VE+E E E

En particulier, si E est l'intervalle de & à b (au sens large ou étroit), l'intégrale s’écrira

[fé

Enfin, n'oublions pas d'observer que S et s sont tous deux compris entre Me et me.

Pour que l'intégrale de M. Lebesgue soit une généralisation utile, il faut qu’elle comprenne l'intégrale de Riemann comme cas particulier. Nous allons montrer qu'il en est bien ainsi : Lorsqu'une fonction est intégrable (R) dans un intervalle (a, b), elle est intégrable (L) et les valeurs des deux intégrales (R) et (L) sont les mêmes dans cet intervalle.

En effet, soit E l’ensemble des points où l’on a A£/f(x)=B: Soit e l'ensemble des points limites de E n’appartenant pas à E: les points de e sont des points de discontinuités; ils forment un ensemble mesurable de mesure nulle puisque la foncuon est intégrable (R). D'autre part, l'ensemble E + e est fermé, et par suite mesurable. Il en est donc de même de E.

Dès lors f(x) est intégrable (L) entre a et b.

Divisons (a, b) en intervalles partiels par les points en ordre croissaht

To, Lis vers Tnt Tn= 6.

Dans l'intervalle (x;,, æ;) (où les limites de f sont m;, M;), on aura pour les deux intégrales (R) et (L) |

MUi(Li— Li-1) fe) de < Mia ai).

D'où s ko [ Je) de (R) [ f(e) del < (Mi m)(ar= Gi),

Or, pour les deux intégrales, on a

d T1 LA pe “a TT FE

Ent

Dès lors

b b IL) fe JCæ) de —(R) f ue EM mi )(æi— di)

en appelant s la longueur totale des intervalles où l'oscillation est supérieure ou égale à e. Puisque la fonction f est intégrable (R), on peut rendre « et & aussi petits que l’on veut. Donc la différence des deux intégrales est nulle.

Il résulte en particulier, de cette démonstration, que toute fonction continue est intégrable (L), ce qu'on aurait pu voir directement. |

L'intégrale (L) coïncide avec l'intégrale (R) toutes les fois que celte dernière existe, mais l'intégrale (R) peut ne pas exister alors que l'intégrale (L) existe. |

Considérons par exemple la fonction f(x) qui est nulle pour les valeurs rationnelles de x et qui est égale à 1 pour les autres valeurs. Elle n’est pas intégrable (R) de o à 1. Car en un point “quelconque l’oscillation est égale à 1. Mais elle est intégrable (L). Car l’ensemble des points rationnels entre o et 1 (qui est dénombrable) est mesurable et sa mesure est nulle. De mème, l’ensemble des autres points est mesurable el sa mesure est 1. Donc la fonction a une intégrale (L) qui est égale à 1.

Nous donnerons d’ailleurs des catégories très étendues de fonctions qui sont intégrables (L) sans être, en général, intégrables(R)

(') Le lecteur trouvera dans les Leçons sur les séries trigonometriques de M. H. Lebesgue ( Gauthier- Villars) des applications qui montrent la fécondité de ces notions.

Considérons une série dont le terme général est une fonction

de x (réelle comme dans tout cet Ouvrage) U(T) + Uo(X) +...+ Un(r) +..

el appelons S n(æ)la somme des » premiers termes de celle série.

Le premier problème qui se présente dans l’étude de cetle série est l'étude de sa convergence. Nous ne nous en occuperons pas: nous ne considérerons que le cas où l’on sait que cette série converge pour toute valeur de æ entre o et 1. La somme est une fonction de x que nous désignerons par f(x). Le second problème qui se pose est de chercher les propriétés de S,(x) qui se conservent à la limite lorsque x croît indéfiniment. M. Osgood a fait remarquer que ce problème peut souvent se ramener au problème général de l’interversion dans la « double limite » (!).

Ainsi, on peut se demander Te est continu, lorsque S,(æx) est constamment continu (c’est-à-dire Japsque un est continu). Cela revient à chercher si légalité

lim | lim S,(æ 1] = lim [3 Sa(æ)]

FT 4 nZ= © n= © r=a est exacte.

De même, on peut se demander si l'intégrale de f(x) est la limite de l'intégrale de S,(x). Or cela revient encore à chercher

si l'égalité suivante est exacte

q—=P [AV AS lim | lim D> nn @ p—e

b—as b—a

PURE A ) ré

ent DE

(1) Oscoon, Bulletin of the American mathematical Society, nov. 1896, p. 61.

