I08 NOTE DE H. PAINLEVÉ

quons immédiatement qu'on peut, pour chaque valeur dey, trouver un entier n assez firrand pour que la quantité -r- soit infé-

rieure à -r^ : soit /i = Ny la plus petite valeur de n qui satisfait à

cette inégalité (*).

Considérons maintenant une fonction quelconque y(^) holomorphe pour o^^^i. Cette fonction est, par suite, holomorphe (et de module moindre qu'une certaine quantité H) dans une aire C (suffisamment aplatie) entourant le segment réel o — i. Formons, pour celte fonction/, le développement analogue à (lo) qui correspond à chaque courbe Cy.

Dès que j dépasse un certain entier A", la courbe Cy est intérieure à l'aire C. Le développement correspondant converge donc vers/(i) : arrêtons-le après le (/i 4- i)'«"« termç., il représente /(i)

avec une erreur moindre en module que —r- r* c'est-à-dire

H Àï . Py(py-0

moindre que -r^ (si l'on prend n = Ny). Désignons par njy le déve-

loppement ainsi limité, c'est-à-dire la somme des n = Ny premiers termes du développement (lo), qui correspond à Cy; cette somme uj est de la forme

(12) Wj= ao-f- |Xi,ya|H-fi,ja,-h...-i- [injan

(les coefficients numériques |jl dépendant de y, ainsi que l'entier /i = Ny). Enfin convenons de prendre t»To= ao. Posons maintenant :

(i3) Oo=nyo=ao, ®i = 'îJi — ^oi •••» ^j — ^j—^j-it

je dis que la série

(i4) S ==Oo-i-Oi -!-...+ «py -H... = gp -h ^ (vi,y ai -f- . . « -+- v/,,y an)

est une série génératrice normale.

I® Elle converge (et converge même absolument) vers /(i)

(*) Il serait loisible de remplacer, dans le raisonnement, -^ par n'importe

quelle quanlilc positive ntp sous la seule condition que la série ^ m. soit convergente.

quel que soit f(t)^ pourvu que/{t) soie holomorphe pour o<t^i . En effet, la somme des (y 4- i) premiers termes de S n'est autre chose que wy, et, du moment que /(t) satisfait à la restriction

H énoncée, |/(i) — tsj\ est < -^> quand j dépasse une certaine

limite k. La série S converge donc vers f(i) et elle converge

absolument ; car \oj\ est < -t^» dès quey > k,

2** Chaque terme çy de S est linéaire et homogène par rapport à «oj ^n • • • î ^w 11 est vrai que l'entier n = Ny peut dépasser y. Mais, en introduisant, entre des termes consécutifs de S, un nombre suffisant de termes nuls (ou se détruisant deux à deux), on peut toujours faire en sorte que le (/2 -f- 1)*«"« terme de la série ne dépende que de «o? ^i? • • • ? <3f» (pour n arbitraire).

La série S est donc une série génératrice normale.

7. Remarque, — Cette série S est bien déterminée par les conventions adoptées, une fois choisie la suite de courbes Cy. Mais on peut se donner arbitrairement cette suite de courbes fermées C| , . • . Cy , . . . , sous la seule restriction qu'elles entourent le segment réel o — i et tendent à se réduire à ce segment quand y croît indéfiniment. 11 convient évidemment de choisir ces courbes de façon à simplifier autant que possible les termes de la série S, c'est-à-dire le développement (lo) attaché à chaque courbe Cy.

Remarquons de plus que le raisonnement du n^ 5 suppose seulement que la fonction ;=:({/(t) soit holomorphe dans le cercle F, s'annule avec t, soit égale à i pour t= i, et que t varie à l'intérieur de C (ou sur C) quand t varie dans le cercle F. Il n'est nullement indispensable qu'inversement la fonction t = '/(') soit uniforme et holomorphe dans C. Il sera donc loisible d'attacher à chaque courbe Cy une fonction ^ = ({;y(T) répondant seulement aux conditions suivantes :

La fonction ^ = <|/y(T) est holomorphe dans un cercle Fy de centre t= o et de rayon > i ; quand t varie dans Fy, t ne sort pas de l'aire Cy; enfin Ay(o) = o, et <}^y(i)= i.

8. Convergence des séries définies par la série génératrice (i4)' — Soit A' une aire limitée, entièrement comprise dans l'étoile A attachée à f{z)\ la série (M) définie par la série gêné-

no NOTE DE M. PAINLEVE.

ralrice (i4)» à savoir

(iS) I « = -*

absolument convergente dans A, consierge uniformément dans A'.

En effet, considérons une aire limitée A" entièrement intérieure à A et renfermant A' à son intérieur. Dans cette aire A'', l/C*»)! reste inférieur à une limite fixe II.

