REPRÉSENTATION DES FONCTIONS DISCONTINUES PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES

Nous avons vu que la somme d'une série de fonctions continues dans un intervalle (a,,b) peut être une fonction discontinue (p. 38). Nous avons vu aussi que la somme d'une telle série peut être représentée par une série de polynômes qui converge dans (a, 6).

Par conséquent, le théorème de Weierstrass( p. 5 1) n'admet pas de réciproque. On peut seulement observer que, si une fonction discontinue est représentable dans un intervalle (a, b) par une série de polynômes, cette série ne converge pas uniformément dans (a, 6); elle n'y converge même pas quasi-uniformément (p. 42).

Il est naturel, maintenant, de chercher à étendre à des classes de fonctions plus vastes que celle des fonctions continues les méthodes d'approximation par des polynômes (*).

Le procédé le plus simple consiste à trouver une fonction continue de Xy fi^j ê)? q^^ tende vers la fonction donnée f{x)^ lorsque s tend vers zéro. On pourra ensuite déterminer un polynôme P(a', e) tel que l'on ait, dans l'intervalle (a, 6),

Par suite, on aura

P(:r, e)=/(:r, £)-hOÊ

(^) Pour tout ce qui concerne les fonctions discontinues, je ne puis mieux faire que de renvoyer aux Leçons sur les fonctions discontinues de M. Bairc, qui paraîtront quelques semaines après cet Ouvrage. M. Baire faisait son Cours au Collège de France en même temps que je faisais le mien à l'École normale, et j'ai été bref sur les parties qu'il traitait. On sait d'ailleurs quelle autorité ses travaux si profonds et si personnels confèrent à M. Baire -dans ces questions.

avec

el P(a;, s) lend versy"(^) lorsque e tend vers zéro. On peut donc écrire

/(x)=p(x, i)+rp(x, i)-p(^, 1)]+...

De plus, on voit que si dans un intervalle partiel (a i,f^i), f{x^z) lend uniformément vers y*(j7), la série convergera uniformément vers y(a:) dans ce petit intervalle. Si Ton désire qu'elle converge de plus absolument dans un intervalle on utilisera la remarque de la page 66.

Fonctions discontinues en des points isolés, — Considérons d'abord une fonction /(x) continue dans Tinlervalle («, b) sauf aux points d^abscisses x^t ^2; •••? ^/i* I^i^ prenant c suffisamment petit, elle sera continue dans le domaine D formé par ce qui reste de Tintervalle (a, b) lorsqu'on enlève les segments <^i{''^i — S, Xi-he). Nous allons maintenant former une fonction /{x, e) continue dans tout l'intervalle («, 6), coïncidant aL\ec/(x) dans le domaine D et qui tende vers /(x). Pour cela, supposons d'abord que la fonction y(^) soit bornée entre a et i; alors /"(.r) a une certaine valeur finie en xi» Soient A, A', B les points de la courbe y =/(x) qui ont pour abscisses xi — e, Xi -+- s, xi. Nous prendrons pour les portions de la courbe j/'=y( a?, e) comprises entre les droites : x = Xi — £, a; = av -H s, les droites AB, BA'. Et de même dans tous les segments o-/. La fonction /(x, e) ainsi définie est continue dans (a, 6) et lend versy(^). Elle tend même uniformément vers /{x) dans le domaine D qui correspond à une valeur déterminée quelconque de s.

Si, pour une abscisse a:/, la valeur de la fonction y(x) était ± oo,

On prendrait pour ordonnée du point B le nombre ± -•

Fonctions dont tes discontinuités forment un ensemble dénombrable E. — Il n'est pas évident qu'on puisse trouver une fonction dont les discontinuités forment un ensemble dénombrable quelconque.

REPRESENTATION DES FONCTIONS DISCONTINUES. qS

Ainsi, à un point de vue analogue, on sait que Fensemble à deux dimensions des singularités d\ine fonction analytique au sens de Weierstrass est un ensemble fermé. Il v aurait donc lieu de se demander si le seul fait d'imposer à une fonction réelle certains points de discontinuité sur Taxe Ox n'entraîne pas à lui seul l'existence d'autres points de discontinuité.

