SI

OÙ ^{x) est un polynôme tel que Ton ait

la(ar)-P(ar)|<(D,

quel que soit x dans un certain intervalle.

Par conséquent o(x^ Y) représente /(^, Y) avec une approximation Ti indépendante de Y. Or Iç polynôme en Xy <p(^, Y) a pour coefficients des fonctions continues de Y que Ton peut représenter avec telle approximation que Ton voudra. Par suite, on peut trouver un polynôme en x et en y qui diffère def{x^y) d'une quantité, constante dans D et qu^on peut prendre à V avance aussi petite que l*on veut,

M. Lebesgue généralise directement les méthodes élémentaires employées pour les fonctions d'une variable. Dans le cas dNine fonction de deux variables, par exemple, il remplace la surface z=:/(x^y) par une surface formée de morceaux de paraboloïdes.

* Supposons que/(x^ y) soit continue par rapport à l'ensemble de ses variables, dans le domaine D

On peut trouver un nombre o tel que Toscillation de y* soit plus petite qu'une quantité positive donnée £, lorsque le point (x^y) varie dans un rectangle de côté plus petit que 6.

Divisons le domaine D en rectangles de côtés plus petits que S au moyen des droites

y=^=yof y=yu ..., r=^P=B,

et soit Zi.k la valeur de /{xi^ yj^). Désignons de plus par z = 'f i,a(^? y) l'équation du paraboloïde qui passe par le quadrilatère ayant pour sommets les points de la surface z=/(x^y).

64 CHAPITRB IV.

qui se projettent aux points

Ces projections sont les sommets d'un rectangle C/,a dans lequel on a

Car les cotes des points du paraboloïde sont comprises entre la plus grande et la plus petite des valeurs z/,Aj ^/+i ,*? ^i,k+^ , ^i+t ,*+< lesquelles diflTèrent entre elles de moins de £.

Si o{x,y) est la fonction qui coïncide avec Çi,A(^>y) dans le carré C/,)^ (f = o, . . ., n — i; A- = o, ...,/? — i), on aura dans tout le domaine D

Nous sommes donc ramenés à trouver un polynôme qui approche de ç(j:^, y)^ Or, on peut remarquer que l'équation

représente zéro si l'une au moins des variables a; ou ^ est négative, et un morceau de paraboloïde si x et y sont positifs; or on peut, suivant la méthode de M. Lebesgue, avoir de cette expression un développement approché pour les valeurs de x et y dont la valeur absolue est inférieure à un. En effectuant une transformation linéaire sur x, y et z séparément, on peut obtenir, à moins de e près, un morceau quelconque de paraboloïde et, en ajoutant un nombre limité d'expressions de ce genre, on obtient ^{^ty) avec une approximation donnée d'avance.

On pourrait aussi observer que l'équation de la surface

z=o(x,y) peut s'écrire

Car le produit des deux crochets est égal à i dans le carré C/* et nul en dehors, si l'on désigne comme auparavant par ol(x) une fonction de x nulle pour ^ >> o et égale à i pour x < o.

REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CO?mNUBS. 65

Or ?i,a(^>>') est un polynôme qui est du premier degré séparément par rapport à :r et par rapport à y. Par suite, un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour le cas d'une variable nous montre que nous aurons un polynôme approché de o(a;, j^) en remplaçant a(a:) par un polynôme P(^) approché en dehors d'un intervalle — tti, + vi aussi petit que l'on veut.

Dans ce qui précède, nous avons supposé la fonction fi^x^ y) définie et continue dans un certain rectangle. Si, au lieu d'un rectangle, on avait un domaine fermé D, d'un seul tenant ou non, il suffirait de remplacer la fonction/ par une fonction continue dans un rectangle contenant D et qui coïncide avec /* dans D. Cela est évidemment possible d'une infinité de manières.

On voit donc qu'on peut représenter toute fonction, con^ tinue par rapport à Vensemble de ses variables dans un domaine D fermé, par une série de polynômes qui converge uniformément et absolument dans D.

Une conséquence immédiate du théorème de Weierstrass est la suivante : Etant donnée une série de fonctions continues,

/(ar) = ai(a?)-+- Ut{x)

convergente dans un intervalle (a, 6), on peut toujours mettre f{x) sous la forme d'une série de polynômes qui converge dans le même intervalle. Et si la première série est uniformément convergente, on pourra supposer quHl en est ainsi pour la série de polynômes ( * ).

En effet, quel que soit p on pourra former un polynôme Q^ tel que l'on ait

entre a et b. Par conséquent, Q^(^) tend vers la limite /(^) de S^(a:) lorque p croît indéfiniment (quel que soit x entre a et b). Par suite, la série de polynômes

Q i -+- ( Q î — Q I ) + . . . -i- ( Q « - Q „-, ) -4- . . . converge vers y(^) entre a et b. Elle y converge uniformément

( ' ) La généralisation au cas de n variables est immédiate. E. B.

s'il en est ainsi pour la série donnée; car on aura entre a et b

\/(x) - Qp{x)\g \/(x) - Sp(x)\ -+- \Sp{x) - Qp(x)\ < e,

en prenant p assez grand.

On sait d^ailleurs que, étant donnée une série uniformément convergente, on peut toujours, en groupant convenablement les termes, la transformer en une série absolument et uniformément convergente (*). On pourra donc s'arranger pour que la série de poljnomes converge absolument et uniformément.

Lorsqu'on cherche un polynôme approchant d'une fonction continue déterminée, il y a intérêt à obtenir, pour une approximation donnée, le polynôme le plus simple possible, par exemple du plus petit degré. Mais le résultat dépendra évidemment de la plus ou moins grande continuité de la fonction donnée y*(j:).

Ainsi, lorsqu'on remplacera la courbe ^=y"( a:) par la ligne polygonale j^ = cp( a:), il faudra, si l'on veut avoir une approximation e, découper l'intervalle (a, b) en intervalles de longueurs plus petites que 3, 8 étant tel que l'inégalité

entraîne

entre a et b. Pour une valeur déterminée de e, on peut prendre pour 8 la plus geûte' valeur possible. On déterminera ainsi une fonction 8 = c5(e) qui tend vers zéro avec e. Et Ton voit que la ligne polygonale sera d'autant pluk simple pour une valeur donnée de e que la fonction (p(e) décroîtra plus vite avec e. On peut dire que la décroissance de îp(e) près dee = o mesure la continuité àef{x) entre à et b. Ainsi, par exemple, si la fonction est dérivable entre a et 6 et si sa dérivée est bornée, on a f(£)^Ae, A étant un nombre positif fixe.

