ACIER

Et le nombre n, sera une fonction bien déterminée de x, si l’on prend pour n#4 le plus petit entier possible supérieur à N satisfaisant à cette condition. Je dis que cette fonction est bornée supérieurement. En effet, s’il n’en était pas ainsi entre a et b, la fonc- Lion n; ne serait pas non plus bornée dans l’un des deux intervalles moitiés, ni dans l’un des intervalles moitiés de celui-là, et ainsi de suite. On formera ainsi des intervalles (a,, b,) emboîtés les uns dans les autres et dont la longueur tend vers zéro. Ils ont donc pour limite un certain point Ë de l'intervalle (a, b). Or nous avons ! vu, dans la première partie de la démonstration précédente, qu’on pourrait déterminer À et n, >> N tels que

Fra(æ)l< se

dans l'intervalle £ — k, 6 + h. Mais si petit que soit k, on pourra prendre p assez grand pour que (a), b,) soit contenu entre £ — À et Ë+ L, et alors dans l'intervalle (@ps Op) la fonction ñz serait bornée supérieurement (nx<ni), ce qui amène une contradiction.

On peut vérifier sur l'exemple que nous avons donné d'une série convergente à termes continus dont la somme n’est pas con-

tinue que celte série n’est pas quasi-uniformément convergenle. 1 1

Nous avions pris S, = x*"!; pour x > 0, le resteest 1 = x" Dans l'intervalle (0, 1), si l’on veut que ce reste soit inférieur àe,

il faudra que l’on ait

par conséquent la valeur minimum de n ne sera pas bornée supérieurement dans cet intervalle.

. Les considérations qui précèdent s'étendent immédiatement aux séries de fonctions de plusieurs variables. Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de fonctions de plusieurs variables continues par rapport à leur ensemble dans un domaine fermé D ait pour somme une fonction continue dans D est que la série converge quasi-uniformément dans D. Cela veut dire qu'on peut faire correspondre à un nombre entier N et à un nombre positif e, un nombre entier N'2 N tel que lon ait en tout point À de D :|r,|[<e, n, étant un certain nombre entier déterminé par À et compris entre N et N/. La démonstration est la même que celle que nous avons donnée.

Intégration des séries.

Deux problèmes se posent tout d’abord, quand on veut intégrer une fonction représentée par une série : 1° En supposant la série convergente et à termes intégrables entre o et 1, la somme sera-t-elle aussi intégrable? 2° Si la somme et les termes de la série sont intégrables, est-ce que l'intégrale de la somme sera la somme des intégrales des termes? Le premier problème a deux solutions différentes selon que l’on se place au point de vue de Riemann ou à celui de M. Lebesgue. Mais il suffira évidemment de résoudre le second problème au sens de M. Lebesgue pour en obtenir la solution au sens. de Riemann comme cas particulier.

M. Arzela (!) a montré que la condition nécessaire et su fisante pour que la somme f(x) d’une série convergente de a

() ARzeLA, Mémoires de l’Académie royale des Sciences de l’Institut de Bologne, 27 mai 1900.

à b'et dont les termes u, sont intégrables (R) de o à 1, soit intégrable (R) de o à 1 est que la série ait une convergence quasi-untforme EN GÉNÉRAL entre Oo el 1.

Cette dernière expression a la signification suivante : 1° la série f(x) est convergente entre o et 1 et sa somme est bornée; 2° étant donnés les nombres à, e, N, on peut déterminer entre & et b des intervalles I en nombre fini et sans partie commune, de longueur totale supérieure à 1 — à, tels que l’on ait [ra (æ)| SE lorsque x appartient à un intervalle I, le nombre entier (constant dans un intervalle T1) restant supérieur à N (t).

Supposons ces conditions vérifiées et que les termes de la série soient intégrables (R). Dans tous les intervalles I en nombre p,

on aura Lf(æ) — Sni(z)| <E;

par suite, l’oscillation de f(x) dans Î sera au plus égale à 2e augmenté de loscillation de S,. Or, dans, l'intervalle [, S;, est

intégrable (R); on peut donc y former un nombre fini d'inter-

valles J, sans partie commune, de longueur totale inférieure à

et en dehors desquels l’oscillation de Sa, est inférieure à s. Appe-

lons K les intervalles sans parties communes intérieurs aux I et extérieurs aux J; dans ces intervalles, l’oscillation de f(x) sera inférieure à 3e. Mais la longueur totale des K entre o et # est

supérieure à 1—Ô—p F —1— 20. Dès lors, on aura pu diviser le segment (o, 1) en intervalles tels que la longueur totale de ceux où l'oscillation surpasse 3e soit inférieure à 20. Comme € et Ô peuvent être pris aussi petits que l’on veut, la fonction bornée f(x) est intégrable (R)entreoet 1. 1

Réciproquement, admettons que f(x) soit FRÉREAUE (R), ainsi que les termes de la série (supposée convergente de o à 1). Soient, d’autre part, F l’ensemble des points où f(x) est continu, E, l’ensemble des points où S,(x) est continu, E l’ensemble limite com-

(1) La série serait quasi-uniformément convergente si cette condition était réalisée pour des intervalles I en nombre fini sans parties communes qui rem plissent tout le segment (0; 1). .

plet des E,. Les ensembles E, et F ont pour mesures 1 (p. 31), il en est donc de même pour E (p. 21). Orona

Les deux ensembles du second membre n’ont pas de point commun; donc mesure(E, F) = mesure F — mesure[C(E), F].

Or l’ensemble [F, C(E)] est contenu dans C(E) dont la mesure est nulle. Par suite, la mesure de l’ensemble G des points communs à E et F est égale à 1 — o — 1. Ceci étant, soit x’ un point de G, il est contenu dans une infinité d’ensembles E, : E (HUE

Or on peut déterminer un nombre g tel que l'inégalité m > q