AUTRES DEMONSTRATIONS

Vu rimportance du théorème fondamental, nous allons en faire connaître plusieurs démonstrations, à certains égards plus simples que celle de Weierstrass.

Nous ne donnerons pas la méthode de M. Picard (reposant sur l'emploi des séries trigonométriques), qui se trouve exposée dans son Traité d'Analyse.

Les méthodes que nous allons développer sont fondées sur l'emploi de lignes polygonales comme courbes approchées de la courbe continue^ =y(j:).

Soit/(j;) une fonction continue de a à b; on peut trouver un nombre 8, tel que l'inégalité |.t' — x^'\ <C 8, entraîne

Considérons une division de l'intervalle (a, b) en intervalles partiels, tous plus petits que 8, séparés par les points

Puis inscrivons dans la courbe ^=y(^) une ligne polygonale dont les côtés se projettent sur Ox suivant ces intervalles. Cette ligne polygonale représentera une fonction continue ^=:(p(j:). La valeur de ^{x) est égale à f{x) aux points de division; lorsque ^ est compris dans l'intervalle (a:i i, Xi)jQ{x) est compris entre /(j:i, ) et f{xi) et/(x) entre

/(a:/-,) — i et /(ar/)-T-i • 4 'I

OU entre

/(^/) — 7 et f(ooi^x) ■+• 7 • 4 4

Dès lors, on a entre Xi elxi^^ :

I/(rr)-o(^)|<|

et, comme e est indépendant de l'intervalle partiel considéré, cette inégalité a lieu partout entre a et b. Il nous suffira maintenant de trouver un polynôme P(^) tel que l'on ait

entre a et 6, pour atteindre notre but qui est de vérifier par un polynôme P l'inégalité

1/(0?) — P(a:)|<£. pour a^xCb,

Les méthodes que nous allons exposer ont précisément pour but de déterminer un polynôme P(j?) tel que Ja courbe y = P(j;) approche autant que l'on veut d'une ligne polygonale donnée.

Méthode de M, FoUerra, — On sait ( * ) qu'une fonction périodique quelconque g{x), (de période aw) peut être développée en série de Fourier

(i) /r(^) = «û-H^ a«cos-^ -h6„sin— —

qui converge uniformément quel que soit x^ pourvu que cette fonction soit continue et qu'elle n'ait qu'un nombre fini de maxima et de minima dans un intervalle d'une période.

M. Vollerra (*) applique ce résultat à la fonction ^ = «-(a:) obtenue de la manière suivante. So\ly = o{x) Féquation de la ligne polygonale donnée qui n'est définie qu'entre a et b. On peut ajouter un côté à cette ligne polygonale de façon que les ordonnées des sommets extrêmes (en a par exemple et en c extérieur à ab) soient les mêmes. Ceci fait, nous prendrons pour fonc-

er) Voir par exemple : Picard, Traité d* Analyse, t. I, p. 224 et 289. (*) Voir aussi Lerch, Acta mathematica, t. XXVII.

REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 5y

tîon g{ûc) la foQClion telle que l'équation y=zff(^x) représente la ligne polygonale que nous venons de former et toutes celles que l'on obtient à partir de celle-ci par une translation parallèle à Oor et égale kn(c — a){n entier positif ou négatif quelconque). La fonction g{a:) coïncidera avec ç(^) entre a et b; elle sera de plus uniforme, continue et périodique. Soit 2cu = (c — a), la période. On pourra appliquer la formule (i) et en particulier prendre /> assez grand pour que Ton ait entre a et 6

V^ / mzT - . mzT\ I

Les expressions cos y sin sont des fondions entières

de ^; on peut donc prendre dans leurs développements suivant les puissances croissantes de x un nombre de termes assez grand pour que les polynômes obtenus en diffèrent aussi peu que Ton veut. Par conséquent, puisqu'il n'entre dans noire inégalité qu'un nombre fini p de ces expressions, on pourra trouver un polynôme P{x) tel que l'on ait,

«0-+- >. ( «/i cos h On sm I — V{x)

Et, puisque g{x) = o(^) entre a et b, on aura dans cet intervalle

Nous avons démontré en passant qu'on peut représenter une ligne polygonale (et par conséquent une fonction continue quelconque) au moyen d'une suite finie de Fourier

Xl r m:x , . niz.rl ao-+- > a,i cos h 6>« sin

avec une approximation donnée à l'avance dans un intervalle fini déterminé.

Méthodes élémentaires. — Soient

Xo= a^ Xi, a?j, ..., a?/,t» Xn= à

les abscisses des soinmets de la ligne polygonale j' = o{x). o(x) est une certaine fonction continue et uniforme entre a et 6, dont on peut écrire ainsi l'expression

o(ar)=:0|(a?)-+-2[o/+i(ar) — çp/(a7)]a(a7 — 37/),

en désignant par Oi(x) la fonction du premier degré qui coïncide avec ^{^) entre xut et a:/ et par a(x) une fonction égale à o pour a: > o, à i pour a? < o et finie pour a: = o. On a

Supposons que Ton ait pu former une fonction continue ^(^*) qui approche de ^{x) autant que l'on veut sauf peut-être pour j: = o où elle reste finie. Alors la fonction continue ^{x) obtenue en remplaçant dans l'expression de <p(a?), a(^ — xi) par p(^ — xi)^ différera aussi peu que Ton veut de f (*2:). Et si la fonction ^(^) a une forme analytique simple, il en sera de même de ^(^)' Seulement, pour que ce raisonnement soit exact, il faudrait que l'on eût