Représentation des fonctions dérivables.

En particulier, considérons une fonction /(^) qui ait une dérivée f'j. continue entre a et b. On peut se demander s'il est

(') Voir, par exemple, Borel, Acta Mathematica, t. XXIV, p. 355.

possible de la représenter par une série de polynômes telle que celte série et la série des dérivées convergent uniformément vers /(a;) el/\x) entre a et b, La réponse est affirmative (Painlevé, Comptes rendus, 7 février 1898). En effet, on pourra trouver un polynôme Q/j(^), tel que l'on ait

I/'(:r)-Q«(ar)|<i.

Mais alors, on aura

|/{^)-P„(jr)l<

en posant

Par suite, on a et les deux séries

Pi -^ (Ps — Pi ) -4-. . .-H (P„ - P«-., ) -+-. . .,

F', -h (Pi- p; )-!-... -h (P'„-p;,j )-!-...,

convergent absolument et uniformément versy*(j;) ety*^ entre a et b.

Cette méthode s'étend immédiatement au cas où la fonction admet des dérivées continues jusqu'à un ordre fini déterminé.

Supposons même qu'elle admette des dérivées de tous les ordres.

On déterminera pour chaque valeur de n un polynôme Q«(^) tel que Ton ait entre a et 6

Puis, en choisissant convenablement les constantes d'intégration, on pourra former un polynôme P/i(a;) dont Q«(^) soit la dérivée d'ordre n et tel que

Si par exemple (6 — a) est supérieur à 1, on pourra prendre

et alors la série cherchée sera

P,-f-(P,-Pl)-f....-h(P«-P„-,)-4-....

Car celte série (ainsi que toutes les séries des dérivées) est une série de polynômes qui converge uniformément et absolument entre a et 6 vers f{x) [ou vers les dérivées correspondantes de/(x)].

L'inconvénient d'un tel développement est de ne pas mettre en évidence les propriétés de dérivabilité de/(x). Car on ne connaît pas les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une série de polynômes puisse être dérivée terme à terme.

C'est pourquoi nous allons donner un développement en série de fonctions transcendantes simples qui ne présente pas l'inconvénient indiqué.

Étant donnée une /onction f{x) qui admet des dérivées continues de tous les ordres entre — i e^ -i- i , o/i peut la représenter par un développement en série tel que

(2) \] (AA-a7*-+- B;tcosA:ira7-i- Ca sinXrTrar)

et les dérivées de f{x) seront représentées par les séries des dérivées correspondantes des ternies de cette série. Toutes les séries ainsi obtenues convergent unijormément entre — i

et -{-i.

Remarquons d'abord que, étant donné a priori un développement de la forme (2), on connaît la condition nécessaire et suffisante pour qu'il converge entre — i et -|- i ainsi que toutes les séries des dérivées.

En effet, si la série des dérivées m*'-*"*'

V rA:(A: — i) ... (A- — m 4- 1; AA:a:'«-+- Bk^kT.)"^ cos ( Arirar -+- '« ^ )

-f- G;t(A«)'" sin ikr^x -f- m - j

converge entre — i et -H 1 , elle converge en particulier pour j: = o. Or, en prenant par exemple m= 'Jtnj on voit que le terme gé-

néral se réduit à ( — i)'»B)t(A''7î)2'« pour x = o. Par conséquent, B^Ar^" tend vers zéro lorsque /c croît indéfiniment, quel que soi ta;; alors il en est de même pour B/^k'^ quel que soit l'entier m. De même, en considérant le terme général pour

ir = o, m = 2/i4-i,

on est amené à conclurie que Cm/C^ tend vers zéro quel que soit m. Dès lors la série

'^(x) = \^ I Bk(kTzy^ cosfkiza: -i- m ~ ) -t- C^iki:)"' s'infk-KX -^ "^j\

est uniformément convergente quel que soit x. Il faut donc que la série restante soit convergente entre — i et H- i et par suite que Kkk"^ tende vers zéro quel que soit m.

Il est donc nécessaire que les expressions A^Ar"*, B^A:'^, C^A:'" tendent vers zéro, quel que soit m, pour que la série considérée soit convergente entre — i et -i- i. Cette condition est d'ailleurs suffisante et, si elle est vérifiée, la série est la somme d'une fonction périodique de période égale à 2 et d'une fonction holomorphe entre — i et -{- i.

Démontrons maintenant le théorème que nous avions en vue ( ^ ). Pour cela, observons que le cas oh f{x) serait une fonction indéfiniment dérivable el périodique {Ae période égale à 2) se traite immédiatement. En effet, ^(j:) étant continue, périodique et indéfiniment dérivable peut se développer en série de Fourier

f{x) = S(BjtcosA7car 4- C^sinAiro?),

uniformément convergente quel que soit x. On sait de plus que ses dérivées peuvent être représentées respectivement par les séries uniformément convergentes composées des dérivées des termes du second membre.

Supposons que la fonction /(x), sans être périodique, sans même être nécessairement définie en dehors de l'intervalle

(^) Voir K. BoREL, Thèse, page 39. Il est à peine utile de faire observer qu'oa passe immédiatement au cas d'un intervalle quelconque par un simple changement de variable. Pour l'extension au cas de deux variables, voir E. Borel, Sur les fonctions de deux variables réelles {Annales de l'École Normale, 1896),

( — I, -I- i), soit telle que l'on ait

quel que soit /?, en appelant f^P^{ — i) la dérivée d'ordre p à droite de — i et/^/'^(4- i) la dérivée d'ordre/? à gauche de -|- i .

Dans ces conditions, nous pourrons former une fonction périodique ç(^), de période égale à 2, qui coïncide avec/(^) entre — 1 et -i- I et qui est partout indéfîniment dérivable. Alors on pourra répéter ce qui précède sur la fonction ©(j?) quel que soit x et ce sera vrai en particulier poury*(;r) entre — i et -^i.

Pour arriver maintenant au cas général, il nous suffira de montrer qu'on peut retrancher d'une fonction f{x) (supposée seulement dérivable à l'infini entre — i et -f- une série

uniformément convergente entre — i et -r 1 ainsi que toutes ses dérivées, de façon que la différence

satisfasse aux égalités

quel que soit/?.

Il faut pour cela que l'on ait l'égalité

OÙ le second membre est une constante connue Op.

