V22 NOTE DE M. PAINLEVÉ
Soit B un domaine limité du plan des z^ entièrement intérieur à l'étoile A, et B^ un domaine limité, intérieur lui aussi à l'étoile, et comprenant B à son intérieur. Soit, d'autre part, B/z le domaine balavé par le rectangle A quand ^ varie dans toute l'aire B; lorsque n croît indéfiniment, Bn tend vers B, et lorsque n dépasse une certaine limite k^ Bn reste intérieur à B'. Si H désigne le module maximum de /(z) dans B', l'inégalité (24) a lieu dans toute l'aire B dès que n dépasse k.
13. Remarques sur le développement précédent, — 11 est loisible, dans le raisonnement précédent, au lieu de prendre n =jy de prendre pour n une valeur plus grande que y.
Soit, par exemple, n=j^» Ceci revient à poser
no=/(o), ny(z)=/(o)H-2fÎK,(otVi).
avec
Zi »
et
Qo=no=/(o), Qi = ni(^)-no, Qy(^) = n/^)- iiy,(5).
La série
(m) /(o)-hQi(z) + Q,(z)-+-...-+-Qy(x)-h...
est une série (M), plus rapidement convergente que la série (M|) mais à termes plus compliqués. Dans Taire B, pour la nouvelle série, on aura, en place de l'inégalité (24)7 l'inégalité
(a5) |Q„+ Q. + ... H- Q„ /(.-)!<- V^^^iiip,
On peut modifier légèrement cette série (m) de façon que le (ai -4- lyènie terme (qui est de degré n'^) renfermer" en facteur. Considérons, en eflfet, la fonction
Puisque la fonction f{z) est holoniorphe pour ^ = o, les coefficients aj (pour /^ i) sont moindres en module que (-) t p dési-
gnant une quantité convenablement choisie; soient /*i le module
maximum de z dans Taire B', et R le rapport — (ou l'unité, si ce
rapport est < O* ^^ somme ai 5 + • • • + «a^* est moindre en module dans B' que A*R*; le module deyA(^)ï dans B', reste donc inférieur à H 4- /rR*.
Appliquons maintenant le développement (m) à la fonction fk{z)» Il suffit, dans chaque polynôme ïlj{z)^ de faire
ai = 0} = . . . = cife = o.
En particulier, pour y = A*, le polynôme ^a(^) ainsi obtenu, polynôme qui renferme en facteur ^*+*, vérifie, dans l'aire B, rinégalilé
(26) \fk{^)-^k(^)\< : ^—\
'il
lorsque k dépasse H, le second nombre est moindre que
tl l — I
quantité plus petite que -r^ dès que k est suffisamment grand. Posons alors
qkis) = akzk^ Wk(z) - V/,,(^), La série
(nii) ao^ qi{z) -¥■ . . .^ q n{z) -^r . , ,
est une série (M), qui converge absolument versy(2) dans toute l'étoile, et uniformément dans toute aire B intérieure à l'étoile. En effet, la somme a^ -[- q^ {z) -h ... 4- qk{z) est égale à
et par suite, d'après l'inégalité (26), diffère de/(^), dans B, d'une quantité moindre que t^» dès que k est suffisamment grand. Dans la série (/W|), chaque polynôme qn est de degré ri^ et ren-
12 1 NOTE DE M. PAINLEVK.
ferme en facteur z'*'^ on peut écrire
Chaque dérivée /^"^ (o)=z nlon ne figure donc plus au delà du (/i4- lyèni* terme.
La série (M|), dont nous avons déduit les séries (m) et (/W|), est une des plus simples parmi les séries (M) connues. Elle a été formée, pour la première fois, par M. Fredholm. Mais il est évident que la méthode des n®*5 et 6 permet d'en former une infinité d'autres. Le mode de transformation que nous allons indiquer fournit d'ailleurs le moyen, une série génératrice normale étant connue, d'en déduire aisément de nouvelles (').
