LL

et réciproque entre les points de P (sauf les points N) et l’en-

semble continu formé par les points du segment (o, 1). Il suffit . évidemment de montrer : 1° que tout point de P qui n’est pas un point Nest un point M, ou un point m, ce qui a été établi page 8;

2° que tout point entre o et 1 est un point ; ou f, ce qui est

évident.

Donc P a la puissance du continu. On aurait pu donner de ce fait une démonstration plus courte, mais la méthode précédente (due à M. Cantor) a l'avantage de fournir une correspondance effective remarquable entre les points de P (sauf les points N, dont l’ensemble est dénombrable) et les points de (0, 1).

Ensembles mesurables.

Nous avons eu déjà l’occasion (p. 13) de parler de la mesure d'un ensemble linéaire. On peut généraliser cette notion de plusieurs manières (!). Cette extension est toute naturelle lorsque l'on considère un ensemble E formé des points d’une infinité d’intervalles sans points communs deux à deux et situés entre o et 1. On a vu que ces intervalles sont en infinité nécessairement dénombrable et que la somme :

ET em

de leurs longueurs est déterminée et au plus égale à 1. Ce sera la mesure de E; et la longueur 1 — s (qui peut être nulle) sera la mesure de l’ensemble complémentaire C(E).

Nous obtenons ainsi deux classes d’ensembles que nous pourrons appeler mesurables. On pourra en ajouter d’autres par les conventions suivantes. Si l’on a un ensemble dénombrable En d’ensembles mesurables E; sans points communs deux à deux, la mesure de E sera la somme des mesures des ensembles E;. Si … un ensemble mesurable E, est compris dans un ensemble me= ‘a

rence (a — 52) de pete mesures respectives 4, C2. On s'assure facilement (3 que la mesure ainsi définie est mn

nombre déterminé qui n’est jamais négatif, de sorte qu'on n'est.

=“ L fe Wir” ALT en ot ot eee PT AUS RS NT NUE OL ES e

(1) La définition donnée dans le texte a déjà été exposée par M. Borel dans les Leçons sur la théorie des fonctions (p. 46). Elle a été généralisée par M. Lebesgue , dans sa Thèse. On verra, dans ces deux Ouvrages, comment on est amené logi- LS quement à la définition de la mesure. LU | Z

(2) Voir par exemple LEBESGUE, Annali di Matematica, 1902, p. 238. pu

jamais conduit à des contradictions. Lorsque les définitions précédentes pourront s'appliquer à un ensemble E, nous dirons que cet ensemble est mesurable. Ainsi un ensemble qui comprend un seul point est mesurable et sa mesure est nulle; car l’ensemble complémentaire est évidemment composé d’intervalles sans points communs dont la longueur totale est égale à 1. Il en résulte qu’un ensemble dénombrable est mesurable et que sa mesure est nulle. D'autre part, un ensemble parfait est évidemment mesurable, puisque l’ensemble complémentaire est formé d’intervalles sans points communs. Or, un ensemble fermé F est la somme d’un ensemble dénombrable D et d’un ensemble parfait P. Donc F est mesurable et sa mesure est celle de P.

Plus généralement, un ensemble dénombrable E d’ensembles

. parfaits sera mesurable. Il en est ainsi, même lorsque ces en-

sembles parfaits ont des points communs. Car on obtient chacun d'eux en enlevant du segment (0, 1) une infinité dénombrable d’intervalles sans points communs. Par conséquent, on obtiendra l’ensemble total en enlevant de la droite une infinité dénombrable d'intervalles qu’on peut supposer sans parties communes, mais qui auront peut-être deux à deux une extrémité commune. Si l’on enlevait aussi ces extrémités communes, on aurait un ensemble mesurable E,. L'ensemble E est donc mesurable, puisqu'il est la somme de l’ensemble E, et de l’ensemble des extrémités communes, lequel est nécessairement dénombrable. \

Désignons en général par (E;+E,+...) l’ensemble des points qui appartiennent à l’un des ensembles E,, E:, ..., et

par (E,, E:, ...) l’ensemble des points qui appartiennent à la

fois à chacun des ensembles E,, E:, ....

Si les ensembles E,, E:, ... sont mesurables, les deux ensembles (E,+E+...), (E,, E:,...) sont aussi mesurables (*). Or, on peut remarquer que tous les ensembles que nous pourrons effectivement (2?) former seront obtenus chacun en effectuant un nombre fini de fois, sur des ensembles, sommes d’intervalles, ou sur leurs complémentaires, les opérations représentées par les symboles (E,+E,+...), (Es, E2, ...). Par

() Voir par exemple LEBESQUE, Loc. cit., p. 239, 240. (?) Ces ensembles sont dits mesurables B.

suite, ils seront tous mesurables. Pour préciser cela, nous exami- 5erons un cas particulier.