(e étant un nombre donné à l'avance), cette inégalité étant vérifiée quels que soient x et xi dans tout l'intervalle (a, 6), sauf peutêtre pour X = Xi. C'est-à-dire que l'on ait

dans Fin tervalle fini [ — (6 — a), (b — a)] sauf peut-être poura: = o. Or ceci est impossible, puisque (i(^) est continue et que l'oscillation de a(.r) est fixe et égale à i. Mais il suffit que l'inégalité (i) ait lieu en dehors d'un certain intervalle ( — ri, 4- r^), qu'on puisse rendre aussi petit que l'on veut. En effet, si |'f (^)| < M entre a et 6, on aura, puisque la ligne polygonale a n côtés,

|tp(a7) — <l;(a7)| < î/iMSjen dehors des intervalles {^xi — '/i, x/-f-7j). D'autre part, la fonction continue o/(x) — o/«(:r) est nulle en Xi. On peut donc prendre t^ assez petit pour que l'on ait

|o/(a:) — o/,(rr)|<e ,

REPnéSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 5g

dans Pintervalle {xi — tj, X|-f-7\), el par conséquent, on aura, dans cet Intervalle

\o{x) —■ ^(x)] < Ne -h 2 71 Me,

en supposant |a(a:) — p(\r)| < N lorsque a: varie entre a — b et b — a.

On aura ainsi (en prenant e el 7; assez petits, les nombres n, N, M étant fixes) une approximation aussi grande que l'on voudra dans tout l'intervalle.

' M. Runge appliquait ces considérations en prenant pour P(x) la fonction rationnelle

in

OÙ n est un certain nombre entier. Cette fonction continue de j: tend vers ol{x) pour o^|a:|<ij lorsque n croît indéfiniment. C'est-à-dire qu'en prenant n assez grand, on aura

en dehors d'un certain intervalle ( — '^i, -h t^) (aussi petit que l'on veut quand n croît), et d'autre part ,8(^) reste fini.

Dans le cas où (6 — à) ne serait pas inférieur à i , on pourrait

remplacer P{x) par ^ TTjrz. — ^ y P^^ exemple, pour ramener à ce cas.

En utilisant une fonction rationnelle continue pour ^(^); M. Runge montrait seulement qu'on peut trouver une fonction rationnelle coïx\.m\xe aussi approchée que l'on veut d'une fonction continue donnée. Mais il a donné autre part (') des méthodes, pour passer du cas dq la fraction rationnelle à celui d'un polynôme.

M. Mittag-Leffler a proposé de prendre pour la fonction ^{x) l'expression

Cette fonction est une fonction entière de x qui tend vers cl{x) lorsque Ton a o^\x\<^\. La fonction i({x) obtenue en rem-

(<) RuNQE, Acta Malematica, 1884, p. 306.

plaçant dans o, cil{x) par ^{x) si {h — a) est infërieur à i et

par P 7-77 r\f par exemple, dans le cas contraire, sera une

fonction entière approchée de o. D'ailleurs, en prenant dans son développement un nombre de termes assez grand, on pourra la remplacer par un polynôme.

On peut encore opérer ainsi : considérons l'expression

C'est une l'onction continue ( * ) de :c, qui reste évidemment égale à la valeur absolue de x. A l'exemple de Caucliy, nous pourrons la

désigner par y/^'-^. Pour avoir une fonction approchée de a(a?), il suffit de l'obtenir pour \/x'-^. Or M. Lebesgue observe que l'on

peut développer y/^. On a

^x* = (i'hzy= I -h - -3 -z^-\ — -— z^—. ..,

en posant s -= x^ — 1 et la série du second membre converge pour 1^1 < I (^). Elle converge même aussi pour ^ = di i, parsuile elle converge absolument et uniformément pour — i^z£i. Dès lors, la série en x obtenue en y remplaçant z par x- — i converge uniformément entre — i et H- i. Si donc, on prend un assez grand nombre de termes, on formera un polynôme P(5:) tel que l'on ait

I y/^ — P(a7)|<£ entre — i et -\- i .

L'équalion

représente donc, à moins de e près, un angle droit dont les côtés sont limités; à savoir la droite j'= — .r, dans l'intervalle — i ^x^o et la droite jK = ^ dans l'intervalle o^:r£i. On en conclut immédiatement que, en choisissant convenablement les constantes m,

(') Le fait que cette fonction est continue rend la méthode de M. Lebesgue plus simple dans son principe que celle de M. Runge et de M. Mittag-Leffler.

(^) Il est assez curieux de remarquer que la formule précédente se trouve, à titre d^exercice sur les séries, dans le Traité de calcul différentiel et intégral de Joseph Bertrand. Mais Bertrand était très éloigné d^en déduire les consé^ quences qu'en a tirées M. Lebesgue.

y = nix -t- n -hp.F(qx H- r)

représentera, à moins de pt près, un angle quelconque à côtés limités. En ajoutant entre elles un nombre suffisant d'expressions de ce genre, on peut, par suite, représenter une ligne polj'gonale quelconque, à moins de e' près, s' étant donné d'avance.

On peut aussi, de la incthode de M. Lebesgue, déduire une expression de a(a;), ce qui la rapproche de la méthode de M. Kunge, mais en diminue la simplicité. On peut y arriver de bien des manières; la plus simple paraît être la suivante; on peut poser

et remplacer {x^) ' par un développement analogue à celui de

M. Lebesgue pour (x^)'; la multiplication de chaque terme par -

assure la convergence pour ^ = o.

Nous ne développerons pus les méthodes de M. Painlevé, pour les fonctions réelles analeptiques, qui se trouvent exposées dans la Note I.