Pour déterminer la fonction '/(^) par ces égalités, écrivons-la sous la forme

On aura en dérivant successivement cette égalité

2H(i) = Go, 4G'(i) = G„ 8H'(i) = G,— i2H'(i),

* 2îp+iH(«p)(i) =Gtp -HunefonciiondeH'(i),H'"(i),...,Hfï/'-iJ(i), 2îp-HiGt»^+»)(i)= G„,+i -h une fonction de G(i), G' (i), . . ., G(«pî(i),

Par suite, si l'on se donne arbitrairement pour / = i les dérivées

d'ordre pair de G(/) et vielles d'ordre impair de H(/), les autres seront déterminées successivement et d'une seule façon par ces égalités. En résumé, on peut trouver une infinité de systèmes de solutions des équations (3) :

G(i) = ^o, G'(i) = 5'„ ..., Gf/')(i) = ^/„ H(i) = Ao, H'(i) = A,, ..., Ht/'î(i) = A/„

II s'agit maintenant de déterminer les fonctions G et H au moyen de ces égalités. Considérons, par exemple, les équations relatives à la fonction G : le problème sera résolu si la série

est convergente dans un cercle de rayon supérieur à 2. En effet, on pourra la développer à l'origine en une série de Mac-Laurin :

^^oLnf^ dont le rayon de convergence sera supérieur à i . Alors la

fonction ^^a„x^'^ sera bien une fonction G{x^) uniformément

convergente entre — i e^ -f- i et telle que G^''^{i)=^ gp-

Mais, dans le cas général, non seulement la série (4) n'aura pas un rayon de convergence supérieur à 2, mais il arrivera que ce rayon sera nul, la fonction G{x^) n'étant pas régulière au point + I.

Pour traiter ce cas, nous ferons voir qu'il suffit de vérifier nos égalités ai^ec une certaine approximation pour pouvoir résoudre le problème. En effet, supposons qu'on ait trouvé une fonction

U(/) =^Wrt — j- dont le rayon de convergence soit supérieur ou

égal à un et telle que l'on ait, non pas l]^P^(i) = gp^ mais simplement

|Uî'''(i)-^pI<A,

A étant un nombre fixe indépendant de t. Alors, posons

et considérons la série

Puisque \lp\ < A, cette série est une fonction entière de t el, par conséquent, la fonction analytique U(/)-l-L(/) a un rayon de convergence au point t = o supérieur ou égal à i; d'autre part,

on aura évidemment

par suite, on peut prendre pour G la fonction U + L.

Il s'agit donc de résoudre le système d'inégalités du premier degré en nombre infini avec une infinité d'inconnues

|ao-+- W|-i- "î-t- M3-^.«--H "«-+-• .• — ^o| < A, |ai4- îiij-h Saa-h. . . -i- /i a,, -+- . . — ^|| < A, 2aj-h 6113-1-. . .-î- n(n — i)u„-h. . . — g*] <, Ay

Pour cela, considérons une série divergente à termes positifs décroissants

3^0 *• •'^l ^^ •^î ""T" • • • T" iP/i "i • • • ^

telle que Xn reste inférieur à un nombre fixe B et que la série

soit convergente, f On pourrait prendre, par exemple, la série

harmonique Xn= -A

D'après nos hypothèses sur les j?/, il sera possible de trouver un entier /lo =0, tel que Ton ait

aro -t- ari -+- . . . -+- .r „ , — I ^0 1 1 < B .

Prenons alors |«/o|==a:o, ..., Iw/ij=^/i,» les signes des quantités ;/o) • • •} ^n« étant identiques à celui de ^o* On aura

|ao-h...H-M„,— ^o| <B.

Déterminons ensuite un nombre /i,^/io-h i tel que l'on ait

1^/1,+i-H. . .-H a7„, — \g\ 1 1 < B, en posant

Nous prendrons

les signes des u étant celui de g\\ on aura donc

|( /lO -M) M/,,+1 -+- . . . -1- /Il Mn, — ^'l I < B.

Et ainsi de suite; ayant déterminé Uq^ . . ., u„ ^ on déterminera un nombre /i;>+<^/ip+ i , tel que l'on ait

avec

^i»+i = gp—P ' "p— • • •— '^pi'^p— • • • i^^p—P -»- w/»;,-

Et Ton prendra

(/iy,-4-i)... (np—p-^- 2) I M„^i I = a7„^H i, . . .,

(ce qui est possible, car n^ est supérieur ou égal à/? + i), en choisissant le signe de g'j,^^ pour signe de w„^^.j, . . ., u„^^^.

D'où

\(np-+- 1) . . . (np — p -{- 'a)u„^^i-\- , . .

En opérant ainsi indéfiniment, on déterminera tous les u. Or, on aura y en supposant |6| = i}

tto-H Mi H-...— ^0= «*o -H- ••-+-"/!, — gù

L/ioH-i /Il ni(/ii-i-i) J

La quantité entre crochets est plus petite que la somme de la

série convergente ~ H — ^ -4- . . . .

Par suite, la valeur absolue du premier membre est inférieure àB-4-S.

De même, on a eu général, avec |6^|^i.

t.. ^(j^-^ïM

Comme les xi vont ea décroissant, la quantité entre crochets

est inférieure à la somme des termes de la série ]Ç]— à partir du

terme de rang rip^^ — p -f- i , et par conséquent inférieure à S.

Le premier membre est donc inférieur en valeur absolue à B -i- S quel que soit/? : nous avons bien un système de solution de nos inégalités (en prenant pour A le nombre B + S). Le théorème est ainsi établi. Ija démonstration prouve, d'ailleurs, que Ton pourra former une infinité de développements de la même espèce que celui que nous avions en vue.

MÉTHODES d'interpolation.

Formule d^ interpolation de Lagrange. — Considérons une fonction y (a:) dont on connaît les valeurs C|, Cj, ..., Cn pour les abscisses x^^ X2, * • •, Xn- La formule de Lagrange permet de déterminer un polynôme de degré n — i qui prend les mêmes valeurs c< , Ca, . • . , c,i pour x^= x^fX^-, • . . , a:,, :

^ (07/ X)){Xi 072).. . (07/— 07/i)(a7/ — 07/-,.i) . . .(07/ — 07„)

On serait tenté de croire que le polynôme ^{x) sera d'autant plus approché de f{x) que n est plus grand; car n est le nombre de points communs aux deux courbes y ^=/(x) et j^ = V{x). En fait, c'est ce qu'on suppose souvent en Physique, lorsqu'on exprime approximativement la loi d'un phénomène au moyen d'un nombre fini d'expériences par une relation de la forme j^= P(^) où P{x) est un polynôme (par exemple dans l'étude des dilatations).