Appelons ensemble limite complet des ensembles E,, E;, ... l’ensemble E formé des points qui appartiennent à une infinité d’entre eux. Appelons aussi ensemble limite restreint des ensembles E,, ... l’ensemble R formé des points tels que, pour chacun d’eux, on puisse déterminer nr de façon que ce point appartienne à E,, E,,,, .... On voit que l’ensemble R est contenu dans l’ensemble E; mais il ne lui est pas identique, en général. di

On peut observer que l’ensemble limite complet E des ensembles E,, E,, ... est le complémentaire de l’ensemble limite restreint des complémentaires c(E,), c(E,), ... des ensembles donnés et de même en interverlissant les mots complet et restreint.

Je dis que, si les ensembles E,, E,, ... sont mesurables, ilen est de même des ensembles limites E, R. En effet, si l’on pose en = (En, En: +); on voit que l’on'a

R=(e tes test.) | é <

Par suite R est mesurable. Mais alors l’ensemble limite restreint des ensembles c(E,), c(E2) ..., qui sont mesurables, sera mesurable. Donc le complémentaire E sera mesurable.

Nous allons même montrer qu’on peut avoir un renseignement ; te E sur la mesure de E (ou de R), même lorsqu'on ne connaît ques | les mesures des E;. ve ! de

Pour cela, faisons d’abord remarquer que si chacun dés "A w" ensembles E; était mesurable et contenu dans le précédent, la à mesure de E serait la limite des mesures des ensembles E;. En

effet, l’ensemble c(E) est évidemment de la forme c(E)={c(E1)+[E, c(E:)]+2..-+[En, C(Enm)]+. | ÿ

par suite la mesure de c(E) sera la somme de leurs mesures. Donc, en appelant & la mesure de E, 5; la mesure de E;,ona I—6G— (L— 5) + (oi — 52) ++ (on — Gap) ce F7 PRET D'où 5 ee

\ os = limite o,..

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ENSEMBLES. 19 Supposons maintenant que parmi les ensembles E; il en existe une infinité qui soient mesurables et tels que la mesure 5; de chacun d’eux, F;; reste supérieure ou égale à un nombre positif fixe . Dans ces conditions, je dis que l’ensemble limite complet E contient un ensemble mesurable F dont la mesure n’est pas inférieure à Æ.

En effet, je vais d'abord montrer qu'étant donné €& (nombre positif plus petit que k), on peut former un ensemble mesu rable G,, de mesure supérieure ou égale à Æ, tel que (G,, F;)

ait une mesure supérieure ou égale à 4 — : quel que soit £.

Si l’ensemble F, ne peut pas être pris pour ensemble G,, il ÿ a |

un ensemble F; , tel que : mes.(F,, F;)< 4 — 2. Or on a [Fu cCF)]+ CE, F)= Fi.

Les deuxpremiers ensembles étant sans points communs, on aura

mes.[F, c(F; )]=mes.F;— mes.(F;,F;)2

Alors, posons IF c(F)]+F,=(Fi+rF;,).

L'ensemble F} sera mesurable, sa mesure étant supérieure ou égale à & + =: Opérons sur F} comme sur F, : ou bien F° répond à la question, ou bien on formera un ensemble F° dont la mesure le , x € € . ° s ë sera supérieure ou égale à (4 + =) + 5 el ainsi de suite; si aucun des ensembles formés au bout de p opérations ne satisfait aux conditions, le dernier pe sera mesurable et sa mesure sera supérieure ou égale à £+p 4 Or, lorsque p devient suffisamment grand, k+p 7 arrive à surpasser 1, ce qui est impossible. On trouvera donc l’ensemble cherché G; au bout d’un nombre limité ‘ d'opérations. D'ailleurs G, est évidemment formé de points tous contenus dans l’un au moins des ensembles F,, F,, .... Mais les ensembles G, = (Gi, F,,)sont mesurables et leurs mesures sont vers : à € :

supérieures où égales à # — ; Par conséquent, on pourra,

d’après ce qui précède, former un ensemble mesurable G; dont la

° ue = € mesure n’est pas inférieure à 4 — ; et tel que les mesures des ; ns , € £ ensembles (G2, G,,) soient supérieures ou égales à 4 — RE à

D'ailleurs, les points de G; seront tous contenus dans l’un des ensembles (G,, F>), (Gi, F3) ..., c’est-à-dire dans l’un des ensembles F,, ...,F,, ...:; ils sont tous aussi dans G..