Cependant nous allons montrer qu'on peut considérer un ensemble quelconque E de points sur l'axe O^ comme ensemble de points de discontinuité, lorsque cet ensemble E est dénombrable. En effet, soient ai, ao, ^3, •.., a^, ••• les abscisses

des points de E. Appelons /(^) la fonction qui est égale à -

pour x=. Un et qui est nulle pour les points a qui n'appartiennent pas à E. Cette fonction admet comme points de discontinuité les points de E et ces points seulement. En effet, dans un intervalle {an — A, a,i-+- A) si petit qu'il soit autour de ««, il y a des points a (sans quoi E aurait la puissance du continu). Par suite, Toscillation de f{x) au point an est certainement supérieure ou

égale à -• Ainsi tous les points an sont des points de discontinuité; il n'y en a pas d'autres. En effet, soit e un nombre positif donné et soit N un entier déterminé supérieur à -• Si un point a

n'appartient pas à E, il est distinct des points ai, a^-, •••• %: soit 2/t la distance minimum de a à ces points. Tous les points x compris dans l'intervalle (a — A, a -f- A) sont des points de E de rangs supérieurs à N, ou bien n'appartiennent pas à E. Dès lors,

on a

l/(^)-/(«)l<£ pour

\x — al < /*.

Par conséquent, les points qui ne sont pas dans E sont des points de continuité.

Nous allons montrer (*) qa une /onction /(x) définie dans un intervalle (a, h) et dont l'ensemble E des discontinuités est

( *) Voir Lebesoue^ Sur V approximation des fonctions {Bulletin des Sciences mathématiques, novembre 1898, p. 278).

dénombrable, peut être représentée par une série de polynômes {qui converge uniformément dans tout intervalle intérieur à un intervalle de continuité).

Soient G l'ensemble des points de c(E) qui appartiennent à E , H l'ensemble des points de c(E)qui n'appartiennent pas à E'. Tout point de H est situé dans un intervalle de continuité; soit (/:', A*') le plus grand possible (les points k^^ k'' appartiennent à E ou E) (p. 7). Les points de G ne sont dans aucun intervalle de continuité. Observons maintenant que les intervalles (/:', A^') n'ont pas de parties communes, il j en a donc un ensemble dénombrable (p. 7). Par suite les points qui appartiennent à E et les points A', A^' forment un ensemble dénombrable C : C|, C2, C3, . . •, c„, . • . •

Pour démontrer le théorème, il nous suffira de déterminer une fonction f{x^ n) qui tende yevsf{x) lorsque n croît indéfiniment et cela uniformément dans tout intervalle de continuité. Dans ce but, considérons dans la suite des n abscisses Ci, Cj, .••? ^nj deux points Cp^ Ce,' consécutifs sur Taxe Ox. Les points Cp, Ce ne peuvent être, ni l'un, ni l'autre, intérieurs au sens étroit à un intervalle (A', A^'). Par suite, s'il y a entre Cp et Ce un point d'un intervalle (A*', A"), cet intervalle est contenu tout entier (au sens large) dans Cp, Cg.

Alors deux cas pourront se présenter : i** il y a entre Cp et cv, zéro ou plusieurs intervalles (A*', A"); nous prendrons pour arc de la courbe y=f{^x, n) compris entre les abscisses Cp et c^, la droite CpCg en désignant en général par M le point de coordonnées : m, /(m); 2° il y a entre Cp et Cg un seul intervalle (A:', A"); soit alors (A',, A'j) un intervalle compris dans A^'A:'^ et tel que

La fonction /{x) est certainement continue dans Tintervalie {k\yk\), extrémités comprises. Nous prendrons pour la courbe y=/(Xj n), l'arc de courbe continu de y =/(x.) compris entre Kj et K* et nous joindrons Cp à K^ C^ à R* par des droites. Si maintenant on suppose que /(x) n'est pas finie, elle n'a de valeurs infinies que pour des points d'abscisses Cp^, c^^, .... Alors, dans Ja construction précédente, nous prendrons pour point C^. le point d'abscisse c^.et d'ordonnée ±n [suivant que