D'autre part, la valeur ^o= ro(cos9o-i- * sinOo) étant donnée, posons z = Zot^ et représentons sur le même plan (rapporté aux mêmes axes) les deux variables complexes z et C. Quand t varie dans une certaine aire (ou sur une certaine courbe) C, z varie dans une aire (ou sur une courbe) semblable^ soit C^o : pour obtenir G*o, on prend Thomothétique de C par rapport à O* 7*0 étant le rapport d'homolhétie, et l'on fait tourner celle Iransformée de l'angle 60 autour de O. Prenons notamment, comme aire G, une aire Cy ; l'aire Cy renferme à son intérieur le segment o — Zq et se réduit à ce segment si Cj se réduit au segment réel o — I. Lorsque Zq varie dans loule l'aire A', l'aire C'y balaie un domaine By, Si l'aire Cy était réduite au segment réel o — 1, le domaine By se réduirait à A'; quand y croît indéfiniment, l'aire Bj tend donc vers l'aire A', et, par suite, reste intérieure à l'aire A'' dès que y dépasse une certaine limite A*. Pour y >> A*, la fonction y"i(^) = f(^Zot) a donc son module inférieur à H dans l'aire Cy, quelle que soit k position du point ^0 dans l'aire A'. Le reste Ry(2) de la série (1 5), quand z varie dans A', est par conséquent moindre

(en module) que -^ dès que y >> A'. Autrement dit, la série (i5)

converge uniformément dans l'aire A'. c. q. f. d.

Il est évident que le raisonnement s'étend de lui-même aux fonctions de plusieurs variables, d'où ce théorème :

Les séries (M) déduites de la série génératrice (i 4 ) convergent absolument dans toute V étoile A attachée à /", et uniformement dans tout domaine A! entièrement intérieur à A; cela, quel que soit le nombre des variables dont dépend f.

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. fl I

En vertu d'un théorème classique, ces séries sont, par suite, intégrables et dérivables (') terme à terme, indéfiniment, dans toute l'étoile A; on peut répéter sur la convergence des séries intégrées et dérivées ce qu'on vient de dire sur la convergence des séries (M) elles-mêmes.

Il résulte de là que le développement d'une fonction/(z) suivant une telle série (M) est unique. Précisons ce qu'il faut en tendre parla.

D'une manière générale, considérons une série (M), soit

qui converge uniformément dans toute aire limitée intérieure à Tétoile A [cela, quelle que soit la fonction f{z) définie, dans le voisinage de l'origine, par la série entière «0+ ^ti^ H-* • •]• Remarquons d'abord que les séries numériques

convergent toutes vers l'unité. En effet, faisons z = o dans l'égjilité /(;?)== Z^^rtjz) et les égalités dérivées; il vient

«0 = ûto(^0,0-H ^0,1"+- ^0,î^-' • •)? ^1 = «1 (^1,1-r- ^I,î-4- A^^j-i-. . .), ....

Ceci posé, donnons, dans la série (M), aux constantes ao, ^i , . . . des valeurs quelconques et admettons que la série converge uni-

(*) Soit (M') la série obtenue en dérivant terme ù terme une série (M) qui représente /(.s), et soit(M^) la série qu'on obtiendrait en appliquant directement à f'{z) le développement (M); en général, les deux séries (M') et (W) sont dillercntes. Pour qu'elles coïncident quel que soit /(^), il faut : 1° que le (n-f- !)'*■• terme P„(-3) de la série (M) soit un polynôme de degré /i,

2* qu'on ait

Ces conditions de récurrence permettent de se donner arbitrairement les seuls coefficients X„ j^, \ ,, . . ., X<, „, . . ., dont la somme doit être égale à i. Ces coefficients une lois choisis» les autres X sont déterminés. Peut-on choisir ces coefficients, de façon que la série ^P»(^) soit une série ( M )? Tel est le problème, non

résolu à ma connaissance, auquel revient la question de savoir s^il existe des séries (M) telles que les deux séries (M') et (M^) coïncident quel que soit/(4;).

Ilî» NOTK DE M. PAINLEVÉ.

formément dans une aire comprenant l'origine : sa somme est alors une certaine fonction F(-3) holomorphe dans cette aire; soit F(^) = 60-4- 6,-3 -h 63.324-. . . le développement de ^{z) en série de Mac-Laurin. La proposition que je veux établir, c'est que ao, «1, «2^ • • • coïncident respectivement avec bo, bi^b^^ . . • et que la série considérée n'est autre, par suite, que la série normale (M) attachée à F(z) et convergente dans l'étoile A. Or, c'est

ce qui résulte aussitôt de l'égalité F(^) = \P^(z) et des égalités . dérivées, où l'on fait z = o', il vient, en effet,

6,= ai(X,,i-+-X,,j-hÀi,3 4-:..) = a,,

En particulier, une telle série (M) ne peut converger uniformément vers zéro dans une aire renfermant l'origine sans que toutes les constantes aQ, a,, a^, . . . soient nulles.

Ces remarques ont évidemment leurs analogues dans le cas de plusieurs variables.