Opérant sur les ensembles G —(G2, G,,») comme sur les ensembles (G;,, F»,,), on obtiendra un ensemble G; contenu

dans G: et dontles points appartiennent à F;,F,,.... De plus G;,

: Le A € € est mesurable, sa mesure n’est pas inférieure à £ — - — = et les +) j 4

ensembles (G:, G) ont leurs mesures supérieures ou égales

€ £ à 4 — = SR el ainsi de suite; on aura dés ensembles G,,

G2, G3, +.., Gr, -.. mesurables, chacun compris dans le précédent, et dont les mesures sont supérieures à À — e. D’après ce que nous avons vu, leur ensemble limite G est mesurable et sa mesure, limite de la mesure de G,, sera supérieure ou égale à Æ —s. D'ailleurs, un point À de G appartient à tous les ensembles G,, c'est donc un point de l’un des ensembles F,, F,,F,, ....1l ne peut appartenir seulement à un nombre fini de ces ensembles : Fm - ++ Pre Car, si N'est le plus grand des nombres m,,..., my, comme G est contenu dans G%,,, ses points appartiennent tous à l’un des ensembles FK,;, Fx,2, .... Donc À appartiendrait à d’autres ensembles que F»,, ..., F,: Par conséquent, tout point APN PE de G est un point de E- PAPE" 2 Prenons maintenant des nombres &,, €:, ..., en, ..., tendant vers zéro; soient G(e,), G(ez), +.., G(en), +.., les ensembles qui se déduisent de ces nombres comme nous avons déduit G de E°

nous prendrons

F=[G(a)+ G(e) +...+ G(en) +...].

4 L'ensemble F ainsi défini est contenu dans E et a une mesure au moins égale à #.

On pourrait définir F d’une manièré plus simple, mais ‘mettant,

moins en évidence sa construction : parmi les ensembles E;, les Fi sont mesurables et de mesure Zk; posons | ‘té PAS

H;,= F, + Fit Lu

et soit H l’ensemble des points communs à tous les H, ; comme H, est contenu dans H,, et de mesure au moins égale à k, H est de mesure au moins égale à #. Or E contient H; le théorème est donc

démontré.

De cette démonstration il résulte que, st les ensembles E; sont mesurables et s’il y en a une infinité de mesure supérieure ou égale à k, l’ensemble limite complet E (qui est mesurable) a une mesure supérieure ou égale à k.

Appliquons ce résultat aux ensembles c(E;); en tenant compte de ce que leur ensemble limite complet est c(R), on arrive au résultat suivant : si les ensembles E; sont mesurables et s'il y en a une infinité dont les mesures sotent inférieures ou égales à h. l’ensemble limite restreint R (que est mesurable) a une mesure inférieure ou égale à h. Ce résultat est d’ailleurs très aisé à démontrer directement.

Pour tirer de ces propositions tout ce qu'elles peuvent faire connaître sur la mesure de E et R, il suffit d'introduire la plus grande et la plus petite des limites (L et !) des mesures o; des ensembles E;. Oa pourra prendre pour valeurs des nombres k et, dans les énoncés précédents, les quantités L — & et {4e où € est un nombre positif aussi petit que l’on veut. Par suite, on peut dire que la mesure de E est supérieure ou égale à l'et que la mesure de R est inférieure ou égale à L.

En particulier, les ensembles E, R ne peuvent coïncider que si les mesures o; des énsembles E; tendent vers une limite déterminée qui sera la mesure commune de E et de R.

dr Ensembles de première catégorie.

M. Baire appelle ensemble de première catégorie (\) tout ensemble dénombrable E d’ensembles E,, E;, ... qui ne sont denses dans aucun intervalle entre o et 1.

Un point appartiendra à l’ensemble E s’il appartient à l’un des ensembles E,, E;, .... Si les ensembles E,, E;, ... ont des points communs, ceux-ci ne seront comptés qu'une fois dans E. D'ailleurs, on peut supposer que E,, E;, ... soient sans points

(1) ef; Hogsow, The theory of fonctions of a real variable (Cambridge, t. 1,

communs. En effet, soit E, l'ensemble des points de E, qui ne sont pas dans E,, soit E} l’ensemble des points de E, qui se sont ni dans E,, ni dans E,, .... L'ensemble E,+E, +E, +... l’ensemble E contiennent les mêmes points, chacun une fois. Et les ensembles E,, E',, ..., seront a fortiori non denses dans tout intervalle s’il en est ainsi pour E:, Es, ..