Cette question de l’interversion des limites se présente d’ailleurs dans un grand nombre d’autres parties de l'Analyse ; par exemple

dans la dérivation sous le signe Je dans l'expression d’une inté-

grale double sous forme d’intégrales simples, etc.

Avant d'entrer dans l'étude des problèmes précédents qui exigeront certaines restrictions relatives à la continuité des fonctions w,(x), nous démontrerons un théorème très général qui suppose seulement que la série considérée est convergente. Désignons par r,(x) le reste de la série : r,(x) = f(æ) —S;(x).

Si la série f(x) est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre o et 1,et st l’on appelle E, l’ensemble des points pour lesquels \r,(x)|est supérieur à un nombre positif e donné, aussi petit que l’on veut, la mesure de E, tend vers zéro lorsque nr croit indéfiniment (\).

En effet, il nous suffira de montrer que l’ensemble E, limite complète de E, lorsque x croît indéfiniment, a une mesure nulle (p. 21). Or cela est certaïn, car E ne comprend aucun point. S'il y avail un point x, dans E, il y aurait une infinité d'ensemblesE,,, E qui contiendraient x,; et par conséquent les quantités

P39 [ra (ai), PACA cs RPAEANIE ….

restant supérieures à s, la série ne serait pas convergente en æ,. Ce théorème, par sa généralité, parait susceptible d’un grand nombre d'applications; nous en donnerons quelques-unes. Il a été démontré pour la première fois par M. Arzela dans un cas particulier (?).

: Continuité de lu sérte.

Supposons maintenant que les fonctions w#, (x) soient des fonctions continues dans un intervalle (a, b) où la série est conver-

(1) Dans les applications, l’ensemble E, sera toijours mesurable, Cépendant, on peut se passer de cette remarque, en remplaçant dans l'énoncé précédent la mesure de E, par la limite supérieure des mesures des ensembles mesurables contenus dans E,.

(?) Memoires ‘de BR 1899.

38 CHAPITRE il.

gente. Il n’est nullement évident que la somme f(x) doit être elle-même continue (comme le montre bien notre interprétation par la double limite).

Remarquons qu'il est tout aussi général de se donner une série par la samme de ses » premiers termes S,(x) que par le terme général u,(z). Car une série quelconque peut s’écrire sous la

forme SL (SEE Si) ERNST SNS

et par conséquent ce n’est pas construire une série d’une façon vraiment artificielle que de la donner en choisissant S, au lieu de w,.. Cette remarque faite, il suffit de prendre :

Sh(r)= zx":

pour voir que la série ainsi définie est convergente pour toute valeur finie de x et que ses termes sont des fonctions continues de x. Cependant la somme de la série est 1 lorsque ra 0 lorsque x — 0, — 1 lorsque x < 0.

La question s’est donc posée de rechercher à quelles cost la continuité des termes d’une série convergente entraîne la continuité de la somme. |

Convergence uniforme.

Un premier pas fut fait dans cette voie par l'introduction de la notion de DO MOFECRES uniforme (‘)

Nous dirons (2?) qu’une série quelconque f(x) est uniformée ment convergente dans l'intervalle (a, b), si, à tout nombre positif donné à l'avance, aussi petit que l’on veut, on peut faire correspondre un nombre N tel que l'inégalité n >> N entraîne dans

tout l'intervalle (a, b) [rn(æ)| e.

(*) Voir Strokes, Mathematical and physical papers. Cambridge, 1840, Pp- 236-285, et aussi SEIDEL et LEJEUNE-DiRICHLET dans la collection : Ostwald's Klassiker, n° 116. Stokes et Seidel paraissent avoir élucidé en memes qe question, indépendamment l’un de l’autre.

(?) Voir TANNERY, Fonctions d'une variable, 1886, note de la page 366. On trouvera dans HoBsoN, The theory of functions of a real variable (GORE t. II, $ 80, des critères étendus de convergence uniforme. :

Remarquons d’abord que la série f(x) sera convergente dans (a, b). Je dis de plus que la continuité des termes entratnera celle de la somme. En eflet, six’ et x” sont entre « et b, on aura

(1) LFCæ')— (RE ISn(2") — Sa(z")| + [rn(e") + fra(æ")]

et si l’on prend pour 7 un nombre fixe supérieur à N, la fonction S,(x) est une fonction continue entre a et b; donc on peut prendre un nombre « tel que pour

Jz'— x"] < a on ait Sa(z')— Sa(z")| <e.