/{Cp.) = ±:go]. La courbe^ =y(a7, n), ainsi définie, est continue quel que soit n. Je dis qu'elle tend yers /(ix). En effet, /(cp, n) est égal À /{Cp) pour p^n^ ou croît indéfiniment si f(cp) est infini. De même, considérons un intervalle (A"', k"); ses extrémités sont deux points c^, Cp' Par suite, pour n^ q et n^ r^ f{Xy n) coïncide avec/(x) dans Tintervalle k\ k\ ; si l'on considère une abscisse x comprise entre k' et k"^ on aura f{x) =/(x, n)

lorsque n est supérieur aux quatre nombres : y, /•, r?» t* •

Donc, y(^, /i) tend versy(^) dans tout intervalle de continuité, et cela uniformément dans tout intervalle ^a:e intérieur au sens étroit à cet intervalle de continuité.

Restent enfin les points de continuité appartenant à G; soit a l'abscisse de l'un d'eux, c'est la liniite de certains points Cn* Comme /(a?) et/(^, /ï) sont continus pour x = ol^ on peut déterminer e de façon que l'on ait

pour

l/(^) -/(«)l < 7, et \f(T, n) -f(oL, n)\ < -L

Or, quel que soit n, il y a des points Cp dans l'intervalle (a — e, a 4- e) et d'indice aussi grand que l'on veut, en particulier d'indice plus grand que n, soir Cp^ l'un d'eux. Puisque />„ >• n, on a

et comme |c^^-^ a| <[£, on aura

l/(C/,J-/(a)i < ;i» \Acp„, n) -/(a, n)\ < i.

D'où

Ainsi, /(o:, n) tend vers /(a:) même aux points de l'ensemble G,

Voici une autre démonstration, due à M. Lebesgue :

Soit C4, C2, C3, . • . un ensemble E de valeurs de x partout dense

et contenant les valeurs de discontinuités. Rangeons par ordre de

grandeur les n premières valeurs de cette suite, on obtient ainsi la

suite

(S) é7, Cjt,, Cy„ ..., Ca^, b,

gS CHAPITRE V.

Désignons par/(j;, n) la fonction continue de x égale k f{x) pour chacune des valeurs de S et qui varie linéairement quand x varie entre deux valeurs de cette suite.

Je dis que, quand n croît indéfiniment, f{x^ n) tend vers/(.r). Cela est évident si x appartient à E. S^il n^en est pas ainsi, x est compris entre deux nombres de la suite S, Cp^, c^^ ei/(x^ n) est comprise entre

/(c?„) et /(CyJ.

Maisy(a;) est continue au point j:, puisque :r n'appartient pas à E, donc, Cp^ et Cy^ tendant vers x car E est partout dense, /{cp^) Gt/{CyJ tendent vers/(j?), et il en est de môme de/(j:, n).

Il est d^ailleurs évident que la convergence est uniforme dans tout intervalle de continuité; mais il faut des précautions supplémentaires pour que la convergence soit absolue.

Enfin, on peut remarquer que si E a servi à définir les polynômes T^p^q de la page 80, la fonction considérée admet le développement IIi 4- (lia — ITi ) 4- . . . , indiqué à cet endroit.

Théorème général de M. Baire. — l^cs méthodes précédentes nous donnent le moyen d'exprimer certaines fonctions discontinues sous forme de série de polynômes. Il serait très intéressant de déterminer, a priori, toutes les fondions auxquelles il y a lieu d'étendre ces méthodes.

La solution complète de ce problème a été obtenue par M. Baire (*). Nous n'exposerons pas sa démonstration qui nous entraînerait trop loin; mais, pour énoncer le résultat, il nous faut définir la continuité relativement à un ensemble.

Considérons une fonction y(^) définie en tous les points d'un ensemble linéaire E, et soit Xq un point quelconque de E. Nous dirons que f{x) est continue en Xq relativement a l'ensemble E, si Von peut faire correspondre à tout nombre positif s un nombre ol tel que l'on ait

pour tous les points x de l'ensemble E gui sont compris dans

(•) Voir Baire, Sur les /onctions de variables réelles. Thèse soutenue en mars 1899.