Soit C(E) l’ensemble complémentaire de E, c’est-à-dire l’ensemble des points du segment (0,1) qui ne figurent pas dans E. L'ensemble c(E) est dense entre o et 1; c’est-à-dire que, dans un intervalle (a, b) quelconque, il ÿ a des points qui n’appartiennent pas à E. En effet, dans (4, b), on peut trouver un intervalle (a,, b;) où il n’y ait aucun point de E, puisque E, n’est dense nulle part; de même, on peul trouver dans (a,, b,) un intervalle (@:, b;) où il n’y ait aucun point de F,, .... Comme on peut prendre &, b,, a203, ... aussi petits que l’on veut, on voit qu’on aura une suite d’intervalles 4,b, emboîtés les uns dans les autres qui tendront vers un point &. Îl y a donc bien dans (a; b) un point & qui n’appartient pas à E, sans quoi & appartiendrait, par exemple, à l’ensemble E,, ce qui est impossible puisqu'il est dans ab}...

Un ensemble dénombrable d’ensembles de première catégorie EU), ..., Et, .., est encore de première catégorie. Car si EM=EP+<S LE +..., l’ensemble des ensembles EE? sera un ensemble Héonabrable d’ensembles Ef” qui ne sont dise dans aucun intervalle. CR

Tout ensemble qui n’est pas de première catégorie sera, par

définition, de seconde catégorie; un tel ensemble, nécessaire= …

ment, sera dense dans au moins un intervalle partiel entre et 1: Par exemple, l’ensemble des points de (o, 1) est de seconde catégorie puisque, dans un intervalle partiel, tous les points de : cet intervalle appartiennent à l’ensemble. Il en résulte que si ur. ensemble quelconque E est de première catégorie, l’ensemble. complémentaire c(E) est de seconde catégorie, sans quoi la. somme de ces deux. ensembles [c'est-à-dire l'intervalle (o, 1 1]

serait de première catégorie. LE

Oscillation en un point. — Nous nous bornerons d’abord au cas d’une fonction uniforme d’une variable réelle f(x) définie dans un intervalle pour lequel nous pourrons prendre le segment (0, 1).

Soit £ un point compris dans l'intervalle partiel(x — h,r+h). L'ensemble des valeurs /(£) a toujours une limite supérieure M(x, h) s’il existe un nombre fixe B tel que l’on ait toujours f(È) < B. S'il n'existe pas un tel nombre B, nous dirons encore que /(£) a une limite supérieure M(x, h)— +. De même, f(£) a, dans tous les cas, une limite inférieure m(x, h) qui est la limite supérieure de — f(£). Observons que les limites supérieure et inférieure de f(£) peuvent ne pas être atteintes: en particulier, il peut arriver que /(E) soit toujours fini et que M soit infini. Tel serait le cas pour la fonction f(x) qui est égale à g lorsque x est

égal à la fraction irréductible : et qui est nulle quand x est

incommensurable.

On appellera oscéllation dans l'intervalle (x — h, x + Ah) la quantité w(x, h)—M(x,h)—mi(x,h).

Considérons maintenant les limites supérieure et inférieure de f(x) dans un intervalle (x — h/, x + h') plus petit que le précédent; soient M(x, k’), m(x, h'). On a M(x, #)SM{(x, h) puisque les valeurs que prend f(x) dans l'intervalle æ — ’, z + h! sont des valeurs de f(x) dans l'intervalle x — L, x +. De même m(x,h')=2m(x, h).

- Si donc on fait décroître le nombre positif À, on voit que M(x, h) décroîtra constamment ou du moins ne croîtra pas et inversement pour m(x, h). D'ailleurs M(x, A) reste manileste-

ment supérieur ou égal à f(x)etm(x, h) inférieur ou égal à f(x).

Ces deux quantités ont donc respectivement des limites M(x) et m(zx) lorsque k tend vers zéro de façon quelconque et l’on a

m(æ)£J(æ) SM(æ). é

Les deux quantités M(x) et m(x) qui sont bien déterminées en

chaque, point x de l’intervalle o,1 sont appelées le maximum et. ir S le minimum de la fonction f(x) au point x. WU peut d’ailleurs ie arriver que leurs valeurs soient infinies. On doit remarquer que les mots de maximum et de minimum ne sont pas employés ici dans leur sens ordinaire. Nous définirons aussi l’oscillation

de f(x) au point x, ce sera la quantité 2% RE

| w(z)=M(xz)— m(x) (2e

qui est toujours positive ou nulle (! ).

soit continue en un point x est que son So la en ce P ] soit nulle. 40

Par définition, la fonction f(x) sera continue en x si, q u

s ue soit la quantilé positive €, on peut roues un inte 4 ee — h, x + h) tel que l’on ait TRS TE DE) I ‘ ' ï # | fæ)—e< JE) <f(æ)+e, ‘#1 lorsque Ë est quelconque dans cet intervalle. S'il en est ainsi, on aura nécessairement

M(z, AS ftæ)+e, CÉREUQSCE

D'ailleurs w(x, h) ne croît pas Mere h d cro tet est w(x). Donc w(x) est inférieur ou égal à un nombre p qui est aussi pelil que l’on veut et, par suite, w(x) est mt Réciproquement, si ie 0; Ne aura

4 * à: fi

nai ions de pis” raribless

NOTIONS SUR LA CONTINUITÉ. 25 Or on peut trouver un nombre À tel que l’on ait M(x, h)—M(x)<e, m(æ)— m(x, h)<e.