D'où LfCæ") — fa) < 3e.

Au contraire, supposons seulement que la série soit convergente entre a et b. À tout nombre x compris entre a et b on pourra faire correspondre un nombre N tel que rz > N entraîne |r,(æ)|< e. Le nombre N sera bien déterminé pour chaque valeur de x, si l’on prend toujours pour N le plus petit nombre entier possible. On voit alors qu’il revient au même de dire que la série est uniformément convergente entre a et b ou de dire que la fonction N(x) que nous venons de définir est (pour chaque valeur de e) bornée dans cet intervalle.

Si nous supposons de plus que les termes de f(x) soient continus, il résulte de ce qui précède que, dans le voisinage d’un point de discontinuité x, de f(x), la fonction N(x) a une limite supérieure infinie pour une valeur suffisamment petite « donnée à &. On peut même préciser ce résultat : s£ l’oscillation w(x) au point x, est supérieure à un nombre positif b, on peut prendre

| LE our « le nombre -: En effet, supposons qu’en prenant pour & le P : > SUPP q P P b . . pare 4 # nombre 5° la fonction N(zx) reste inférieure à un nombre entier n

dans un intervalle assez petit (x,—h, æ,+h). On pourrait prendre un intervalle. encore plus petit (&, —h,, x, + h,) où l’oscillation de la fonction continue S,(x) serait inférieure à un nombre quelconque positif donné, par exemple : w(x,) — b — 1.

Nés

Et alors l'inégalité (1) montre que l’on aurait dans cet intervalle

LACe') — fta")| < was) —

ce qui est inanifestement impossible (p. 27).

La condition de convergence uniforme d’une série de fonctions continues n’est pas nécessaire pour la continuité de la série. M. Bendixson (!) en donne l’exemple très général suivant. Considérons une série convergente el à Lermes continus entre @& et b, mais non uniformément convergente, et soit 7,(x) le reste. La

série Pi PE Pa Po nee

converge vers zéro entre «& el b. mais elle n’y converge pas uniformément.

Pour obtenir une condition nécessaire et suffisante, il faudrait donc donner une définition de la convergence uniforme moins serrée, pour ainsi dire, que celle que nous avons donnée.

M. Dini (?) a réalisé ce but en partie au moyen de ce qul appelle la convergence uniforme simple.

On dira’ pi ’une série a une convergence uniforme simple entre a et b, si : 1° la série reste convergente dans cet intervalle; 2° pour tout nombre positif & aussi petit que l’on veut et pour tout nombre entier N aussi grand que l’on veut, il existe un nombre entier » 2 N tel que l’on ait

lra(æ)l IE;

pour tous les points de l'intervalle (a, b). 4 Qi Cette définition comprend comme cas particulier la définition

ordinaire de la convergence uniforme. Par conséquent, M. Dini a

étendu les résultats précédents lorsqu'il a démontré que, sé une

série à lermes continus a une convergence uniforme simple, —

elle est continue, :

Ainsi le dernier exemple que nous avons donné est une série

— de”

(*) Voir BENDIxSON, Sur la convergence uniforme des séries, Ofversigt of. Kongl. Vetenskaps-Akademiens Fôrhandlingar, 1897, n° 10, Stockholm. (a 3 (?) Dir, Fundamenti per la teorica delle Funsioni di variant reali, Rise En 1878, Dr 41008 i

qui a une convergence uniforme simple, car les restes de rangs impairs sont nuls.

Mais cette extension n’est pas encore suffisante. M. Bendixson (loc. cit.) donne en effet des exemples de séries convergentes, à termes continus, dont la convergence n’est pas une convergence uniforme simple et qui définissent pourtant des fonctions continues (!).

Ainsi, considérons la série telle que

Sna(æ) = Dh 1 + Tnt)

Les termes sont continus lorsque x reste compris entre o et £ et elle converge vers zéro, même pour x —1. Pourtant sa conver-

‘ I gence n'est pas uniforme, Car POUT TT —I-—-—) on a A

lra(æ)|=1Satz)l =|(:- =) - :

Par suite, pour tout nombre », il existe un nombre x pour lequel |rn(æ)| est supérieur à un nombre positif fixe.

Convergence quasi-uniforme.

C'est M. Arzela qui est parvenu le premier à la condition nécessaire et suffisante cherchée. Il l’obtient au moyen de ce que nous appellerons la convergence quasi-uniforme (?) qui est une nouvelle extension de la convergence uniforme ordinaire.

