Transformations imaginaires d'une série génératrice

laô NOTE DE M. PAINI.EVK.

Étoile curviligne. — Dans la foaclîon/(^), eflecluons encore la substitution t = ^(9), la fonction g{^) étant toujours liolomorphe pour o ^ 9 S I , égale à o pour = o, à i pour 9 = i , mais n étant plus réelle quand 9 varie de o k i .

Quand il en est ainsi, 9 variant (par valeurs réelles) de o à i, le point t décrit dans son plan un certain chemin / qui va de / = o à /= 1. Si la fonction y(^) est holomorphe sur /(extrémités comprises), la fonction /i (9)=/[^(9)] est holomorphe pouro^9^i ; considérons une série génératrice (soit la série S du n** 12), et formons celte série pour la fonction/, (9)=ao-^«'|9-l-«2 9^4-. . .; le développement ainsi obtenu converge vers /i (i) =y"(i). Mais, d'autre part, a\y a'^, ... sont des combinaisons linéaires et homogènes de a,, a2, • . • [bien déterminées une fois choisie la substitution t = ^(9)]; de la série génératrice on déduit donc une

série de forme analogue, soit (S'), qui jouit de la propriété suivante : elle converge et représente /(i), quel que soit /(t) pourvu que f(t) soit holomorphe sur le chemin /, extrémités comprises. Nous donnerons à de telles séries le nom de séries génératrices d'espèce l. Si la série dont on est parti est normale, il en est de même de la série transformée.

Introduisons maintenant la fonction /( 5^), où s est regardé provisoirement comme une constante, et appliquons à cette fonction le développement (S'). Il suffit de remplacer partout, dans la série (S') que nous venons de former, a« par a^^" (ai = i, 2, 3, . . •). La série ainsi obtenue converge pour z = Zq et représente /(-^o), si, / variant de o à i sur /, la fonction /(>5o^) est holomorphe ; autre-

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l^J

ment dit, si la /onction f{z) est prolongeable régulièrement {à partir de z = o) sur le chemin /*•, jusqu'au point 5© Indu-slvement ( * ).

Considérons Tensemble de lous les points ^o du plan pour lesquels celte condition est remplie; nous représenlerons par A' ce domaine, et nous l'appellerons l'étoile curviligne d'holomorphlc (d'espèce /et de centre O) atlachée à la fonction f{z).

Si un point z© est exclu de l'étoile, c'est que le chemin /'• rencontre au moins un point singulier 2^ de f{z). Marquons donc, dans le plan des ^, tous les points singuliers ^ dey(^) qu'on rencontre en prolongeant /(z) le long de chaque chemin /"•, c'està-dire le long de chaque chemin obtenu en prenant un homothélique de / par rapport à O et en le faisant tourner autour de O. Tous les points Zi du plan exclus de Tétoile A' sont tels que Zi t (pour un certain point t de /) coïncide avec une des valeurs ^, D'après

cela, soit /| le transformé de / dans la correspondance ti = - :

les points exclus de Téloile A' font partie des courbes l\.

A chaque série (M) la transformation précédente [une fois choisie la fonction g{^)] fait correspondre une série de même forme, que j'appellerai série (M) d'espèce /, ou (pour abréger) série (M').

Donnons-nous arbitrairement, dans le plan des /, une courbe / qui joint les points ^ = o et ^= i, et qui est partout analytique et régulière (extrémités comprises). Soit s l'arc de courbe compté positivement à partir du point ^ = o vers le point / = i , soit Sq

la longueur de Tare entre ^ = o et / == i, et soit enfin 9 = — • Si

" Si)

nous posons t = u -i- «V, les coordonnées u, s> du point t sont des fonctions réelles et holomorphes de 6, w==^|(6), (; = ^2(6), pour o £ 9 ^ i . Il suffit de poser

(27) t = u-¥-W — gl-^lgl = g{^)

pour définir une transformation (*) qui déduit de la série (M)

( ^) Pour la notation, voir le n'* 8.

(-) Il est loisible d'ailleurs, le chemin / étant choisi, de remplacer, dans Tégalilé (27), 6 par y (0)i la fonction f (6) étant holomorphe, réelle et comprise entre o ot I pour o ^8 S I, et telle de plus que t(o) = o, ^(i)::- i.

liS NOTE DE M. PAINLEVË.

donnée [par exemple, de la série (M,)] une série (M'), convergente dans Tétoile curviligne A', qui correspond à la courbe /.