Si E est compris entre x — h et x + h, on aura

mx, h)£f(&)SM(x, h),

d’où f(æ)—e<f(E) <f(x)+e.

Ainsi, lorsqu'une fonction f(x) est discontinue en un point x,

l'oscillation est sûrement positive en ce point. Nous pourrons

dire que la valeur de l’oscillation en un point est la mesure de

- la discontinuité en ce point. On peut alors compléter ainsi la

proposition précédente :

La condition nécessaire et suffisante pour que la mesure de la discontinuité en un point x soit supérieure ou égale à un nombre b ( positif ou nul) est que l’on puisse faire correspondre, à tout nombre positif e, un nombre h tel que l’on ait

pour (n| < |A KE) — JS) > Bb —e,

E, et &2 étant deux certains points de l’intervalle (x —n, x +). En effet, si celte condition est remplie, on a w(z, r)= Man) me, n)21f(E) —f(R)1> 6 —e.

Lorsqu'on fera tendre n vers zéro, on aura w(x) > db —:,

quel que soit & et, par conséquent, w(x)Zb.

Réciproquement, si w(æ)Zb, on peut trouver un nombre x tel que

€ étant un nombre positif donné. Or, on peut déterminer deux nombres &,, &, dans l'intervalle (x — h, x + h), tels que

SE) > Me hr —J()> me, h)— à D'où

)—/) > 0, TR >6—e

Il résulte presque immédiatement de, notre proposition que l’ensemble E des points où la mesure de la discontinuité de f(x) n'est pas inférieure à b(b => 0) est un ensemble fermé.

En effet, soit z, un point limite, s’il en existe, de points & où l’on ait w(4)2 db. On peut, dans tout intervalle (4; —n, « +), trouver une infinité de points x; considérons un de ces points æ distinct des extrémités de l'intervalle. Étant donné le nombre positif s, on peut trouver un intervalle (x = n!, « + n/) assez petit »! pour être compris dans le premier et dans lequel il existe deux: points &,, 2 tels que

[fCE1) —F(Es) > b —s.

Comme £, et £, sont compris dans l'intervalle (4, — n, & + n) et qu'on peut prendre ñ aussi pelit que l’on veut, on aura w(a,)2b d’après le théorème précédent et par conséquent x, est lui-même un point x.

Bien entendu, il peut arriver qu’il n’y ait pas de points limites de points z el dans ce cas E ne contiendra qu’un nombre ne. (ou même nul) de ROUE œ.

Fonctions ponctuellement discontinues. — On dit qu'une fonction f(x) est ponctuellement discontinue entre o et 1, si l’en= semble de ses points de discontinuités ne contient aucun intervalle. C'est-à-dire que, dans tout intervalle (a, b) compris entre o et 1, on peut trouver un point où la fonction est continue. Sora l’ensemble des points où l’oscillation de f(x) est supérieure ou

» x I . . RQ € # égale à = L'ensemble E des discontinuités de f(x) est formé de

tous les points qui figurent dans l’un au moins dés ensembles E L'ensemble E, est un ensemble fermé, qui ne contient aucun … intervalle puisqu'il est contenu dans E; donc il n’est dense dans | aucun intervalle entre o et 1. Il en résulte que E est un ensemble | de première catégorie. On sait même quelque chose de plus sur pa cet ensemble, car les ensembles E, sont fermés.

Cartons maintenant un ensemble dénombrable de fonc-. g tions ponctuellement discontinues entre 0.el 1: f1, ARS FR

dans tout intervalle (a, b) entre o et 1, ily a des points où.

toutes ces fonctions sont continues (!). En effet, l’ensemble des points de discontinuité pour l’une des fonctions f,, ..., fn, ... est l’ensemble dénombrable des ensembles de discontinuité de chacune de ces fonctions. Chacun d’eux étant de première catégorie, il en est de même de l’ensemble total (p. 22), ce qui démontre la proposition.