V inters^alle {xq — a, j?o + oc). (En particulier si E est l'ensemble des points d'un intervalle, la continuité par rapport à E est la continuité au sens ordinaire). •

Mais cette définition ne peut correspondre à une propriété Ae f{x) en x^ que si (aussi petit que soit a) \\ existe toujours au moins un point de E autre quea?o dans l'intervalle (»fo — a, x^-^- a), c'esl-à-dire si tout point de Tensemble est point limite. Il faudra même se restreindre au cas où E est un ensemble parfait si Ton veut que la continuité en tous les points de E entraîne la continuité uniforme dans E. Supposons donc E parfait; au voisinage d'un point de E, il y a toujours une infinité d'autres points de E. Si, au voisinage de tout point de E, il y a des points de E où la fonction est continue relativement à E, nous dirons que la fonction est ponctuellement discontinue relativement à l'ensemble parfait E.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème général do M. Baire : La condition nécessaire et suffisante pour qu! une fonction uniforme puisse être représentée par une série de polynômes est que cette fonction soit ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait (').

D'après la remarque que nous avons faite (p. 65), c'est aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse considérer la fonction comme limite de fonctions continues.

Admettons ce théorème. Il va nous permettre de donner un exemple d'une fonction qui n'est pas limite de fonctions continues. Il suffit de considérerla fonction f{x) définie entre o et i, qui est égale à o pour les abscisses rationnelles et à i pour les autres. Si Ton considère en particulier l'ensemble linéaire parfait E constitué par tous les points de l'intervalle (o, i), il est manifeste que tous les points de E seront des points de discontinuité relativement à E. Par suite, la fonction n'est pas ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait.

Classification de M. Baire, — M. Baire a proposé une classification des fonctions au point de vue qui nous occupe. Il appelle

( * ) La démoQstration de ce théorème est développée par M. Henri Lebesgue dans la Note II.

lOO CHAPITRE V.

fonctions de classe o toutes les fonctions conliDues. Il appelle tnsmle fonctions déclasse i toutes les fonctions discontinues qui sont limites de fonctions continues. Nous en avons trouvé des exemples à propos de la convergence des séries. Toutes les fonctions qui ont une infinité dénombrable de discontinuité' s sont des fonctions de première classe. Le théorème de Baire nous apprend même à quelles conditions une fonction discontinue est de première classe.

De même, on appellera fonctions de seconde classe toutes les fonctions qui sont limites de fonctions de première classe sans être de classe o ou i. Telle est la fonction y( a;) que nous avons définie au paragraphe précédent où nous avons montré qu'elle n'est pas de première classe. Elle est bien d'ailleurs limite de fonctions y„(:r) de première classe. Il suffit de prendre pour/«(j:) une fonction égale à i entre o et i sauf pour les points d'abscisses — (avec /^^gr^/i), lesquels sont en nombre limité et où l'on

suppose y*;, ( A') = o.

Plus généralement, on appellera fonction de classe n, toute limite de fonctions de classe n — i, qui n'appartient à aucune des classes o, i, a, . . . , 7z — i. Enfin, on peut définir des fonctions de classe w, co -H i ? • • • ? w-, . . . , to**^, ... en désignant par ces symboles les divers nombres transiinis de M. Cantor; mais nous n'y insistons pas.

Les théorèmes que nous avons obtenus nous permettent d'affirmer que les fonctions de classe o ou i sont les seules qui soient représentables par des séries de polynômes.

Mais, d'après la définition même des fonctions de seconde classe, on pourra les représenter par des séries doubles de

polynômes \] ^ P»,?? ^^ sommation étant effectuée d'abord par

rapport à j3, puis par rapport à a, sans qu^ on puisse réduire cette série double à une série simple. Et cette propriété caractérise les fonctions de seconde classe. Plus généralement, une fonction de classe n sera représentable par une série multiple d'ordre n dont tous les termes sont des polynômes.