Nous dirons qu’une série converge quasi-uniformément entre a et b si : 1° la série converge entre a et b; 2° on peut faire correspondre à tout nombre e positif aussi petit que l’on veut et à tout nombre N aussi grand que l’on veut, un nombre fini, N'2N, tel que, pour chaque valeur de x comprise entre a et b, il existe un entier n+ compris entre Net N', et tel que l’on ait:

DACDIESS

(!) Voir aussi JorpAN, Cours d'Analyse, 2° édition, t. I, p. 315.

(2?) M. Arzela l’appelle convergence uniforme à traits (a tratti). Cette dénomination se rattache à la représentation géométrique dont M. Arzela fait grand usage (Mémoires de Bologne, 1899).

Nous allons maintenant démontrer le théorème qui résout complètement la question de la continuité. Ce théorème a été obtenu par M. Arzela par une méthode assez compliquée. Mais, comme il arrive bien souvent, une proposition qui a été obtenue au prix de grands efforts peut, quand son énoncé est connu, être démontrée très simplement.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série à termes continus entre a et b représente une fonction continue dans cet intervalle est qu'elle y converge quasi-uniformément.

La condition est suffisante. En effet, d’abord la série est convergente entre a et b; soient f(x) sa somme et x! un point quelconque entre a et b. On peut déterminer un nombre N tel que l'inégalité r > N entraîne

, € PACAIE< 3

Mais, puisque la série est quasi-uniformément convergente entre a et b, on peut faire correspondre à e et N un nombre N'>N, tel que, pour toute valeur de x comprise entre a et b, il existe un nombre nr; compris entre N et N’ pour lequel

LACIRSS Or, quel que soit x, n7> N, donc LAC H] & .

D'autre part, il est possible de déterminer un nombre hp tel que l'inégalité |! — "| < h, entraîne

[Sn+p(æ') ee Sn+p(x”)| << 3

Donc, si x est le plus petit des nombres ho; Ju, ee) Rn'-N

(dont il y a un nombre fini), on aura sûrement à È Saez) — Sne(r )| LE 32

pour |[æ'— "| < 4, puisque n," est compris entre Net N'.

Et comme on aura

LACET MCE

on voit que [f(x") — f(x) <e pour [z'— "| < a.

Donc la fonction f est continue en un point arbitraire x! de l’intervalle.

Réciproquement, supposons la série convergente et sa somme continue (ainsi que ses termes) entre & et b. Soit x' un point compris entre a et b, on peut déterminer k tel que l’on ait

HOPACEIES

pour [x — x/| < h. Mais soit N un nombre donné aussi grand que l’on veut; on peut déterminer un nombre ñr > N de facon que l’on ait

ra(x')| <

us] w

Le nombre n étant ainsi choisi, la fonction S,(x) est continue et l’on peut déterminer L,, tel que l’on ait

Sax) — Su(z')l < 5 pour [r—z|<h.

: Or ra(æ) 21 f(x) —f(æ)] ETC en Sa(z')1+lra(z')l:

Dès lors, si «est le plus petit des nombres k et ,, on a Iran) pour Iz—zr'|<a,

n étant un nombre fixe supérieur à N.

Il suffit pour le raisonnement précédent que f(x) soit continu au point x'. Mais, puisque f(x) est continu de a à b, on pourra déterminer pour chaque point x de cet intervalle un nombre n > N, et un intervalle partiel ayant ce point pour milieu tel que [r,(x)| reste inférieur à e dans cet intervalle partiel. Alors, tout point de (a, b) est intérieur au sens étroit à l’un de ces intervalles partiels; on peut donc (p. 9) trouver un nombre fini de ces intervalles :

(Zi, mit) (ë=1,...,p)

44 CHAPITRE Hi.

qui jouissent de cette propriété. Par conséquent, à tout point æ de (a, b) on peut faire correspondre un entier n4, tel que l’on ait

WACIIESS

Et les nombres n; sont pris parmi les nombres n,,; on peut donc déterminer un nombre N' (le plus grand des entiers n,,, qui sont en nombre limité p) tel que nr, reste compris entre N et N’.

On peut donner, de cette réciproque, une démonstration un peu différente. La série étant convergente entre a et b, on peut faire correspondre à chaque nombre x compris entre & et b, un entier nr Supérieur à un nombre fixe donné N indépendant de n, tel que i