Continuité uniforme. — On dit que f(x) est uniformément continue dans un intervalle &, db, si l’on peut faire correspondre à tout nombre positifs un nombre positif 2 tel que l'inégalité

lË1— El < h

entraîne, pour deux points quelconques &,, &, de l'intervalle («, b), l'inégalité :

IPCE1) — Se) < €:

On voit d’abord que ceci ne peut avoir lieu que si f(x) est continue en tout point de l'intervalle a, b.

Réciproquement, si f(x.) est continue en tout point de l’intervalle (a, b), extrémités comprises, f(x) est uniformément conünue entre a et b. La restriction relative aux extrémités est essen-

. . . . [ . , tielle ; ainsi, sin— esl continu pour Loules les valeurs de z comprises

a Ve "1 ° , entre o et 1 sauf à l'extrémité x — 0; sin— n’est pas uniformément

continu entre o et1. | On connaît la démonstration classique du théorème que nous venons d’énoncer; M. Baire en a généralisé l'énoncé.

Tuéonème De M. Baime. — Sz, dans un intervalle (a, b), on a : w(æ)£b, on peut faire correspondre à tout nombre positif e un nombre positif n, tel que l'inégalité |E, — E:|<'n entraine pour deux points quelconques &,, &, de l'intervalle (a, b), l’inégalité :

LF(E1) —J(e2)1 < db +e.

En effet, si x est un point de l'intervalle (&, b), on peut former

488 (:) Ce théorème a été d’abord démontré par M. Volterra dans le cas d’un nombre fini de fonctions f,...., f,.

un intervalle (x — h,x + h) dans lequel on aura : w(x, À) — w(r) Le, ou M(x,h)—m(x,h)<b+e, et alors E,, 2 étant deux points quelconques de cet intervalle, on aura :

ICE) —Sf(R:)ISM(x, h)— mx, h) <b+e.

Ainsi, à tout point x de l’intervalle (a, b) on peut faire correspondre un intervalle MN (x — hk, x + h) dans lequel l'inégalité précédente est vérifiée, et qui contient x à son intérieur au sens étroit. Donc, d’après le théorème (p. 9), on peut trouver un nombre fini de ces intervalles M,N,, ..., M,N,, tels que tout point de (0, 1) soit au moins dans l’un d’eux au sens étroit.

Ceci étant, si l’on marque les extrémités de ces segments, ils partagent la droite en un nombre fini d’intervalles 48 dont la longueur minimum est un certain nombre positif n. Si deux points Ë,,Ë; du segment (0, 1) sont séparés par une distance inférieure à n, ils sont dans le même intervalle 48 ou dans deux intervalles 48 contigus; donc ils sont dans le même intervalle M;N; et l'inégalité est bien vérifiée.

Nombres dérivés.

Paul du Bois-Reymond et Dini ont étendu la notion de dérivée

d’une fonction au cas d’une fonction continue quelconque. Con-

sidérons la quantité

MS SE hf)

où À est une quantité petite et différente de zéro. L'expres-

sion w(x, h) est bien déterminée pour x fixe et À compris entre. 0 3 et n, soient L(x,n), {(x, n) les limites supérieure et inférieure

des valeurs de o(x, h). En supposant par exemple n positif, nous. dirons que æ + n est à droite de x et nous appellerons nombres dérivés à droite de x par excès et par défaut les quantités :

Aÿf(æ)=limiteL(x,n) n=0

Ar f(x) = limite/(æ, r) LEA

En supposant que n tende vers o par valeurs constamment positives et non nulles. Les quantités L et / auront bien chacune une limite (d’ailleurs finie ou non); car, lorsque n décroit, il en est manifestement de même de L et de > et l’on a toujours L >.

On définira de même les dérivées de gauche AZf(x) en supposant que n reste négatif. La condition nécessaire et suffisante pour

u’une fonction soit dérivable en x est évidemment que les quatre nombres dérivés soient égaux en ce point. On obtiendrait une classe plus étendue de fonctions en imposant la condition que les quatre nombres dérivés soient finis. Cette condition s’est introduite naturellement, indépendamment de la notion de nombre dérivé, dans la théorie des équations différentielles. C’est la condition dite de Lipschitz à laquelle on donne habituellement la forme (!)

; MORRACHEMIEET AP

La considération des nombres dérivés permet de généraliser certaines propriétés des fonctions dérivables. Par exemple, la condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions continues quelconques ne différent que par une constante est que leurs nombres dérivés correspondants (supposés finis) soient égaux. Nous renverrons pour plus de détails au livre de M. Lebesgue (loc. cit.).

Intégrale.