Si cette méthode était rigoureuse, on aurait là un nouveau moyen de développer une fonction en série de polynômes, et par

un procédé très simple. Car P(^) est de la forme \^C/Pi|(j7) où

les polynômes R4(x) sont indépendants de la fonction /{x) considérée et peuvent être calculés une fois pour toutes.

Il y a donc lieu de rechercher si l'approximation augmente avec n. Nous allons donner un exemple où c'est le contraire qui a lieu.

Nous montrerons ainsi que la formule d^ interpolation de Lagrange ne peut pas conduire au théorème de Weierstrass (*).

Considérons d*abord une fonction qui soit nulle aux points d'abscisses

— im — \) — (m — 2) 1.34

m m ni m m

et qui soit égale à — pour Tabscisse — • La formule d'interpolation de Lagrange fournira un polynôme Vm{oc) prenant les mêmes valeurs aux mêmes points

(x-\-i)(x -i ^^ J * » ' x.lx )lx \(x \ " ' (x — \)

\m / \ni m J m \ni nx] \m m/ \ m m/ \/?i /

Supposons maintenant que m soit impair : m = ^q -\- ï. Quel que soit l'entier q, le point d'abscisse - sera le milieu de l'un des

2/?î intervalles égaux séparés par les points d'abscisses

\ ni / mm

Considérons alors le polynôme P,„(j?) sans nous préoccuper

(*) Cet important résultat, que je croyais nouveau lorsque je l'ai donné dans mon Cours, avait été obtenu antérieurement par M. Runge. J'ai eu connaissance des travaux de M. Runge sur ce sujet par une communication que M. Mittag- Leffler a bien voulu me faire, au 3* Congrès international des Mathématiciens à Heidelberg, le 9 août 1904. M. Mittag-Leffler m'a appris de plus que, pour donner aux beaux travaux de M. Runge sur ce sujet une publicité en rapport avec leur importance, il en publierait prochainement une traduction française dans les Acta Mathematica. Le Mémoire original de M. Runge : Ueber empirische Funktionen und die Interpolation zwischen àquidistanten Ordinaten, a paru dans la Zeitschrift fiir Math, und Physik (t. XLVI, 1901, p. 229). M. Runge a exposé une partie de ses résultats dans un Livre à l'usage des ingénieurs : Théorie und Praxis der Ifeihen ( Sammlung Schubert^ Gôsschen'sche Verlagsbuchhandlung, Leipzig, 190^. Parmi les beaux résultats obtenus par M. Runge, je citerai seulement le suivant : si Ton calcule la formule de Lagrange, pour la

fonction j dans l'intervalle — 5, -+-5, on obtient un résultat qui converge

dans l'intervalle compris entre ±3,63, mais qui diverge en dehors de cet intervalle. On voit que cet exemple est bien plus simple que celui du texte. Je Crois devoir cependant maintenir ce dernier, car le mode de démonstration employé me paraît de nature à pouvoir rendre des services dans bien des questions analogues.

pour le moment de la fonction qui lui a donné naissance. Nous allons montrer qu'on peut déterminer un nombre k tel que l'inégalité m > k entraîne

A étant une quantité quelconque donnée à l'avance (' ). En effet, on peut écrire

~" (m-i- i){/7i -f- 2) l^i.fi, ,.{m — i)J (w -+- i)(/?i H- 3) . . . im

I "2 /H -h 3 2 Wl -f- 5 3 71? -+- 2

m(ni — 2)(3/?n-i) m-hi /n -+- 3 am

La première ligne du second membre est supérieure à

: ^^ — ; — r qui tend vers i lorsque m croît indéfiniment. Par

conséquent elle sera supérieure à - pour m > h^ si h est assez grand. D'autre part, on a

Par suite, on a pour m"^ h

P /iM>i (îz

Le second membre croit indéfiniment avec m; on pourra donc déterminer k > A, tel que l'inégalité m> k entraîne

Ceci étant, considérons une suite de courbes C|, C2) Cs? • • •) définies de la façon suivante. La courbe C^, est une courbe con-

(*) Nous avons pris le point- pour simplifier, on pourrait raisonner de la même manière sur le point d'abscisse — > n étant un entier quelconque fixe.

tinue qui coïncide avec O^ en dehors de l'intervalle (ôj^ii* ^) ^' qui a un maximum égal à ^— ^ au milieu de cet intervalle.

On pourrait prendre, /?ar exemple, dans cet intervalle, la courbe

v= --L-.sin3P+» -/^^— -i-V

Nous allons, à l'aide des courbes Cp, définir une courbe F; nous appellerons n^^r(^) le polynôme de Lagrange qui prend les

mêmes valeurs que les ordonnées de la courbe F aux points d'abscisses (*) :

Je vais montrer qu'on peut trouver une courbe F continue entre — i et + i , telle que la courbe y = Up^v{^) n'ait pas pour limite F lorsque p croît indéfiniment. Cela prouvera bien que la formule d'interpolation de Lagrange ne donne pas une approximation croissant avec le degré du polynôme employé.

Il suffit de montrer que l'on peut choisir F de manière que

^P^vlr) ne tende pas vers le point de F d'abscisse -• Or, remarquons que l'on a

en employant les notations précédentes. On peut donc prendre un nombre ht de façon que l'on ait

>2A pour/? — 1 = ^1.

(») On aurait un raisonnement analogue en divisant le segment —1, -M en intervalles de longueurs (2q -hi)'', g étant un entier quelconque fixe.

Deux cas pourront alors se présenter : ou bien H^^^c;, ( ~ ) ^^

tend pas vers zéro (ordonnée de C|, Cj, ..., pour x= -U

lorsque (A| restant fixe) p croît indéfiniment et alors la proposition est démontrée en prenant pour F la courbe Q^; ou bien alors on peut déterminer un nombre r^ tel que l'on ait

pour p^ ri.

Soit maintenant h^ un nombre entier supérieur à A| et r^. Considérons la courbe G!j formée des sinusoïdes qui figurent dans Q^ et Cp^i(p — 1 = ^2) et de l'axe Ox dans le reste de Tinlervalle

( — ï , -I- I ). La courbe C^ sera continue ; son ordonnée en :r =: s^ra nulle et l'on aura

H/i.Ci u = lI/i,C;., -+• ^p,C»-r

D'ailleurs, on a

puisque et

puisque Donc

P — iè/tî> /il.

n,,ci,(i)|>.A-^

pour/? — 1 ^ /«a-

Deux cas pourront alors se présenter : ou bien n„ t;. ^ ( - ) ne tend

pas vers zéro lorsque p croît indéfiniment et alors le théorème est démontré en prenant pour F la courbe C^a^, ou bien on pourra déterminer un nombre /'a ^el que l'on ait

°'''^i.''.(Op^ pour /?>/',.

