au moins un point singulier, soit ^ = Ç. Marquons dans le plan tous les points singuliers 2^ ainsi obtenus (') : si ^, est un point frontière de D, il existe au moins un point Ç tel qu'on ait !J=>3|f pour une valeur de t appartenant au contour c. Le

point ÎJ étant donné, quelle courbe décrit le point 5, = - quand t

parcourt le contour c? C'est le contour c'^, si c' désigne {fig- 3) le contour obtenu en effectuant, sur le symétrique de c par rapport à l'axe réel, une inversion de pôle O et de puissance i .

(' ) Si la courbe c est convexe, les points Ç ne sont autres que les sommels de l'étoile A. Mais quand c n'est pas convexe et quand de plus f{z) n'est pas uniforme, certains des points ^ peuvent être distincts des sommets {i. de A.

114 NOTE DE M. PAINLEVIS.

Supposons tracées dans le plan toutes les courbes c'^; le contour limite de D est formé entièrement d'arcs de courbes c'^, par

conséquent, d'arcs semblables à c' ou à des fragments de c'.

Par exemple, si /{s) n'admet dans tout le plan qu'un point singulier js= i, le do/naine D est le domaine situé du même côté de c' que Torigine. Si l'aire c était réduite au segment réel o ^-^ i , la courbe c' se réduirait au segment réel i^^ -f-oo. Si l'aire cest une aire très aplatie (renfermant le segment réel o ^-^ i ), la courbe c' se compose d'une partie très voisine de la demi-droite réelle i ---^ -+- oo, et d'une partie très éloignée deTorigine {Jig. 3).

Le raisonnement du numéro précédent permet de démontrer que la série (i6), qui converge absolument dans le domaine D, converge uniformément dans tout domaine D' entièrement intérieur à D,

Ces considérations s'étendent d'elles-mêmes aux fonctions de plusieurs variables.

10. Formation explicite d'une série génératrice normale. — Nous allons former, d'après la méthode précédente, un exemple explicite de série génératrice normale. On sait que la fonction t = logT représente (' ) le demi-plan des t (situé à droite de l'axe imaginaire) sur une bande du plan des t comprise entre deux parallèles à l'axe réel, tracées au-dessus et au-dessous de cet axe

à la distance—» La fonction ^=:alogT (a constante réelle positive ou négative, voisine de zéro) représente le même demi-plan sur une bande B du plan des ^, de largeur jaJiT, qui admet encore l'axe réel comme diamètre. Enfin, remplaçons, sous le signe log, la variable t par (P^H-fc), ^ et 6 désignant des constantes réelles : le demi-plan II des t d'abscisses plus grandes

que — -n (si p>o), ou d'abscisses plus petites que — ^ (si p<;o),

est représenté sur la bande B du plan des t. On peut disposer des constantes p, è, de façon que le cercle [xj S i ou y fasse partie du demi-plan D, et qu'aux points t = o et t== i correspondent respectivement les points /== o et /= i. Il faut et il suffit pour

(^)Il s'agit, bien entendu, de la branche du logarithme (bien déterminée dans le demi-plan considéré) qui s'annule pour t = t.

cela qu'on ait

ô=i, aIog(i + P)=i, |?|<i;

on tire de là p = e* — i, et |P| n'est < i pour a voisin de zéro que si a est négatif. £n définitive, j'introduis la représentation

suivante (où je mets en évidence le signe des constantes)

i (17) f = — a Iog( I — px), avec P = i — « ^

(a constante positive).

La branche considérée du logarithme (celle qui s'annule pour T=:o) est bien déterminée et holomorphe dans le demiplan n, et en particulier dans le cercle y.

Quel est le domaine c du plan des t qui correspond au cercle y?.

Tout d'abord, ce domaine, symétrique par rapport à l'axe réel, est très aplati sur cet axe, puisqu'il fait partie d'une bande de largeur oltz qui admet cet axe pour diamètre. Cherchons, d'autre part, ses abscisses maxima et minima : il suffit de chercher le maximum et le minimum de la partie réelle de

— alog(i- p':) = — allogp-hlog(^ji ~VJ'

c'est-à-dire le maximum et le minimum du module de [77 — t] quand t varie dans y; si l'on marque (yî^. 4)> dans le plan des t.

Fig. 4.

les points M et Q d'affîxes t et ^>

est égal à QM; le maxi-

mum et le minimum de QM ont lieu pour t = — i et t = i ; l'abscisse maxima cherchée est donc — a log(i — ?) = i et l'abscisse

IlG NOTE DE M. PAINLEVK.

minima est -^ aIog(i H- P)= — alog\2 — e */, qui tend vers zéro avec a. Le domaine tend donc à se réduire au segment réel o >-^ I quand a tend vers zéro.

Au lieu du cercle y» considérons un cercle concenlriquc F un peu plus grand, compris encore dans le demi-plan II. Le rajon p

de r est compris entre i et -^ = i H j-; posons p = i -j- Ae '^j

I — e * et donnons à ). une valeur comprise entre o et i . Le domaine C, du plan des /, qui correspond à F sera encore intérieur à la bande B; ses abscisses maxima et minima correspondront à t = ± p et seront égales à — alog(i q: ^p).