Considérons une fonction f(x) quelconque, définie entre o et 1. E b Riemann a donné la définition suivante de l'intégrale sf f(x) dx.

a Bornons-nous au cas où a b et divisons l'intervalle a, b en intervalles partiels séparés par les points (rangés dans l’ordre croissant de leurs abscisses),

To — €, Lis es Zn, Æn = b,

et soient M;, m; les limites supérieures et inférieures de f(x)

(:) Cette condition entraîne d’ailleurs l'existence presque partout de la dérivée, c’est-à-dire que les points où la fonction n’admet pas de dérivée forment un ensemble de mesure nulle. C’est là un théorèrne fondamental dù à M. Lebesgue qui s'applique aux fonctions à variation bornée, c'est-à-dire telles que la plus petite limite des longueursdes lignes polygonalestendant verslacourbe y = f(æ)soit finie (cf. les Leçons sur l'intégration, de M. Lesbesgue, p. 128: Gauthier-Villars, éditeur). Pour une démonstration indépendante de la théorie de l'intégration, voir L. ToNELLI, Fundamenti di Calcolo delle Variazioni (Bologne, Zanichelli,

dans l'intervalle (x;1, x;). Nous supposerons que la fonction est bornée entre a et b, c’est-à-dire reste comprise entre deux nombres finis M et m. Alors les nombres M;, m; sont finis et il en est de même des deux som mes

S = Mi(ri— to) +... + Ma(tn— tn),

S = M(Li— Lo) +... + Mn(Xn— Tn—1)

qui sont comprises entre M(b — «) et m(b— a).

M. Darboux a démontré (') que ces deux sommes ont chacune une limite bien déterminée lorsque l'étendue de l'intervalle partiel maximum tend vers zéro. On pose

limS = f fteyde, sue

b lims — [ (a) dr.

La première est l’intégrale supérieure, la seconde inférieure.

Par définition, la foncuon f(x) sera intégrable de & à b au sens de Riemann ns intégrable (R)] si ces deux quantités sont égales

et leur valeur commune sera la valeur de l'intégrale fr f(x) da. 213

Il est d’ailleurs évident que, si la fonction f(x) est continue

de a à b, elle sera intégrable au sens de Riemann. Car on

pourra trouver un Hnbre à tel que, si z' et x” sont (entre a et b)

dans un intervalle quelconque plus petit que à, on ait SC) — fa") < 6. LI SRESEES

Alors, en prenant les intérvalles partiels plus petits que à, onaura ÿ

S—s—(M—m)(2i — to) +...+(Mh — Mn)(&n — nn) <e(b—a)

Et par conséquent, comme € est aussi | petit que l’on veut, la limite & FR de S — s est nulle. RM à

Il existe des fonctions qui sont intéprables (R) sans être con tinues : telle est, par exemple, la fonction égale à o entre o et$et égale à r entre À et 1. Mais toutes les fonctions ne sont pas inté= grables (R). Il est nécessaire et suffisant, pour qu’une fonction le soit, que la quantité (S — s) tende vers zéro lorsque les longueurs SH des intervalles partiels tendent vers zéro. x 15 By

() Darsoux, Mémoire sur Les fonctions discontinues (Annales à de L'École Normale, 1875), , 34

Il en résulte que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction bornée f(x) soit intégrable (R) est que la longueur totale s des intervalles sans parties communes, tels que dans chacun d’eux l’oscillation totale soit supérieure ou égale à un nombre positif arbitraire e, tende vers séro lorsque, & restant fixe, les longueurs de chaque intervalle tendent vers zéro. En effet, quel que soit le mode de division, on aura S — 52e. Donc 5 tend vers zéro si la fonction est intégrable (R). Réciproquement, remarquons que, dans chaque intervalle, l’oscillation est

plus petite que M — rm». D'où S—s£(M—m)s+e(i1—5)<(M—-m)s +e,

et, lorsque les longueurs des divisions tendent vers zéro, on peut prendre e, puis d'aussi petits que l’on veut, par conséquent (S — s) tend vers zéro.

Remarquons que si l’oscéllation en un point est supérieure ou égale à e, l’oscéllation dans un intervalle quelconque contenant ce point sera aussi supérieure ou égale à e. Donc, l’ensemble E/ des points où l’oscillation est supérieure ou égale à e est contenu dans l’ensemble E des points des intervalles où l’oscillation est supérieure ou égale à e, et ceci dans un mode de division quelconque de l’intervalle fondamental (les points de division seuls pourraient avoir une oscillation supérieure à €, il n’en résulte pas de difficulté). -

D'ailleurs l’ensemble E! est fermé (p. 26) et par suite mesurable. Dès lors, si la fonction est intégrable (R), la mesure 0! de E’ (inférieure àla mesure d de E qui peut être rendue aussi petite que l’on veut) sera nulle. En particulier, l’ensemble des discontinuités f(x) (qui est la somme d’une infinité dénombrable d’ensembles tels que E’) sera de mesure nulle. La réciproque est vraie; voir Lebesgue (loc. cit.), pages 29 et 109.