On prendra alors un nombre As supérieur à h^ et /'a, et l'on formera une courbe C, . formée des sinusoïdes qui figurent dans C/,,,

/i/,, el Cy,4, (/> — I ~ /ta) et qui coïncide avecO^ dans le resie de l'intervalle. Et l'on recommencera sur C, „ le même raisonnement que sur Cj „. Alors, on voit que deux cas pourront se présenter. Ou bien, au bout d'un nombre fini n d'opérations, on trouvera une courbe C'„^ii^ continue entre — i et 4- 1 d'ordonnée nulle

en ^ = - et telle que 11-^;^ ( " ) ^^ tende pas vers zéro lorsque n

croît indéfiniment et alorsle théorème sera démontré. Ou bien, la suite de courbes G'^y^^sera telle que l'on ait, quelque soit n,

La courbe C';,^,^ est d'ailleurs formée de sinusoïdes qui figurent dans Q,, Q., . . . Ci,^ el de Ox dans le reste de l'intervalle — i, -h 1 . Considérons alors la courbe F formée des sinusoïdes Q,, C^^ C>i • • . Ca„, . . ,, et de Ox dans le reste de l'intervalle ( — i 4- i). L'ordonnée j^ de F est une fonction de x évidemment continue pour Xyéo. Elle est aussi continue pour ;r = o, car j^ = o pour X = o et \y\ < \x\ dans tout Fintervalle. De plus, l'ordonnée

de F est nulle pour :r = -• 11 suffit donc, pour démontrer le théorème, de faire voir que 11^ p (r) '^^ ^tvi^ par vers zéro lorsque p

croît indéfiniment. Or ceci est bien évident, car, d'après la disposition de la courbe F, on a

quel que soit /i. Par suite, l'expression 11^ p f- j ne peut tendre

vers o (*) puisque sa valeur absolue reste supérieure à A pour une infinité de valeurs de p \ h\^ h^, • . • , /t/i, • • • .

Formule générale d' interpolation, — Nous allons maintenant montrer qu'on peut remplacer l'emploi de la formule de Lagrange par un autre procédé d'interpolation, à la vérité plus compliqué,

(*) D'après la remarque que nous avons faite, il y a même une infinité d'abscisses : — en lesquelles la courbe j^ = n^ p {x) ne tend pas vers la^courbeT.

8o CHAPITRE IV.

mais qui offre Favantage de fournir une approximation indéfiniment croissante. Pour préciser : on peut former, une fois pour toutes, des polynômes ^p,q{x) qui jouissent de la propriété suivante. Etant donnée une fonction f{x) définie et continue entre o et i y on a

/(a:) = ni-*-(n, — ni)-f-...-H(n„-.n„,)-i-...

en posant

et la série de polynômes qui représente f {x) converge uniformément entre o et i.

En d^autres termes^ la connaissance des valeurs de la fonction continue pour les valeurs rationnelles de la variable permet d^ écrire immédiatement les polynômes d^approximation, au moyen des polynômes P|,,^(^), calculés une fois pour toutes indépendamment de toute fonction particulière.

Nous démontrerons ce résultat en introduisant les fonctions ^p^q {x) continues entre o et i, qui sont définies par les égalités suivantes (en supposant/? ^5^) :

çpp^ç(a7)=o, pouro^ar^^- et pour a? ^ ^- ;

Op^q{x)^ — ^a?-+-/>4-i, pour — ^3cS,i. .

On déterminera ensuite les polynômes \^p^q {x) de façon que l'on ait, entre o et i.

Alors, on aura

?P,7(^)-Pp,7(^)l<^

Pp,7(^) = ?/',7(^)-+- ^ ^pA^) avec \tp,q{x)\ < i- D'où

en posant

REPRESENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 8l

Il me suffira de montrer que ^q et s^ tendent uniformément vers les limites /(^c) et o lorsq ue q croît indéfiniment. Or |/(a7)| est borné entre o et i. Soit |/(^)| < M, on aura

Donc ^q(^) tend uniformément vers zéro.

D'autre part, soient x un point quelconque entre o et i , et ^ un entier quelconque; on peut toujours trouver un nombre/?^ y, tel que l'on ait

On a donc

PC

et

0/1,7=1—0, Op^.i^^=0, ..., 0^,^=0.

D'où

Or on peut prendre le nombre q assez grand pour que l'inégalité

entraine partout

et, par suite,

Autrement dit, ^q{x) tend uniformément vers/(^). Par suite \iq(^x) tend uniformément vers f{x) et la série

converge uniformément versy(a:).

Il est d'ailleurs clair que l'on pourrait, dans ce qui précède, E. B. 6

8a CHAPITRE IV.

remplacer l'ensemble des nombres rationnels par un ensemble dénombrable parlout dense quelconque. L^extens:on à n variables est immédiate.

Pour les applications, il serait très intéressant de calculer effecti^'ement les polynômes P;>,^(^) au moins pour les petites valeurs de /? et de 5^ (si l'on ne peut pas obtenir de formule générale). Pour faire ce calcul, on pourrait employer l'une quelconque des démonstrations du théorème de Weierstrass. On aurait ainsi des formules d'interpolation applicables à toute fonction continue avec un succès certain. On peut s'arranger de manière que ces formules soient dérivables, lorsque les dérivées existent. ( Voir une Communication de M. E. Borel, dans les Comptes rendus du 3® Congrès international des Mathématiciens.)

Méthode d^ approximation de Tchebicheff (*).

Les méthodes de représentation des fonctions par des séries de polynômes peuvent être comparées à celles qui permettent de représenter un nombre quelconque par la limite d'une suite de nombres rationnels. Dans cette dernière question, la considération des fractions continues permet d'obtenir une représentation univoque d'un nombre donné. De plus, en s'arrétant à une réduite quelconque, on obtient une fraction qui présente une approximation supérieure à celle qui est donnée par toutes les fractions dont les termes ne sont pas plus simples.

Un progrès analogue peut être obtenu, dans le problèipe qui nous occupe, par la méthode de Tchebicheft*. Son objet est le suivant : étant donnée une fonction f{x) continue dans l^ intervalle (a, 6), chercher s'il existe un polynôme approché n(:r) donnant une approximation supérieure ci tous les polynômes de même désiré n.

