EXTENSION AUX FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

Il y a lieu de faire une distinction entre les fonctions continues par rapport à l'ensemble des variables et celles qui sont continues par rapport à chaque variable séparément.

L'ensemble des premières comprend l'ensemble des secondes; mais on peut former des exemples qui montrent que ces deux ensembles ne coïncident pas. Ainsi, prenons la fonction qui est

égale à ^' •^ ^ lorsque ûc ety ne sont pas tous deux nuls et qui est

nulle dans le cas contraire. Elle est évidemment continue par rapport à x et y séparément; cependant, elle ne lend pas vers o, lorsque le point {x, y) tend vers l'origine sur la droite x^=y. Plus généralement, considérons la fonction nulle à l'origine et aux points de coordonnées rationnelles et qui^ aux autres points.

est égale à

Elle est continue par rapport à x et y séparément et cependant elle est discontinue par rapport à Tensemble des variables en une infinité de points dans un domaine aussi petit que Ton veut (<).

Nous ne nous occuperons que des fonctions continues par rapport à l'ensemble des variables.

Weierstrass avait donné dans son cours l'extension de son théorème en employant l'intégrale

= ( — t) I '" I /("!» "î» •••» "«)<^ \ * / V * ^ dui...du„,

M. Mittag-Leffler se sert des résultats acquis pour les fonctions d'une variable. Soit, par exemple, la fonction 5 =y"(j7, j^) continue par rapport à l'ensemble des variables dans le domaine D

Soient

des nombres fixes, indépendants de y; on peut les choisir de façon que la ligne polygonale : 5 = (p(j:, Y) du plan j^ = Y, inscrite dans la courbe z^=/{x, Y) aux points d'abscisses Xi diffère aussi peu que l'on veut de celle-ci, V approximation e restant indépendante de Y entre A et B.

Or, d'après les méthodes que nous avons données, la fonction

(^) Cet exemple est une généralisation du précédent obtenue à l'aide du principe de condensation des singularités. Voir Hânkb'l, (Jntersuchungen iiber \^ die unendlich oft unstetigen und oscillirenden Functionen* Tubingen^.iSyo.

REPRÉSENTATION . DBS PONCTIONS CONTINU KS. 63

peut élre représentée par le polynôme en x .

<p(ar, Y) = o,(x. Y) + 2[<?,+,(a?, Y)-o,(ar, Y)]p(ar-a:.),