Généralisation de M. Lebesgue. — Pour obtenir l'intégrale de Riemann, on commence par diviser l'intervalle d'intégration en intervalles partiels et l’on multiplie la longueur de chacun d'eux par une ordonnée correspondante. M. Lebesgue suit une

marche inverse; il commence par établir des divisions dans l’in-

tervalle de variation (m, M) de f(x), Fo) a an M.

Si la fonction ne décroissait jamais de a à b, les points pour lesquels on a Ji <F(x) < Yi

seraient dans un seul intervalle de longueur e;. Ceux pour lesquels on a

f(x) = Yi

seraient dans un intervalle de longueur e; (les quantités e;, e; peuvent être nulles). Alors l'intégrale de Riemann serait évidem-

ment la limite des quantités in i=n

(2) Sn D pin + éiyi

Ent i=0

C’est cette limite que nous prendrons encore comme valeur de l'intégrale (L) (intégrale de M. Lebesgue) pour une catégorie de fonctions beaucoup plus étendue, en généralisant la signification des quantités e;, e;.

Pour cela, considérons une fonction f(x) définie pour tous les points d’un ensemble mesurable E et bornée (1). Nous dirons qu’elle est intégrable (L) dans l’ensemble E, si l’ensemble F

des points de E tels que A < f(x) <B

est mesurable quels que soient A et Bet s'il en est de même de l’ensemble G des points de E tels que

quel que soit A (?). En particulier, l’ensemble E peut être un inter-

(1) Dans tout ce qui suit nous n'avons considéré, pour plus de simplicité, que des fonctions bornées. Les résultats que nous démontrerons peuvent étre étendus à certaines fonctions non bornées [voir LeBesaue, Annali di Matematica, 1902, p. 259, et Sur l'intégration des fonctions discontinues (Annales de l’École Normale, 1. 217, 1g10)]. Ces fonctions sont dites sommables, M. DEN3OY a depuis donné, sous le nom de totalisation, une théorie de l’intégration des fonctions non sommables | cf. : A. DEnox, Sur les nombres dérivés des fonctions continues (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 7° série, t. 1, 1915); Sur les fonctions dérivées sommables (Bulletin de la Société mathématique de France, t, XLIII, 1915): Sur la totalisation des nombres dérivés non som= mables (Annales de l'École Normale supérieure, t. 33 et 34. 1916 et 1917)]:

Voir aussi Eire Boner, Sur l'intégration des fonctions non bornées et les

définitions constructives (Annales de l'École Normale, 1920) et Méthodes et problèmes de la théorie des fonctions, p. 88 à 98 (Gauthier-Villars). (2) On dit alors que f(x) est mesurable.

1er

valle (a, b) déterminé. Observons que l’ensemble G est l'ensemble des points communs aux ensembles F, tels que

Donc si les ensembles F sont mesurables quels que soient A et B, il en sera de même des ensembles G. En remplaçant les inégalités

reg 1 J . . ,

précédentes par À — - £f(x)<A + -;, on voit aussi que si les 1 à DER É ; 12 :

ensembles tels que A£/f(x)£ B sont mesurables, la fonction est

intégrable (L).

Si maintenant »2 et M sont les limites supérieures de f(x) dansE et yi, 2, + .., ya, des valeurs croissantes intermédiaires, avec Yo—=M, Ya= M, nous pourrons appeler e; la mesure de l’ensemble des points tels que

Jia <S(r)< Ji et e: la mesure de l’ensemble des points tels que SHARE

Les expressions (1), (2) donneront donc à S et s des valeurs finies bien déterminées et, en appliquant à ces sommes le raisonnement employé par M. Darboux pour l'intégrale de Riemann, on voit que ces deux expressions ont séparément des limites déterminées lorsque les longueurs des intervalles ÿ;— 7; , tendent vers zéro. |

D'ailleurs

f i=n ; | ; L <a see S—s = Sd atyi—yii)ce AY, :

E—=1 en appelant e la mesure de E et Ay la plus grande longueur des intervallés y;—y;,. Donc S —s tend vers zéro avec Ay et par conséquent les deux limites S et s sont les mêmes. Cette limite commune est l'intégrale de M. Lebesgue,

CL) fre) dr

| prise dans l’ensemble E. Il est d’ailleurs manifeste que si deux

ensembles E, E’ sont sans points communs et si la fonction est DURE. B. | : 3

intégrable (L) dans chacun d’eux, elle sera intégrable (L) dans l’ensemble E + E! et l’on aura

(2) far =(1) f fax + (D) ff &2.