(') Voir Tchebicheff, Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approchée des fonctions ( Bulletin de la Société physico-mathématique de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. XVI, i858, col. 1 45-1 49; Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint- Pétersbourg y l. IX, iSSg, p. aoi-agi).

La méthode de Tchebicheff a été reprise et rendue rigoureuse par M. Paul KirghVA^bbrger, Inaugural-dissertation : Ueber Tchebyche/sche Annàherungsmethoden, Gottingen, 1902. Nous avons utilisé dans ce qui suit cet important travail.

Pour préciser cette question, considérons un polynôme de degré /i : P(^) = Ao^"+ Ai^r""' -h. . . -i- A„ et posons

La fonction \jr\ est continue dans l'intervalle (a, 6), elle y atteint donc au moins une fois son maximum m. Lorsque le polynôme P(j?) varie en conservant le même degré, m varie également; c'est une fonction de Ao, A|, . . ., A,i : /w(Ao, A|, . . ., A^). C'est même une fonction continue, car on peut faire varier assez peu les quantités Ao, A,, . . ., An, pour que \y\ varie de moins de e dans tout le domaine limité (a, b) et par suite pour que m varie aussi de moins de e.

D'ailleurs, m est positif ou nul; si même, comme nous le ferons maintenant, nous supposons que y(^) ne coïncide pas entre a et b avec un polynôme de degré /i, m sera certainement positif. Par suite, l'ensemble des valeurs de m, lorsqu'on fait varier Aq, •••} A/2 de façon quelconque, a certainement une limite inférieure jjl. Il s'agit de savoir si cette limite inférieure est atteinte pour un polynôme déterminé de degré n :

11(37) = ao^'*-f-. . .-f- a„,

que nous appellerions /?o(^/io/we d'approximation de degré n.

La fonction /w(Ao, ••., A^) étant continue atteint certainement sa limite inférieure fx' lorsque Aq, . . . , A;^ varient dans un domaine borné et fermé quelconque (c'est-à-dire, en particulier, lorsque les A/ restent entre des limites finies données). Mais, en général, [/' sera supérieur à [x.

Pour tourner cette difficulté, nous allons montrer qu'on peut déterminer des limites pour les ^; telles que, en désignant par [jt' la limite inférieure de m lorsque les A^ restent entre ces limites, on ait certainement [x'= [ii.

Observons d'abord que ^ est au plus égal au maximum M de 1/(^)1 dans l'intervalle (a, b). Car on a

jjil m(o, o, 0, .. ., o) = maximum de \f{x) — o| dans (a,b) = M.

Par suite, on ne change pas le problème en se restreignant aux polynômes de degré n pour lesquels on a /n ^ M. Or ces polynômes sont tels que les variations de leurs coefficients sont bornées. En

effet, soit P(^) Tun d'eux; on a entre a et b .

IP(^)l^l/(^)|H-lP(^)-/(^)|^M + m,

et pour les polynômes que nous prenons : m^M; donc

|P(a:)|l2M entre a et 6.

Dès lors, on pourra écrire tous ces polynômes sou^ la forme

^^ (Xi — Xo) . , . {Xi— Xt^i)(Xi— Xi^i ) . , J Xi— Xn)^

OÙ Xq^ Xi, . . ., Xn sont /i-H I abscisses yî^e^ comprises entre a et 6 et où les y/ restent en valeur absolue inférieurs à 2 M. Nous emploierons la notation (due à M. Poincaré)

(en supposant B'^,, . . . , B^, tous positifs), pour indiquer que l'on a

\Bp\<Wp (p = o, I, ..., n).

Nous aurons alors

K )'^ ^ ^ \{xi — Xo).,,{Xi—Xi-i){xi—xi+i),.,{X£ — x.-)\

Le second membre est un polynôme dont les coefficients sont fixes, Mo^" + . . .-HM,,. Par conséquent, on a, pour tous les poljnomes considérés,

(4) lAoUMo, ..., |A„|5.M„.

Par suite, /w(Ao, A|, . . ., A^) atteint sa limite inférieure [jl pour au moins un point (ao, ai, . . •, a;,) du domaine D (^) défini par les inégalités (4).

Ainsi, il existe bien au moins un polynôme d'approximation de degré n : n(a;) = ao-^" + « • --h <*/*• Ceci montre en même temps que [x est positif ; sans quoi, si [x était nul, /(;r) serait iden-

(*) Ce raisonnement n'exclut pas l*hypothèse où a«=o, c'est-à-dire où le degré du polynôme n(â;) serait inférieur à /i. Nous le considérerions encore comme de degré n avec un premier coefficient nul.

lîque entre a et i à un polynôme n(^) de degré /?, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Nous allons démontrer maintenant une propriété essentielle des polynômes d'approximation : // existe un seul polynôme d^ approximation de degré donné n pour la fonction continue f(x) dans V intervalle (a, 6).

Nous savons déjà qu'il en existe au moins un : n(:F). Posons jy =/(x) — U(x). La fonction continue \y\ atteint son maximum [x pour au moins une valeur de x dans l'intervalle (a, b). Soient a une telle valeur et ^ la valeur correspondante de y; on a ^ = ±; a. Appelons A' l'ensemble des points a' pour lesquels p'= [x et A'' l'ensemble des points a" pour lesquels on a p"= — [a; l'un au moins des ensembles A', A" n'est pas nul. Ces deux ensembles sont évidemment fermés puisque^ est continu. D'autre part, on peut trouver un nombre 20 tel que l'oscillation de ^ soit inférieure à un nombre positif e<; {x dans tout intervalle de longueur inférieure ou égale à 28, compris dans (a, b).

Par suite, dans tout intervalle I de longueur S ayant pour milieu un point a' il n^y aura aucun point a". De même dans tout intervalle J de longueur 8 ayant pour milieu un point a'' il n'y aura aucun point a'. Enfin, on pourra former autour de tout point y qui n'appartient ni à A', ni à A^, un intervalle K ayant ce point pour milieu et qui ne contient au sens étroit aucun point de A ni de A''. D'ailleurs tous les points de (a, b) sont chacun intérieurs au sens étroit à au moins un intervalle I, J, K. Par suite, on peut former un nombre fini k de ces intervalles tels que chaque point de (a, b) soit contenu au sens large dans l'un au moins d'entre eux et il en sera de même des intervalles contigus qu'on obtient en supprimant dans les k précédents leurs parties communes. Cela fait, si deux intervalles consécutifs ne renferment ni l'un ni Tautre aucun point de A' (ou aucun point de A"), on réunira ces deux intervalles en un seul; après avoir fait cette opération aussi souvent que possible, on se trouvera avoir divisé le segment (a, b) en un nombre fini d'intervalles consécutifs, L|, L2, . . ., hp, qui ne contiennent chacun au sens large que des points d*un seul des ensembles A' et A", et tels que deux intervalles consécutifs renferment des points l'un de A', l'autre de A".

