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Or l’ensemble complémentaire C(G) ayant une mesure nulle, ses points pourront être tous enfermés au sens étroit dans des

intervalles J sans point commun de longueur totale inférieure à n (!). Alors tous les points du segment peuvent être enfermés au sens étroit chacun dans un intervalle I ou J. Par suite, on peut en trouver un nombre fini qui les contiennent tous au sens étroite on losdiin enr,

Les points qui ne sont pas intérieurs au sens étroit à l’un des intervalles J forment un ensemble G, intérieur à G et de mesure supérieure à 1—n. Ils sont tous contenus dans 1,, L,, ..., 1, qu'on peut supposer sans point commun et compris entre Oo et 1, intervalles qui auront une longueur totale supérieure à 1 — n. Or, à chacun d’eux, I, correspond un nombre entier »,> N tel que

pour tout point de [, on ait AACA2IES £:

Comme &, n et N sont arbitraires, la série a une convergence quasi-uniforme en général, entre o el 1.

La résolution du problème que nous venons de traiter est bien plus simple si l'on se place au point de vue de M. Lebesgue.

Si l’on considère une série de fonctions bornées intégrables (L):u, ur, ..., dont la somme f(x) est convergente entre a et b, cette somme supposée bornée est aussi intégrable (L).

L'ensemble des points E tels que J’on ait AL f(æ)<B

est compris dans l’ensemble limite restreint F, des ensembles E, des points tels que PAR Hp A ESA BE: | P P

p nombre entier fixe. È

Cet ensemble F, est mesurable et l’ensemble E est évidemment | l’ensemble des points communs aux ensembles F,,F:,...,F, .... Donc E est mesurable quels que soient A et B; par conséquent, f(zx) est intégrable (L). x |

La proposition que nous venons de démontrer peut s'énoncer ainsi : Toute fonction bornée f(x), limite de fonctions bornées intégrables (L) est elle-même intégrable (L). Sous cette forme,

nt

(') Voir par exemple LEBESGUE, Annali di Matematica, 1902, p. 237.

elle nous fait connaître des champs de plus en plus étendus de fonctions intégrables (L); par exemple, toute fonction bornée limite de fonctions continues est intégrable (L).

Si une série de fonctions bornées intégrables (L) est convergente de a à b et si l’on a |r,(x)| <M quels que soient l’entier n et l’abscisse x dans (a, b), la série des intégrales (L) des termes est aussi convergente et sa somme est l’intégrale(L) de f(x).

: En effet, où a f = S, + R;; orilest facile de voir que la somme des intégrales (L) de deux fonctions est égale à l'intégrale (L) de leur somme. Donc

(L) [ ftæ)de—(t) [mdr (1) [under =) fr dr.

Or, puisque la série u, +... est convergente de « à b l’ensemble E des points tels que [ra(æ)] soit supérieur à .s a une mesure 5, qui tend vers zéro avec x. Et l’on a

b f NC frrde+ f° nr dT, “# E C(E) b | [ Th dr a

M étant supérieur de a à b à la fonction bornée |r,(x)| quel que soit ». Comme on peut prendre e et 5, aussi petits que l’on veut lorsque n croît indéfiniment, la proposition est démontrée.

| Dans l'énoncé du théorème, on peut remplacer l'intervalle (@, b)

par un ensemble mesurable quelconque E, la démonstration sera entièrement analogue.

, Le théorème est encore vrai, si l’on prend l'intégrale de Rie-

manon (!) au lieu de l'intégrale de M. Lebesgue, d’après notre

remarque (p. 34), à condition que la somme de la série soit inté-

grable (R).

d'où

<Mon+e(b— a),

(") Le cas où les fonctions f et f, sont continues avait été déjà obtenu par M. Osgood (American Journal, 894).