14. Transformations d'une série génératrice, — La fonction y(^) étant holômorphe pour o^t^ i, remplaçons-y t par une (onction ^(6), choisie une fois pour toutes, qui répond aux conditions suivantes : ^(6) est holômorphe et comprise entre o et I pour o^O^ I ; de plus g{o) = o et or( i) =:= i. La fonction /i(9) =/[^(9)] est, elle aussi, holômorphe pour o^9£i. Supposons donnée une série génératrice : soit la série S du n" 12. Si l'on applique ce développement à la fonction y,( 6), la série obtenue convergeetreprésenteyi(i ) =/(i). Or la série /i (S) est développable en série de Mac-Laurin
les a'f^ étant linéaires et homogènes en a^, . . . , a»; à savoir
En remplaçant a\, a'^^ ... par ces expressions dans la série S, on obtient une nouvelle série génératrice (qui est normale quand la première série est normale).
(•) Dans tout ce qui précède, nous avons considéré l'étoile A de centre o, cl nous nous sommes donné les valeurs, pour z = o^ de f{z) et de ses dérivées. Mais il est évidemment loisible de prendre comme point initial, au lieu de l'origine, tout autre point ^ = a du plan, à condition de remplacer partout z par z — a,
et /(o), /'(o). . . . , par /{a), /'(a), La nouvelle série M ainsi formée sera
dite série (M) d'origine a, et elle convergera dans l'étoile A de centre a.
Par exemple, soit ^(9)= 6* (/r entier positif). On a
/i(e)= «0-+- aje*-4-. . .-4- a«6*«-t-. . . ,
c'est-à-dire a'^ = o, -.., «J^j = o, a'^==ai, aj^^, = 0j .... La nouvelle série génératrice s'obtiendra donc : i" en annulant dans la série S tous les an dont Cindice n n'est pas un multiple de k; 2" en remplaçant ensuite chaque an où n^=jk par aj. Pour chaque valeur de /r, on déduit ainsi immédiatement de la série S une autre série génératrice. D'un développement (M), pcr exemple du développement (M|), on déduit donc un autre développement (M) : I** en annulant tous les an donf l'indice n n'est pas multiple de /r; 2** en remplaçant ensuite ajftZJ^ par ajzJ (l'entier k est choisi arbitrairement une fois pour toutes).
15. Une autre transformation des séries (M), uniformément convergentes dans toute aire intérieure à l'étoile, provient de ce qu'elles sont dérivables et intégrables terme à terme. Supposons connu un développement (M) : soit (M') la série obtenue en dérivant terme à terme la série (M) qui représente ^(2), et soit (M*) la série qu'on obtiendrait en appliquant à /'{z) le développement (M); en général {voir p. 1 1 1 ), les deux séries (M') et (M*) sont différentes. D'après cela, au lieudedéveloppery(2), développons ^(2) en série (M), puis intégrons terme à terme de o ù :; et ajoutons ao. Nous obtenons une nouvelle série (M) qui se déduit de la première en remplaçant partout a^z'^ par «/^^i^"*^*, {n = o, I, 2, ...), et en ajoutant «o. Plus généralement, en
développant -t4> on obtiendrait une nouvelle série (M), qui se
déduirait de la première en changeant partout a»:;" en «n+A^"*^^, et en ajoutant en tête a© -1- «i 5 -f ... -h aA i s*"* . Si, au lieu de partir de la dérivée de /(z), on part de la primitive de f{z), on voit de même que de la série (M) on peut déduire une aulre série (M) : i" en supprimant les termes en ao, 2" en remplaçant partout ensuite anZ" par an^tZ"'^, Plus généralement on peut supprimer dans (M) tous les termes en ao? «ii • • • - ^a< (k entier donné) et remplacer ensuite partout an+hZ""^^ par anZ" : la nouvelle série ainsi obtenue est encore une série (M).