De plus, si hç renferme des points de A', L^^i des points de A", la distance du dernier point de A' contenu dans L^ au premier point de A'^ contenu dans L^^.! est supérieure à 2 S. Par suite on peut supposer que l'extrémité commune des deux intervalles L^, L^+i n'appartienne ni à A', ni à A" et que sa distance aux points de (A'-trA'^) soit supérieure à 8. D'ailleurs il pourrait arriver qu'il n'y ait qu'un seul intervalle L qui serait (a, b).

Le raisonnement précédent s'applique quel que soit le polynôme n(^). Lorsque Il(x) est un polynôme d^ approximation, je dis que le nombre p des intervalles L est supérieur à /i 4- i .

En effet, soient a, Çi, $2, . . ., Ç/>«, b les extrémités de ces intervalles, et considérons le polynôme (')

Je dis que si /? — i ^ ^, on peut trouver un polynôme R(^) de degré n pour lequel le maximum m de \f{oc) — R(^)| soit inférieur au maximum [jl de | j^| = |/(:r) — n(j:)|. En effet, si p — i5/i, Q(^) est de degré n au plus et par suite aussi le f polynôme : R(^) = n(;r)-j- Q(^). Or Q(^) ne change de signe qu'en passant d'un intervalle L^ à l'inlervalle consécutif Ly+|. Par suite, on pourra choisir le signe de r\ de façon que Q(^) soit positif dans tout intervalle L^ qui ne contient que des points a' et négatif dans les autres.

D'autre part, dans tout intervalle I, on a

fi-e</(ar)-n(^)^l-i

et, comme aucun intervalle I ne contient de points ^/, on a, dans tous ces intervalles,

hj8/'-i<!Q(:r)|<îrJ(^-a)/'-t.

Enfin, Q(^) est positif dans tout intervalle I (car tout intervalle I est contenu dans l'un des intervalles L qui contiennent des

points a'). Alors, si l'on a pris [7^ ]<; ,[ ^^ j on aura, dans tous les intervalles I,

( ' ) Dans le cas où il n'y aurait qu'un seul inlervaiie L, on prendrait Q ( j7 ) = -r^.

De même, on aura, dans les intervalles J,

Enfin, appelons E Tensembie des points de (a, b) qui ne sont intérieurs au sens étroit à aucun intervalle I ou J. Les valeurs de \y\T=\f(x) — n(^)|, pour les points de cet ensemble, sont limitées supérieurement et la limite supérieure [x' est cerlainement inférieure à [x. Car cette limite supérieure [jl' est atteinte, soit en un point extérieur aux intervalles I et J, soit en une extrémité de ces intervalles, mais jamais en un point intérieur au ^^r» i^t

ou [jl'<; |jl. Donc n(^) n'est pas un polynôme d'approximation ()<Q <|jrH; de desTé n. M tow ^

Réciproquement, soit un polynôme P(j?) de degré n et m le maximum de \y\ en posantj^=y(a:) — P(^)- Formons les intervalles L correspondants. S'ils sont en nombre supérieur à /i -H i, il n'y a pas de polynôme P|(^) d'ordre /i, distinct de P(J7), pour lequel le maximum rrix de \f{oc) — P4(ar)| soit inférieur ou même simplement égal à m. En effet, dans chaque intervalle L, \j\ atteint au moins une fois son maximum. Soient donc, par exemple,

des abscisses en nombre supérieur à /i -|- i pour lesquelles y prend les valeurs /w, — m, m, — m, .... Si l'on a m^'S.m^ le polynôme de degré n non identiquement nul

^{x) = [f{x)- V{x)] - [f{x) - P, (x)\ prendra en a',, a^, ... des valeurs

^^(«1)^0, 4.(aï)<o, 4/(a;)âo, ....

Ces conditions, en nombre supérieur à n 4- 1 , impliquent toujours l'existence de /i 4- i racines inégales ou égales pour ^(j?), ce qui est impossible. Donc J'(^) est identiquement nul, c'est-à-dire que Pf {x) est identique à P(^).

De ce qui précède il résulte d'abord quUl n^existe jamais qu'un seul polynôme d'approximation de degré n. Il résulte aussi que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un po^ lynome de degré n soit un polynôme d' approximation est que le nombre des intervalles L soit supérieur à n-^i.

Étant donnée la fonction /"(j?) continue entre a et 6, il existe un polynôme d'approximation déterminé pour chaque valeur du degré 71. Soit U.n{x) ce polynôme et [x„ le maximum de \f{x) — !!« (a:)| dans l'intervalle (a, 6). Si l'on suppose que f{x) ne coïncide entre a et 6 avec aucun polynôme, y-n est une fonction univoque el positive Ae /i. C'est même une fonction qui n'est jamais croissante. Car lin{^) peut être considéré comme un polynôme de degré /i -H i et, par suite, on a Y-n^\frn^\* Les nombres [x» ne croissent jamais et restent positifs : ils tendent donc vers une limite X. Le théorème de Weierslrass (qui a élé obtenu postérieurement aux travaux de TchebichefT) nous apprend que cette limite est nulle. En effet, dans le cas contraire, il n'y aurait aucun polynôme P(^) tel que l'on ait dans tout l'intervalle (a, b)

ce qui est contradictoire avec le théorème de Weierstrass.

Nous avons observé que le degré de U.n{x) pouvait être inférieur à /i; soit niji le degré de 11^; nin est nécessairement une fonction de n qui n'est jamais décroissante. De plus, on ne peut avoir mn= /''//+« que si [JL/i=: [Jl„^.|. Or, lorsque n croît indéfiniment, [jLn est toujours positif et tend vers zéro; par conséquent, |jL» décroît en passant à ^-n-^-i pour une infinité de valeurs de n (sinon pour toutes). Par suite, nin croît (et d'au moins une unité) pour une infinité de valeurs de n. Donc le degré nin de n„(^) crott indéfiniment avec n.