La quantité log(i -+- ^p) est inférieure à loga (puisque P < r)*

Tabscisse minima est donc supérieure à — a loga. D'autre part, on a :

log(

Tabscisse maxima — a log(i — 3p) est donc égale à

i-«Iog(i-?X),

c'est-à-dire inférieure à i — a log(i — X), puisque o <^ ^ < i . Si, (comme nous le ferons par ta suite)^ on prend \=^ -» l'aire C

est comprise entre les deux abscisses — aloga et i 4- alog2 (donc entre les deux abscisses — a et i -|- a) et entre les deux ordonnées ± a -; cette aire C tend donc à se réduire au segment réel o^ — ^i quand a tend vers zéro.

11. Appliquons maintenant la méthode du n® 5 à la fonction /(/), holomorphe (et de module moindre que H) dans l'aire C; cette l'onction est définie par la série de Mac-Laurin :

Si nous remplaçons / par — alog(i — ^t), la fonction F(':) ainsi obtenue est représentable, dans le cercle F, par la série de Mac-

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Il 7

Laurin

F(t) = Ao-J- AiT -r- AjT*-+-. . .,

et Ton a

/(i) = F(i) = Xo-h A,-+- As-h. . . ;

de plus, on sait que

|Ao-4- A, -+-...-+- A,,— /(i)| est moindre que

H 'xUe^

t , i \ Il

Calculons explicitement les A;, à Taide de ao, «i , «2, .... Ceci revient à ordonner, suivant les puissances croissantes de t, le second membre de Texpression

F(t) = a,— aiaIog(i— ?-:) -f-. . .-f- (— i)*aAa^[Iog(i — ?t)]*-4-. . ..

Nous pouvons poser

les Ej^; étant des coefficients numériques que nous calculerons tout à l'heure. Le développement de F(t) suivant les puissances croissantes de t s'écrit alors

' Q\ J F(') = «o-4-ûtiaP'C-4-...-l-P'»T'»x [a'«a„-i-a«-»a,,iE;{-»-4-...

* M -Ha'a/E{,-f-...-+-aaiEi]-t-..v.

On a donc

A„= p«(a«art-+-a«-»a«iES-*"H...-i-a'«/E;,-}-...-haaiEi)

les C désignant d'autres coefficients numériques [qui se déduisent des E par la formule ^""•'^ n(n — i). . .{n — j -^ i)E"~^].

En particulier, si, pour un instant, on prend comme fonction f{t) la fonction -> le développement (i8) s'applique

ItS NOTE DE M. PAINLEVÉ.

(pour |t| suffisamment petit), et l'on peut écrire

i-t- a loj;(i — T) (>9)

= I -+- aT -h . . .

/lî

D'autre part, le coefficient de — j-> dans celte dernière égalité,

n*est autre chose que l^x=o{ r-;; — ZT^)* ^^ représentant

par D"o©(t) la dérivée n**"*, par rapport à t, de o(t), où l'on fait T = o.

Il est dès lors facile d'établir entre les ^î^^^"-^ une relation de récurrence qui va nous permettre de représenter très simplement les An.

On a, en effet, en posant

GCt) = i-halog(i — t),

les X désignant des coefficients numériques; pour le voir, il suffit d'admettre que cette égalité (qui est vraie pour /i = i) est vraie pour n et de démontrer qu'elle est vraie pour /i -f- i . D'autre part, pour T= o, on a

quel que soit a. D'où l'égalité

Si l'on dérive membre à membre, il vient (en faisant ensuite

maïs le premier membre coïncide (par définition) avec i'expression \^ 'î^'w^-i^'; d'où, en identifiant les coefficients des puissances de a, la relation de récurrence

avec C"^=ly Cl= ni.

Cette relation s'interprète bien simplement, si l'on introduit le poljnome

(22) Kn(u) = a(a-4-i)(w-4-'2)...(a-i-/i — i).

Je dis qu'on peut l'écrire

La chose est évidente pour /i = i ; admettons qu'elle soit vraie pour /i, et démontrons-la pour ai + i; il suffît d'écrire

En définitive, An peut recevoir l'expression suivante

oà C'^ es^ a/î entier positif, à savoir le coefficient de u^ dans le polynôme Kn(w). Sous forme symbolique, on peut écrire encore

(23) An = ^ K«(a/o)= §7 «/o (i -^a/o)(2-+- a/o) . • . (« - i + a/i),

à condition de remplacer (dans le produit effectué) f^ par/'^'^(o).

12. Ceci posé, donnons à a une suite de valeurs tendant vers zéro : soit a = r—^»/ désignant un entier positif qui croîtra indé-

finiment. La valeur correspondante de p est i r==« Pour chaque

valeur de l'entier y, les domaines cj et Cy, qui correspondent aux