Enfin, on voit que la série de polynômes dont la convergence uniforme vers f{x) est la plus rapide pour des degrés successifs donnés sera la série

ni-4-(nj— n,)-+-(n3— ns)-4-...4-(n„— n«i)-4-...,

qui présente le caractère de représentation univoque que nous avions voulu obtenir. Toutefois, observons que la correspondance

entre le développement et la fonction ne se poursuit pas dans tous ses détails. Ainsi, la somme des polynômes d'approximation de degré n de deux Tondions continues n'est pas toujours le polynôme d'approximation de la somme de ces deux fonctions.

En utilisant le théorème de Weierstrass on peut arriver à calculer avec autant d'approximation que l'on veut les polynômes de Tchebicheff. La méthode peut ainsi être utilisée pratiquement pour la représentation effective en série de polynômes.

Pour le voir, nous démontrerons d'abord que la correspondance entre une fonction continue et son polynôme d'approximation de degré n, est continue.

Autrement dit; soient

les polynômes d'approximation de degré n de deux fonctionsy(j:) et g{oc) continues dans l'intervalle (a, b). Je dis que, à tout nombre positif •r\^ on peut faire correspondre un nombre s tel que Vinégalité

supposée vérifiée dans tout V intervalle (a, b), entraîne

|^«o|<Tî, |Aa,|<r^, ..., \l%n\<ri.

En effet, soit \k le maximum de \y\ en posanty =/(j7) — ïln{x). Si l'on écrit aussi z^=^g{x) — "Unix) — An„(^), le maximum àe\z\ est au plus égal à celui de \g{x) — II„(^a:)|, puisque Un -f- AU,, est le polynôme d'approximation de g, Orj on a

\g{x)-Un{x)\Ug{x) ^f{x)\ + \f{x) - n«(^)|< IX -4- t.

Donc |2|<; ;JL + e entre a et h,

D'aulre part, formons les intervalles L relatifs k y, Tl y en a un nombre fini A>>/i + i. On pourra prendre un point dans chacun de ces intervalles de façon que les valeurs correspondantes de y pour les abscisses

*I < «t < *3 < «4 < . ; • < «rt-HÎ < . . .

soient alternativemeDt -h [a et — [x. On aura donc, à la fois,

(— iyfjL = U«(a/)— /(«/) = ( — i/{x («=i, 2, ..., n-4-i, ..., A:). D'où, en ajoutant membre à membre,

ou

An„(a,)>— 2e, An„(a,)<-i-2e, An„(a3)> — 26,

Je vais montrer maintenant que l'on a nécessairement

|An;,(a:)|<2e

pour tous les points de l'un au moins des intervalles ol^ol^^ (^2^3} a3a.|, ..,, OLfi^KOLn^i* Il ^^ suffira de faire voir que dans le cas contraire le polynôme AII„(x) de degré n aurait au moins n maxima ou minima distincts, ce qui est évidemment impossible puisque la dérivée de Alla est de degré {n — i).

Supposons donc qu'il existe, dans chacun des intervalles indiqués, au moins une valeur a'^, a'^, .. ., a^^^, de x pour laquelle on ait |An„(^)|>2e.

Si Ton a An„(a,)<; — 2e ou AII,i(a!,) < — 2e, comme on a An,i (o^i) > — 2 e et AH^ (as) > — 2 e, il y a un minimum de AH,/ (x) atteint dans l'intervalle a^ as.-Sinon, on a

An„(a'i)>2e, An„(a;)>2e et An;»(aj) < 2e;

il y a donc encore un minimum entre ai et as.

De même, si An„(a!,) > 2e ou ^Wn{^^)^ se, comme on a

An„(a,)<2e et AIJ„(a4)< 2 e,

il y a un maximum entre ol^ et a^ ; sinon on a i^YYni^^) ^ — ^*j AII;i(a3)<; — 2e et An;,(a3)> — 2e et il y a un maximum entre QL2 et a^. Et ainsi de suite : il y a alternativement un minimum, puis un maximum dans chacun des n intervalles ai as,

Ainsi, il est bien prouvé qu'il existe un intervalle H| : (a/, a/^,) dans lequel on a constamment |An,i(ar)| < 2e.

Lorsque o'(-c) varie en restant tel que l'on ait \/{j^) — © (•^)|<Cs, Alln varie, mais l'inégalité [Anrt(a7)| < 2e est toujours vérifiée dans Tun au moins des n + i intervalles H|, H2, . ••, Hn+i sans que ce soit nécessairement toujours le même. Prenons n -H i points^^es dans chacun des intervalles H/ : x^l\ j:!f, ••., ^^'|,, on pourra toujours mettre àJl„(x) sous l'une des n + i formes

j, /^N __ V n ') (^ — ^1'^ ) ... (3? — œ'^li )(x — x^lli ) ... (3- — x,li^ )

Or, on a

(i = I, .. ., n -t- 1), avec |wj/^|<2e.

t;;/(a?) < 2£(MS/^5?«-f-. . .-h Mjp ),

avec

Les quantités M^^ sont des nombres positifs fixes indépendants de la fonction g{x)'^ soit N le plus grand de tous; N est indépendant de g(x) et de e; on peut donc prendre e de façon que l'on ait 2 sN < r,, quel que soit le nombre positif donné d'avance tj.

Par suite

C'est ce qu'il fallait démontrer; on en déduit en même temps que dans l'intervalle (a, b) on aura

|An«(a7)I<r,(c«-+-c»-îH-...-4-l),

en supposant c >■ 1 6 1, c^[a|.

Par suite, en prenant tj assez petit, on pourra rendre le premier membre inférieur dans (a, 6), à une quantité positive donnée V*

Revenons à l'application que nous avions annoncée. Étant donnée la fonction f{x) continue dans (a, 6), on peut prendre pour fonction g{x) un certain polynôme P(^), d'après le théorème de Weierstrass. Or la recherche du polynôme d'approximation na+ Ail/, d'un polynôme donné P(.r) est évidemment un

problème algébrique que l'on pourra toujours résoudre par des moyens d'ailleurs plus ou moins compliqués, sur lequels nous ne nous étendrons pas.

On obtient ainsi les coeHicienls du polynôme d'approximation H/i de f{x) avec une approximation inférieure à un nombre quelconque t^ donné d'avance. Ceci revient à dire que l'on sait les calculer. Ainsi, lorsqu'une fonction continue est donnée de telle manière que Von sache calculer les polynômes approchés de Weierstrass, le calcul des polynômes d'approximation de Tchebicheff n' exige que des opérations algébriques.